樊冬明，任羿，劉林林，劉叔正，樊劍，王自力

(北京航空航天大學(xué) 可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院，北京 100191)

GO 法(GO methodology)［1］是一種以成功為導(dǎo)向的系統(tǒng)概率分析技術(shù)，對于多狀態(tài)、有時序的系統(tǒng)，尤其對有實際物流如氣流、液流、電流等過程系統(tǒng)具有很強的可靠性、安全性建模描述能力.在工程系統(tǒng)中，組成部件和設(shè)備經(jīng)常是可修復(fù)的，現(xiàn)有的可修算法［2］是以可修操作符的概率公式為基礎(chǔ)，先求得可修系統(tǒng)的等效故障率和等效維修率，然后再考慮操作符之間的相關(guān)性參數(shù)，最終通過一系列轉(zhuǎn)換求得等效操作符的可用度.在該方法中，如果輸入信號存在共有信號則需先將共有信號分離出去［3］，進行操作符邏輯計算后，再將共有信號合并，再考慮停工相關(guān)、維修相關(guān)等復(fù)雜參數(shù).這些問題都影響了GO法在實際工程中的廣泛應(yīng)用.

動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)(Dynamic Bayesian Networks，DBN)是建立在靜態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)和Markov模型基礎(chǔ)上的圖形結(jié)構(gòu).因為其具有描述事件多態(tài)性和非確定性邏輯關(guān)系的能力且能夠保證較高的精度，所以常用來分析有時序的動態(tài)復(fù)雜系統(tǒng).自21世紀(jì)初，動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)在可靠性領(lǐng)域中應(yīng)用的愈加廣泛.2003年，法國學(xué)者針對動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)在復(fù)雜制造過程形式化建模的問題進行了研究［4］;2005年，美國學(xué)者在對動態(tài)故障樹的研究中加入了動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，使其能夠更加完整地描述動態(tài)過程［5］;2009年，文獻［6］提出了基于動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的系統(tǒng)可靠性研究.

近年來，國內(nèi)研究人員也對動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用在可靠性中進行了深入的研究.2008年，文獻［7］提出了基于動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)故障樹分析方法，并給出了定量分析方法;2012年，動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)被應(yīng)用在配電系統(tǒng)的可靠性研究上，很好地描述了其保護裝置的動態(tài)演變過程［8］;經(jīng)過進一步的研究發(fā)展，2014年，文獻［9］基于T-S故障樹和動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)提出了模糊可靠性評估的新方法，解決了傳統(tǒng)故障樹無法描述節(jié)點間模糊性邏輯關(guān)系的缺點.目前，動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)已在動態(tài)可靠性框圖、Markov、故障樹等可靠性模型中得以應(yīng)用［10-14］，但在可修 GO法中并沒有得到應(yīng)用.

本文提出一種基于動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的方法，統(tǒng)一描述GO法模型中的靜態(tài)和動態(tài)行為，簡化GO法針對可修特性的算法過程.首先介紹了GO法可修理論和動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)基本理論，給出操作符的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)映射規(guī)則，并針對操作符之間的相關(guān)性行為(停工相關(guān)、備份相關(guān)、維修相關(guān))給出了定量計算公式.最后，結(jié)合案例說明算法的操作步驟，同時分析系統(tǒng)的可用度曲線及在給定時間點下的可靠性相關(guān)參數(shù).

在本文提出的新算法中，無需考慮共有信號等問題，并且對于停工相關(guān)、維修相關(guān)、備件相關(guān)等可修動態(tài)特性也能進行統(tǒng)一的形式化描述，根據(jù)系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)情況，直接描述系統(tǒng)的靜態(tài)和動態(tài)特性，并結(jié)合成熟算法，不僅可以得到每一時刻的可靠性參數(shù)，還可得到系統(tǒng)可用度的變化曲線，簡化了GO法可修系統(tǒng)的計算過程，便于工程人員掌握和應(yīng)用.

