黃　龍，潘　年，馬文禮，黃金龍

(1.中國科學院 光電技術(shù)研究所，四川 成都 610209；

2.中國科學院大學，北京 100049)

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拼接式編碼器測角誤差分析及試驗

黃龍1,2，潘年1,2，馬文禮1*，黃金龍1

(1.中國科學院 光電技術(shù)研究所，四川 成都 610209；

2.中國科學院大學，北京 100049)

摘要：根據(jù)望遠鏡測角系統(tǒng)的精度需求，分析了影響拼接式編碼器測角精度的誤差源，以及多讀數(shù)頭測角消差原理，確定了采用相位相差90°的4讀數(shù)頭的測角方式。在某望遠鏡方位軸系轉(zhuǎn)臺進行了逆時針和順時針方向的測角試驗，通過對測角數(shù)據(jù)進行諧波分析并補償后，得到兩組實驗測角誤差RMS分別為0.34″、0.38″。實驗表明，相位相差90°的均布4讀數(shù)頭的測角方式消除了由軸系誤差、編碼器安裝位置誤差和鋼帶安裝盤部分圓度誤差對測角精度的影響，實現(xiàn)了亞角秒級測角的目的。研究結(jié)果可用于大口徑望遠鏡設(shè)計階段的誤差分析與分配、預估測角精度，為降低設(shè)計和加工誤差提供參考。

關(guān)鍵詞:拼接式編碼器；測角精度；諧波分析；望遠鏡

Error analysis and experimentation of scale tape encoder

1引言

光電編碼器具有高分辨率、系統(tǒng)精度、重復性能好、動態(tài)響應快、環(huán)境適應性強等優(yōu)點，廣泛應用于高精度測量角度的儀器設(shè)備中。光電編碼器作為角度測量元件，主要應用在望遠鏡上，其測量精度直接影響望遠鏡的指向和跟蹤精度[1]?，F(xiàn)代光電望遠鏡的軸系尺寸較大，使得傳統(tǒng)的玻璃圓光柵編碼器不再適用，拼接式鋼帶光柵編碼器由于具有精度高、裝調(diào)簡單、能靈活調(diào)整自身尺寸等優(yōu)點，作為新一代測角編碼器被廣泛應用于現(xiàn)代大型望遠鏡測角系統(tǒng)中。近年來,隨著測控技術(shù)的迅速發(fā)展,對光電軸角編碼器的測角精度、分辨力和可靠性提出了更高的要求。光電編碼器誤差主要包括碼盤制造誤差、軸系晃動誤差、碼盤偏心誤差、細分誤差、量化誤差、檢測誤差等[2-4]。這些誤差來自于編碼器的碼盤刻劃、機械裝調(diào)、電子學處理等過程，其結(jié)果都會對編碼器的測量精度產(chǎn)生影響。因此，對編碼器的精度分析和誤差補償技術(shù)的研究有助于提高編碼器精度[5-7]。

然而，編碼器的測角性能常常會受到各種機械裝調(diào)誤差、零部件加工誤差、測量過程隨機誤差等各類誤差因素的影響[8]，在系統(tǒng)測角精度要求為角秒或亞角秒級情況下,往往不能滿足要求。為了減小編碼器測角誤差，需要研究其誤差的來源，有針對性地控制誤差源，提高系統(tǒng)的精度。國外很多望遠鏡項目如Very Large Telescope(VLT)、Large Binocular Telescope(LBT)、William Herschel Telescope(WHT)[9-11]等都對編碼器類型、測角方案、測角誤差源以及校正方案都做出了詳細地理論分析和實驗驗證。通過對測量誤差諧波特性的分析[12]，正確認識誤差的來源和特征可以有效消除或減小誤差。本文基于拼接式鋼帶編碼器的誤差源進行分析，在文獻[5]的基礎(chǔ)上做了進一步的分析，提出了諧波分析幅值補償方法。

2拼接式編碼器測角誤差分析與修正

根據(jù)編碼器安裝方式以及測角基本原理，可以將影響拼接式編碼器測角的因素分為：系統(tǒng)誤差，機械安裝、零件加工誤差及其它誤差。溫度不均勻引起的光柵尺不規(guī)則變形對測角誤差影響較小，可忽略不計[13]。

