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MATLAB在多元函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

麻 桂 英

(包頭師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014030)

摘要：多元函數(shù)微積分的教學(xué)一直都是《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。采用Matlab軟件于教學(xué)，可以使抽象繁冗的數(shù)學(xué)理論直觀化，具體化，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)熱情。

關(guān)鍵詞：極限；偏導(dǎo)數(shù)；方向?qū)?shù)；重積分；Matlab； 曲面積分

《高等數(shù)學(xué)》是理工科院校的一門重要的基礎(chǔ)課，其主要研究對(duì)象是函數(shù)。在《高等數(shù)學(xué)》上冊(cè)中我們討論的函數(shù)只有一個(gè)自變量，這樣的函數(shù)稱為一元函數(shù)；但在很多實(shí)際問(wèn)題中往往牽涉到多方面的因素，反映到數(shù)學(xué)上，就是一個(gè)變量依賴于多個(gè)變量的情形，由此提出了多元函數(shù)以及多元函數(shù)的微分與積分問(wèn)題?！陡叩葦?shù)學(xué)》下冊(cè)的核心內(nèi)容之一就是多元函數(shù)的微積分。盡管多元函數(shù)的微積分是一元函數(shù)微積分的拓展，但從一元函數(shù)到二元函數(shù)會(huì)產(chǎn)生新問(wèn)題，而從二元函數(shù)到二元以上的多元函數(shù)則可以類推，因此討論中我們以二元函數(shù)為主。

由于多元函數(shù)的研究已經(jīng)從線到面甚至空間，教學(xué)中學(xué)生普遍感到學(xué)習(xí)困難：教學(xué)內(nèi)容抽象，計(jì)算繁雜；而Matlab的優(yōu)勢(shì)是它強(qiáng)大的計(jì)算能力，在多元函數(shù)教學(xué)中巧妙借助一些數(shù)學(xué)軟件能使抽象復(fù)雜的內(nèi)容直觀化，繁冗的計(jì)算與推導(dǎo)簡(jiǎn)單化。

1計(jì)算多元函數(shù)的極限

多元函數(shù)的極限要比一元函數(shù)的極限復(fù)雜的多。原因是二元函數(shù)的自變量在平面上從四面八方以任意方式趨近于某一目標(biāo)遠(yuǎn)比一元函數(shù)在直線上只有左右兩個(gè)趨近方向復(fù)雜。

解：求極限的程序：

>> clear

>> syms x y

>> f=(x*y-sin(x*y))/(x*y-x*y*cos(x*y))

f =

(x*y-sin(x*y))/(x*y-x*y*cos(x*y))

>> fx=limit(f,'x',0)

fx =

1/3

>> fxy=limit(fx,'y',0)

fxy =

1/3

2求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

盡管多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則類似于一元函數(shù)的求導(dǎo)法則，但求偏導(dǎo)的計(jì)算繁冗，尤其是高階偏導(dǎo)數(shù)。

例2:設(shè)z=u2lnv，而u-xy,v=x+y，求z關(guān)于變量x及y的一階偏導(dǎo)數(shù)和二階偏導(dǎo)數(shù)。

解：復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的程序：

>>clear

>>syms x y z u v

>>u=x*y;

>>v=x+y;

>> z=u^2*log(v);

>>dzx=diff(z,'x')

dzx =

2*x*y^2*log(x+y)+x^2*y^2/(x+y)

>>dzy=diff(z,'y')

dzy =

2*x^2*y*log(x+y)+x^2*y^2/(x+y)

>> pretty(dzx),pretty(dzy)

2xy2iog(x+y)+x2y2/(x+y)

2x2ylog(x+y)+x2y2/(x+y)

>> dzxy=diff(dzx,'y')

dzxy =

4*x*y*log(x+y)+2*x*y^2/(x+y)+2*x^2*y/(x+y)-x^2*y^2/(x+y)^2

>> dzxx=diff(dzx,'x')

dzxx =

2*y^2*log(x+y)+4*x*y^2/(x+y)-x^2*y^2/(x+y)^2

>> dzyy=diff(dzy,'y')

dzyy =

2*x^2*log(x+y)+4*x^2*y/(x+y)-x^2*y^2/(x+y)^2

>> dzyx=diff(dzy,'x')

dzyx =

4*x*y*log(x+y)+2*x*y^2/(x+y)+2*x^2*y/(x+y)-x^2*y^2/(x+y)^2

>> pretty(dzxy),pretty(dzxx)