1 GO法與動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)

1.1 GO 法簡介

系統(tǒng)中的元件、部件或子系統(tǒng)可以統(tǒng)稱為單元，GO法中用操作符來代表單元，用信號流來表示功能單元輸入S、輸出信號R之間的邏輯關(guān)系.GO法模型中共有17類操作符［2］，如圖1所示.根據(jù)操作符的作用和運算規(guī)則不同，將操作符分為兩大類型:

1)邏輯操作符:此類操作符沒有狀態(tài)概率數(shù)據(jù)，僅代表一種邏輯運算規(guī)則.邏輯操作符包括第2、9、10、11、13、14、15 類操作符.

2)功能操作符:此類操作符包含自身狀態(tài)值及運算邏輯.功能操作符包括第 1、3、4、5、6、7、8、12、16、17 類操作符.

其中，在工程中最常用的操作符類型為1、2、5、6、7、10、11.本文將針對這些常用操作符進行GO法可修系統(tǒng)的研究.

圖1 GO法操作符類型Fig.1 Type of GO methodology operators

GO法應(yīng)用于可修系統(tǒng)時，操作符代表的單元是可修系統(tǒng)，因此操作符的成功狀態(tài)概率P(1)就是可修系統(tǒng)的可用度，操作符的故障狀態(tài)概率P(2)就是可修系統(tǒng)的不可用度，同時其故障率和維修率分別為 λ、μ［2］.在工程系統(tǒng)中，λ 和 μ 一般服從指數(shù)分布，其值為常數(shù).

1.2 動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)基本原理

動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)是靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)在時間上的一種擴展.它由初始網(wǎng)絡(luò)和轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成，將時間因素引入其中，使得貝葉斯網(wǎng)絡(luò)隨時間變化，數(shù)據(jù)發(fā)生相應(yīng)的轉(zhuǎn)移變化［15］.整個網(wǎng)絡(luò)含有有限個時間片段，每個時間段都有其對應(yīng)的條件概率表(Conditional Probability Table，CPT).

如圖2所示為“與”邏輯關(guān)系對應(yīng)的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，A(T)、B(T)為其兩個輸入的初始網(wǎng)絡(luò);A(T+ΔT)、B(T+ΔT)為其轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)，R(T)為其初始網(wǎng)絡(luò)的輸出;R(T+ΔT)為其轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)的輸出.在動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)分析中，通常只關(guān)注轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)的輸出，所以在以下的分析中，用簡化圖2(b)來表示圖2(a)的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò).同時，根據(jù)“與”的邏輯關(guān)系，可得到相應(yīng)的條件概率分布.

圖2 “與”邏輯對應(yīng)的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)Fig.2 Dynamic Bayesian network of logic“AND”

動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)作為一種形式化方法，可以很好地描述系統(tǒng)中多狀態(tài)、多時序等復(fù)雜特性，考慮基于動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)來對GO法模型中的可修動態(tài)時序特性進行形式化映射，可以有效地結(jié)合兩者的優(yōu)勢，為GO法模型的計算和應(yīng)用提供一種新的途徑［16-17］.

1.3 可修部件的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)建模

對于系統(tǒng)部件，其處于正常工作狀態(tài)和故障狀態(tài)的概率是隨時間變化的，這種隨時間變化的規(guī)律可以用動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)來進行表達.如圖3所示為操作符對應(yīng)的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò).在不可修的條件下，在(T+ΔT)時刻處于1狀態(tài)的條件概率為

對于可修部件，只需將式(2)修改為［18］

式中:A(T)=0為部件A在T時刻處于正常工作狀態(tài);A(T)=1為部件A在T時刻處于故障狀態(tài);f(t)為部件A故障概率密度函數(shù);μ(t)為操作符的維修密度函數(shù).

圖3 操作符動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)Fig.3 Dynamic Bayesian network of operator

2 動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)映射

2.1 操作符到動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的一般映射規(guī)則［19］

從操作符(包括輸入信號、操作符本身和輸出信號)到動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)換過程的一般映射規(guī)則的具體步驟如下:

1)將操作符(非邏輯門操作符)及其輸入信號流映射為動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的初始網(wǎng)絡(luò)根節(jié)點，并同時建立相應(yīng)的各初始網(wǎng)絡(luò)根節(jié)點的轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)子節(jié)點，再建立初始網(wǎng)絡(luò)中的父節(jié)點和轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)中的對應(yīng)子節(jié)點連接關(guān)系.