2.1　機械加工和安裝誤差

機械加工和安裝誤差主要包括圓盤安裝偏心、鋼帶安裝圓環(huán)不圓度、光柵安裝盤傾斜等，引入的測角誤差諧波主要集中在低頻區(qū)域。

2.1.1安裝偏心引起的測角誤差

偏心指鋼帶安裝盤的幾何中心與實際旋轉(zhuǎn)中心之間的距離，圖1為光柵偏心示意圖。設(shè)光柵半徑為R；光柵中心相對于旋轉(zhuǎn)中心的偏心距為e；偏心與參考零位的夾角為0°。理想情況下(光柵中心與旋轉(zhuǎn)中心重合)，光柵轉(zhuǎn)過角度φ時，讀數(shù)頭掃描區(qū)域應為理想圓上的一段圓弧S。

圖1　安裝偏心原理圖 Fig.1　Schematic diagram of mechanical installation eccentricity

(1)

存在偏心時，讀數(shù)頭掃描區(qū)域S′已非理想狀態(tài)下的圓弧?；￠L等于半徑乘以弧度，易知dS′=R1dφ，故采用積分法求這段弧長，R1為旋轉(zhuǎn)中心至光柵表面的距離。對于任一轉(zhuǎn)動角度φ，R1有如下表達式：

(2)

讀數(shù)頭掃描區(qū)域S′為：

(3)

故由偏心引入的掃描區(qū)域弧長誤差為：

(4)

(5)

光柵尺直徑為D=550 mm時，此時由于機械安裝偏心e=5 μm,引起的測角誤差為3.75″。

2.1.2鋼帶安裝環(huán)圓度引起的測角誤差

由于加工制造和安裝的原因，拼接鋼帶安裝后會產(chǎn)生圓度誤差。受其影響，旋轉(zhuǎn)中心至光柵表面的距離Rθ中增加了二階以上的高次諧波，綜合偏心作用，Rθ用諧波可表示為：

(6)

圖2　鋼帶安裝環(huán)橢圓度原理圖 Fig.2　Schematic diagram of roundness error with cirque

則由光柵圓度引入的讀數(shù)頭掃描區(qū)域弧長誤差為：

(7)

則由光柵圓度引入的測角誤差為：

(8)

則各階諧波產(chǎn)生的測角誤差幅值為(單位：″)：

(9)

由上可知，光柵圓度引起的誤差諧波階次越高，幅值越小，對光柵測角精度影響也越小。故這類誤差主要集中在低頻區(qū)域。

2.2　多讀數(shù)頭消差原理

采用多讀數(shù)頭消差技術(shù)，即沿光柵編碼器圓周均布n個讀數(shù)頭，以消除由軸系晃動、光柵安裝偏心和圓度等引起的中低頻測角誤差。在精密測角場合中，它是提高測角精度最普遍最有效的手段，而且具有實時補償性。設(shè)被測軸的轉(zhuǎn)角真值為θ，各讀數(shù)頭讀出的角度值分別為θj，j=1，2，…，n，那么各讀數(shù)頭的測角誤差Δθj：

(10)

由上式可知，編碼器的測角誤差可以表示為各次諧波量的合成。于是，各讀數(shù)頭的測量誤差Δθj可表示為傅氏級數(shù)：

或

(11)

式中，M為測角誤差諧波的最高階數(shù)；Ai、Bi為第i階諧波誤差系數(shù)；Ci為第i階諧波誤差的振幅；φi為第i階諧波的初相角。

均布n個讀數(shù)頭的讀數(shù)平均值為：

(12)

(13)

交換求和次序，并應用兩角和的三角公式，整理后得：

(14)

因為:

(15)

(i為≥1的任何整數(shù))

則：

或

(16)

式中，m為≤M/n的正整數(shù)。

上式即是經(jīng)多讀數(shù)頭消差技術(shù)后的測角誤差。它只含有kn階誤差，已不再含有kn階以上的各階誤差成分。因此，對徑兩讀數(shù)頭可以消除由偏心引入的一階誤差；均布四讀數(shù)頭可消除機械安裝偏心誤差和鋼帶安裝圓環(huán)橢圓度誤差。

在機械安裝誤差中一階諧波與二階諧波起主導作用，而對徑讀數(shù)主要用于消除一階誤差；兩垂直讀數(shù)頭主要用于消除二階誤差。

(1)讀數(shù)頭不對徑時消除一階誤差諧波的效果

設(shè)一階誤差幅值為C1，兩讀數(shù)頭之間的角度為180°+ε，則經(jīng)讀數(shù)平均后的一階諧波誤差變?yōu)椋?/p>

(17)