2)將每一路輸出信號流(除第5類操作符)映射為轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)的一個節(jié)點，并建立與步驟1)中轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)中的所有節(jié)點的父子關(guān)聯(lián)關(guān)系(前者為子，后者為父).

3)根據(jù)操作符的狀態(tài)概率確定初始網(wǎng)絡(luò)根節(jié)點的先驗概率，并同時確定對應(yīng)轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)中子節(jié)點的條件概率表.

4)根據(jù)操作符的運算邏輯給出所有輸出信號流對應(yīng)的轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)子節(jié)點的條件概率表.

2.2 邏輯操作符的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)映射

在GO法中，第2、10、11類操作符分別對應(yīng)或、與、M取K 3種邏輯關(guān)系，這3類操作符都有多路信號輸入，一路信號輸出.第2、10類操作符實際為M取K邏輯門的特例，在第2類操作符中K=1，在第10類操作符中K=M.因此只需給出第11類操作符的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)映射和計算過程即可.

如圖4所示為第11類操作符模擬3個輸入信號的3取2邏輯元件，假設(shè)每個輸入信號都僅有兩種狀態(tài)(1—正常，2—故障)，根據(jù)第2.1節(jié)的映射規(guī)則，可以得到其相應(yīng)節(jié)點的概率及子節(jié)點的條件概率表.

圖4 第11類操作符及對應(yīng)動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)Fig.4 Type 11 operator and its dynamic Bayesian network

依據(jù)條件概率表，可以得出輸出信號R的成功狀態(tài)(1狀態(tài))的概率，具體計算過程如下:

則

根據(jù)第1.3節(jié)中動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)在可修操作符中的定量計算公式可知，式(4)中:

輸入信號SB、SC的計算與SA相似，在此不做贅述.

2.3 功能操作符的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)映射

1)第1、3、8類操作符.

第1、3、8類操作符均為工程上常用的操作符，這3類操作符均有一路輸入信號，一路輸出信號，但其本身狀態(tài)數(shù)不同.本文以第1類操作符為例來說明此類操作符的映射和計算過程.

第1類操作符是最常用的操作符，其模擬只有兩種狀態(tài)的單元(成功，失敗)，一般用來模擬電阻、開關(guān)等設(shè)備.

根據(jù)第2.1節(jié)的映射規(guī)則，其相應(yīng)節(jié)點的概率及子節(jié)點的條件概率表如圖5所示.輸出信號的成功狀態(tài)概率為

根據(jù)第1.3節(jié)可知，其中:

2)第5類操作符.

第5類操作符是工程上最常用的輸入操作符，一般作為建模系統(tǒng)的輸入使用.根據(jù)第2.1節(jié)的映射規(guī)則，其相應(yīng)節(jié)點的概率及子節(jié)點的條件概率表如圖6所示.

圖5 第1類操作符及對應(yīng)動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)Fig.5 Type 1 operator and its dynamic Bayesian network

圖6 第5類操作符及對應(yīng)動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)Fig.6 Type 5 operator and its dynamic Bayesian network

依據(jù)條件概率表，可以給出第5類操作符輸出信號的1狀態(tài)概率:

式中:

3)第6、7類操作符.

第6、7類操作符模擬的是有兩個輸入信號一個輸出信號的元件，其本身具有3種狀態(tài)(狀態(tài)值:0，1，2).第6類操作符在兩個輸入均正常時才有輸出信號，一般用來模擬常開的接觸器、未合上的電閘等.第7類操作符恰好相反，其在兩個輸入均正常時，輸出信號被截斷，一般用來模擬常閉的接觸器、常開的流體閥門等.

根據(jù)第2.1節(jié)的映射規(guī)則，第6類操作符的GO法模型、對應(yīng)的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)及條件概率表如圖7所示.依據(jù)條件概率表，操作符6的輸出信號的成功狀態(tài)概率的具體計算步驟為

則

對于第7類操作符，只需要根據(jù)其邏輯修改圖7中的條件概率表即可，計算步驟與上述第6類操作符類似.

圖7 第6類操作符及對應(yīng)動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)Fig.7 Type 6 operator and its dynamic Bayesian network

2.4 操作符相關(guān)性及其動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)映射

在工程系統(tǒng)中，單元和單元之間往往不是相互獨立的，在停工、備用、維修等方面存在相關(guān)性，相關(guān)性表現(xiàn)在以下方面［2，18］:

1)停工相關(guān):可修系統(tǒng)由于某些單元的故障而停工維修時，沒有發(fā)生故障的單元隨系統(tǒng)的停工而停止工作，且不再發(fā)生故障.這種相關(guān)性定義為停工相關(guān).

在工程中，停工相關(guān)一般表現(xiàn)為串聯(lián)或與門形式，本文以串聯(lián)為例，如圖8所示.系統(tǒng)的最終輸出只有兩種狀態(tài)，狀態(tài)0僅用來表現(xiàn)操作符的工作狀態(tài)，所以通過計算可求得:PR(0)=0.在備用相關(guān)和維修相關(guān)中與上述情況相似，不再贅述.假設(shè)1-1、1-2均有3種狀態(tài)(0—停工等待，1—正常，2—故障)，其中狀態(tài)0為停工相關(guān)中的中間狀態(tài)，R為其串聯(lián)輸出.

2)備用相關(guān):假設(shè)冗余單元處于備用狀態(tài)時不會發(fā)生故障或發(fā)生故障率較小，那么冗余備用單元發(fā)生故障就和其余單元是否處于故障狀態(tài)有關(guān)，這種相關(guān)性定義為備用相關(guān).

現(xiàn)假設(shè)備件系統(tǒng)中包含一個主部件1-1和一個備份部件1-2，且兩個部件均為兩狀態(tài)單元.假設(shè)當(dāng)部件1-1正常工作時，備件1-2處于備份狀態(tài)，故障率為0.其GO法模型及其對應(yīng)的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)如圖9所示.

根據(jù)圖9中的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)節(jié)點，則系統(tǒng)的故障概率為

式中:f2(t)為備件操作符1-2的失效密度函數(shù);μ1(t)為操作符1-1的修復(fù)密度函數(shù);PR(2)為系統(tǒng)故障概率.

3)維修相關(guān):當(dāng)可修系統(tǒng)有多個單元同時處于故障狀態(tài)，而維修工不足，即有些單元在發(fā)生故障后不能及時維修.這種相關(guān)性定義為維修相關(guān).

假設(shè)操作符1-1、1-2均有3種狀態(tài)(0—等待維修，1—正常，2—維修)，且維修工數(shù)為1，R為其輸出.其GO法模型及其對應(yīng)的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)如圖10所示.

圖8 操作符之間的停工相關(guān)Fig.8 Shutdown dependence between operators

圖9 操作符之間的備用相關(guān)Fig.9 Standby dependence between operators

圖10 操作符之間的維修相關(guān)Fig.10 Repair dependence between operators

根據(jù)圖10中的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)節(jié)點，則系統(tǒng)的故障概率為

3 案例驗證

本節(jié)中通過核電站高壓注水系統(tǒng)的實際案例來對算法的流程步驟進行詳細的描述.隨著傳統(tǒng)資源的稀缺，新型能源逐漸成為了全球化的熱點.核能源作為清潔、環(huán)保的新型能源已成為各國競相開發(fā)的對象.而核電站中的高壓注水系統(tǒng)是核電站中重要的安全系統(tǒng)之一其作用是向堆芯注入冷卻劑，保持反應(yīng)堆冷卻劑的數(shù)量，維持堆芯繼續(xù)冷卻，使反應(yīng)堆中的余熱安全轉(zhuǎn)移.

核電站高壓注水系統(tǒng)由水箱經(jīng)過主閥門分兩路供水，第一路由3個隔離閥、3個上沖離心泵和3個逆止閥組成3條支路，經(jīng)過隔離閥直接向核電站的主回路冷端注水.另一路由2個隔離閥、2個安全閥和2個逆止閥組成2條支路，通過隔離閥直接向核電站的主回路熱端注水，同時也向主回路冷端注水.