(2)讀數(shù)頭不垂直時消除二階誤差諧波的效果

設(shè)一階誤差幅值為C2，兩讀數(shù)頭之間的角度為90°+ε，則經(jīng)讀數(shù)平均后的二階諧波誤差變?yōu)椋?/p>

(18)

此時不垂直讀數(shù)并未完全消除二階誤差諧波，幅值變?yōu)?sinε×C2。若ε=1°，則幅值為0.035C2。

3測角實驗與分析

實驗在某望遠鏡方位軸系轉(zhuǎn)臺上進行，測角組件由海德漢ERA8400C型拼接式鋼帶光柵尺和均布四個讀數(shù)頭組成，光柵直徑為550 mm，系統(tǒng)分辨力為0.05″。標校系統(tǒng)采用23面體和自準直儀，如圖3所示，對各讀數(shù)頭進行了編號，其中讀數(shù)頭1提供零位信號。

圖3　測角實驗原理圖　Fig.3　Schematic diagram of angle measuring experiment

使方位轉(zhuǎn)臺沿逆時針和順時針方向旋轉(zhuǎn)分別測量鋼帶編碼器的測角誤差，其測角誤差曲線如圖4、圖5,兩組測角誤差數(shù)值最大分別為8.51″、9.45″，兩組測角實驗合成誤差的RMS分別為0.42″、0.59″。

根據(jù)前述理論分析可知，均布多讀數(shù)頭可以消除除kn階以外的所有階次誤差諧波。故采用對徑雙讀數(shù)頭時合成誤差諧波應呈現(xiàn)出階次為1、3、5、7、9、11的諧波幅值明顯降低；采用均布四讀數(shù)頭時合成誤差諧波應呈現(xiàn)出階次為1、2、3、5、6、7、9、10、11的諧波幅值明顯降低。通過表1對順時針方向測量的數(shù)據(jù)分析可以看出：除幅值顯著較大的一階和二階諧波外，其余幅值較小的階次似乎并不明顯甚至不符合上述的消諧波特性。這里必須考慮到導致這種結(jié)果的原因：第一，受測量點數(shù)的限制，諧波分析法本身會帶來諧量混雜影響，計算得出的每一階次諧波按照一定規(guī)律混雜了其他階次諧波。那么幅值較小的諧波，受其它諧量影響就較大。第二，幅值小的諧波易受到隨機誤差等因素影響。

圖4　逆時針方向讀數(shù)頭測角誤差曲線 Fig.4　Angle measurement error curve for counterclockwise

圖5　順時針方向讀數(shù)頭測角誤差曲線 Fig.5　Angle measurement error curve for clockwise

表1順時針旋轉(zhuǎn)不同讀數(shù)頭數(shù)目下的誤差諧波幅值表

Tab.1Harmonic amplitude of different reading heads for clockwise rotation

(單位：〃)

下面選取順時針旋轉(zhuǎn)數(shù)據(jù)，分析讀數(shù)頭1與其余讀數(shù)頭之間的初相位關(guān)系，來驗證各讀數(shù)頭的測角誤差理論模型，進一步證明其消諧波特性[14]。由式(11)知，對于同一階次諧波，讀數(shù)頭1與其余讀數(shù)頭的初相位差值為i×(j-1)×2π/4，其中i指諧波階次，i=1,2；j指讀數(shù)頭序號,j=2,3,4?？疾斐跸辔槐?，比較讀數(shù)頭1與其余讀數(shù)頭的一、二階諧波初相位。計算結(jié)果見表2，各讀數(shù)頭的一、二階諧波曲線見圖6、7。

表2　初相位理論差值與實際差值比較表

圖6　順時針方向讀數(shù)頭測角誤差一次諧波 Fig.6　First harmonic of angle measurement error for clockwise

圖7　順時針方向讀數(shù)頭測角誤差二次諧波 Fig.7　Second harmonic of angle measurement error for clockwise