如圖11所示是核電站高壓注水系統(tǒng)的GO法建模圖，其中的功能操作符均只有兩種狀態(tài)(1—成功，2—故障)，要求計算冷端注入(信號流23)和熱端注入(信號流22)的成功和故障概率.該GO圖模型中，信號流2輸出的第一路的3條支路是可修的，其余操作符均不考慮修復(fù)問題.且操作符18是3取2的冗余并聯(lián)子系統(tǒng)，操作符19是2取1的冗余并聯(lián)子系統(tǒng)，表1列出了可修操作符的可靠性參數(shù)，表2列出了不可修操作符的可靠性參數(shù).

圖11 核電站高壓注水系統(tǒng)GO圖Fig.11 High-pressure-water-infusion system GO graph of nuclear power station

表1 核電站高壓注水系統(tǒng)可修操作符數(shù)據(jù)Table 1 Repairable operator data of high-pressure water-infusion system of nuclear power station

表2 核電站高壓注水系統(tǒng)不可修操作符數(shù)據(jù)Table 2 Unrepairable operator data of high-pressure water-infusion system of nuclear power station

根據(jù)第1.3節(jié)和第2.4節(jié)中的定量計算，首先對系統(tǒng)中的可修操作符進行動態(tài)貝葉斯轉(zhuǎn)換，并對其進行計算，得到可修操作符的動態(tài)數(shù)據(jù);然后對不可修操作符進行動態(tài)貝葉斯轉(zhuǎn)換，最終將整個系統(tǒng)連接成動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò).根據(jù)GO圖的結(jié)構(gòu)及其對應(yīng)的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，通過軟件GeNIe2.0來建立動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，利用成熟的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)算法來最終求得系統(tǒng)的成功和失敗概率，如圖12所示.

圖12中代表設(shè)備本身的節(jié)點向其本身發(fā)出的信號代表操作符本身的狀態(tài)從初始網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò);其他節(jié)點均代表操作符的輸入信號.

假設(shè)所有部件在初始狀態(tài)均為正常工作狀態(tài)，即在初始時刻t=0 h時，PR(1)=1，PR(2)=0.輸入在t=1 h時設(shè)備節(jié)點的數(shù)據(jù)，如表3所示.

圖12 核電站高壓注水系統(tǒng)動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)移圖Fig.12 Dynamic Bayesian network transition diagram of high-pressure-water-infusion system of nuclear power station

表3 核電站高壓注水系統(tǒng)部件動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)節(jié)點概率Table 3 Components of high-pressure-water infusion system of nuclear power station and their probability of DBN nodes

將表3中的數(shù)據(jù)填入到軟件中，最終計算出核電站高壓注水系統(tǒng)冷端和熱端的動態(tài)可用度如圖13所示，并且計算在t=500 h時系統(tǒng)輸出的可靠性數(shù)據(jù)，如表4所示.

由圖13可見，系統(tǒng)的可用度隨著時間逐漸減低，且由于不可修操作符的存在，其在故障后無法進行修復(fù)，使得系統(tǒng)可用度無法最終達到一個穩(wěn)態(tài)值.

圖13 核電站高壓注水系統(tǒng)動態(tài)可用度Fig.13 Dynamic availability of high-pressure water-infusion system of nuclear power station

表4 核電站高壓注水系統(tǒng)可靠性參數(shù)結(jié)果(t=500 h)Table 4 Results of high-pressure-water-infusion system reliability parameters of nuclear power station(t=500 h)

4 結(jié)論

本文提出了基于動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的GO法可修系統(tǒng)新算法，給出了基于動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的可修GO法定量計算公式，并對可修操作符的動態(tài)相關(guān)性進行了定量計算，最后通過核電站高壓注水系統(tǒng)的案例來說明算法的應(yīng)用流程，經(jīng)驗證表明:

1)新算法無需考慮共有信號問題，可根據(jù)系統(tǒng)的組成結(jié)構(gòu)直接將操作符轉(zhuǎn)換成為動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型.

2)新算法可通過成熟的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)軟件對可修復(fù)操作符直接進行定量求解.

3)新算法計算簡便且轉(zhuǎn)換過程簡單直觀，易于理解，便于GO法在工程中的推廣應(yīng)用.

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