由表2可知，對于一、二階諧波，讀數(shù)頭1與其余讀數(shù)頭的初相位理論差值與實際差值較大。首先從諧波特性來考察光柵1的誤差曲線圖。若僅存在一階誤差諧波，那么讀數(shù)頭1的誤差曲線應該與讀數(shù)頭3的誤差曲線對稱，讀數(shù)頭2與4的誤差曲線應該對稱。但是從圖6、7中易看出，上述誤差曲線并不對稱，出現(xiàn)明顯的相位偏差。因此我們推測測角誤差含有幅值較大的二階以上的諧波，導致了相位關(guān)系發(fā)生改變。分析誤差諧波特性，觀察表1，可以看到二階諧波幅值遠大于除一階以外的其他階次幅值，這種結(jié)果與上述推測一致。假定測角誤差僅由一階與二階誤差諧波組成，利用諧波分析擬合誤差曲線，此時各讀數(shù)頭的誤差曲線見圖8。

圖8　順時針方向讀數(shù)頭測角誤差擬合曲線 Fig.8　Fitted curves of angle measurement error for clockwise

4結(jié)論

本文采用相位差為90°的均布4讀數(shù)頭測角方式，從理論角度分析了拼接光柵機械安裝偏心、圓度誤差等對編碼器測角的影響，然后分析了4讀數(shù)頭的消差原理。最后在某望遠鏡方位軸系轉(zhuǎn)臺上進行了逆時針和順時針方向測角實驗，對兩組測角實驗誤差進行諧波分析，通過幅值補償后RMS值分別為0.34″、0.38″，與未進行幅值補償(文獻[5])相比有明顯改善。實驗表明該方案和校正方法能消除由于鋼帶安裝盤安裝偏心、鋼帶安裝盤圓度誤差及部分系統(tǒng)誤差等引起的測角誤差，實現(xiàn)了亞角秒級精度的測角。由于讀數(shù)頭安裝位置精度原因，使得分離出的高次諧波相位相差較大，還有待進一步研究，并進行相位補償。本文可為未來大口徑望遠鏡設(shè)計階段的測角方案和誤差分析與分配、預估測角精度，為降低設(shè)計和加工誤差提供參考。

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黃　龍(1990—)，男，四川巴中人，博士研究生，主要從事大型望遠鏡軸系技術(shù)方面的研究。E-mail:cdhuanglong@163.com

潘　年(1987—)，男，重慶忠縣人，博士研究生，主要從事大尺寸光柵測角技術(shù)方面的研究。E-mail:wopannian@163.com

馬文禮(1962—)，男，吉林四平人，研究員，博士生導師，主要從事望遠鏡系統(tǒng)、微電子檢測設(shè)備、線陣和面陣CCD光學拼接、低溫光學系統(tǒng)、真空遠紅外光譜測量儀、空間相機內(nèi)方位元素測量儀等方面的研究。E-mail:mawenli@ioe.ac.cn

黃金龍(1982—)，男，四川渠縣人，碩士，助理研究員，主要從事大型望遠鏡結(jié)構(gòu)設(shè)計方面的研究。E-mail:huangjinlong8080@163.com

HUANG Long1,2, PAN Nian1,2, MA Wen-li1*, HUANG Jin-long1

(1.InstituteofOpticsandElectronics,ChineseAcademyof

Sciences,Chengdu610209,China;

2.UniversityoftheChineseAcademyofSciences,Beijing100049,China)

Abstract:According to the accuracy specifications of telescope goniometry, error sources of sacle tape grating encoder and the angle measuring principle of multi reading head are analyzed. A 4-reading heads angle measurement program which have 90° phase difference, have been developed. And we make counterclockwise and clockwise angle measuring experiments on an azimuth turntable of telescope through harmonic processing and error compensation, and two sets of experiments measuring angle error RMS values of 0.42″ and 0.41″ are obtained. Experiment results show that the effect of shafting errors, processing error of installation position and partly roundness error for installation torus on the angular measurement accuracy is eliminated by harmonic processing and phase difference method, and high precision angle measurement with sub-arc-second-accuary is achieved. The research results are useful for analyzing and distributing errors, forecasting angle measuring accuracy and reducing design and machining errors in the design of large aperture telescopes.

Key words:scale tape grating encoder;angular measurement accuracy;harmonic analysis;telescope

作者簡介：

*Corresponding author, E-mail:mawenli@ioe.ac.cn

中圖分類號：TH741; TP762

文獻標識碼:A

doi:10.3788/CO.20150803.0464

文章編號2095-1531(2015)03-0464-07

基金項目：國家自然基金資助項目(No.60978050)

收稿日期:2014-12-15；

修訂日期:2015-02-19