4xylog(x+y)+2xy2/(x+y)+2x2y/(x+y)-x2y2/(x+y)2

2ylog(x+y)+4xy/(x+y)-xy/(x+y)2

3求多元函數(shù)的梯度和方向?qū)?shù)

方向?qū)?shù)顯示了函數(shù)在某點(diǎn)沿著某個(gè)方向上的變化率。函數(shù)在某點(diǎn)沿某個(gè)方向的方向?qū)?shù)等于在該點(diǎn)的梯度與該方向的單位向量的數(shù)量積。而模取得最大值的方向?qū)?shù)就是該店的梯度，此時(shí)多元函數(shù)增加最快。

解：先計(jì)算方向?qū)?shù)，程序如下：

>> clear

>> syms x y

>> z=x^2+y^2;

>> v=[1/2,sqrt(3)/2];

>> dxy=jacobian(z)

dxy =

[ 2*x, 2*y]

>>T=dot(dxy,v)

T =

conj(x)+conj(y)*3^(1/2)

>> subs(T,'x',1)

ans =

1+conj(y)*3^(1/2)

>> subs(subs(T,'x',1),'y',2)

ans =

4.4641

再畫圖像

>>clear

>>x=[-1:0.1:1];

>> [X,Y]=meshgrid(x);

>> Z=X.^2+Y.^2;

>>surf(X,Y,Z)

4計(jì)算多元函數(shù)的極值

由于二元函數(shù)求極值的充分條件需要計(jì)算一階及二階偏導(dǎo)數(shù)，運(yùn)算量大，因此可用MATLAB優(yōu)化多元函數(shù)的極值與最值問(wèn)題。

例4:討論函數(shù)f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的極值。

解：先求極值

>> clear

>> syms x y X Y

>> f=x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x

f =

x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x

>> F=jacobian(f)

F =

[ 3*x^2+6*x-9,-3*y^2+6*y]

>> [X,Y]=solve(F(1),x,F(2),y)

X =

1

-3

1

-3

Y =

0

0

2

2

>> dxx=diff(F(1))

dxx =

6*x+6

>> dyy=diff(F(2))

dyy =

-6*y+6

>> dxy=diff(F(1),y)

dxy =

0

由MATLAB程序知，函數(shù)有四個(gè)駐點(diǎn):(-3,0)’(1,0),(-3,2),(1,2);依次判別得函數(shù)在(-3,2)處有極大值31；在(1,0)處有極小值-5；其它駐點(diǎn)處無(wú)極值。

5計(jì)算三重積分

>> clear

>> syms x y z

>> f=z;

>> A=int(int(int(f,z,x^2+y^2,2),y,0,sqrt(2-x^2)),x,0,sqrt(2))

A=

2/3*pi

6計(jì)算曲面積分

>>clear

>> syms Q V x y z a

>> x=a*cos(Q)*sin(V);y=a*sin(Q)*sin(V);z=a*cos(V);

>> dxQ=diff(x,Q);dxV=diff(x,V);

>> dyQ=diff(y,Q);dyV=diff(y,V);

>>dzQ=diff(z,Q);dzV=diff(z,V);

>>E=dxQ^2+dyQ^2+dzQ^2

E =

a^2*sin(Q)^2*sin(V)^2+a^2*cos(Q)^2*sin(V)^2

>>G=dxV^2+dyV^2+dzV^2

G =

a^2*cos(Q)^2*cos(V)^2+a^2*sin(Q)^2*cos(V)^2+a^2*sin(V)^2

>>F=dxQ*dxV+dyQ*dyV+dzQ*dzV

F =

0

>> dS=sqrt(E*G-F^2)

dS =

((a^2*sin(Q)^2*sin(V)^2+a^2*cos(Q)^2*sin(V)^2)*(a^2*cos(Q)^2*cos(V)^2+a^2*sin(Q)^2*cos(V)^2+a^2*sin(V)^2))^(1/2)

>>dS=simplify(dS)

dS=

(-a^4*(-1+cos(V)^2))^(1/2)

>> f=x+y+z

f=

a*cos(Q)*sin(V)+a*sin(Q)*sin(V)+a*cos(V)

>> I=int(int(f*dS,Q,0,2*pi),V,0,pi/2)

I=

1/(a^4)^(1/2)*a^5*pi

>> simple(I)

simplify:

csgn(a^2)*a^3*pi

radsimp:

a^3*pi

在《高等數(shù)學(xué)》下冊(cè)多元函數(shù)的教學(xué)中，融數(shù)學(xué)軟件與教學(xué)，大膽嘗試，不斷探索，勇于創(chuàng)新是提高教學(xué)質(zhì)量的必由之路。

〔參考文獻(xiàn)〕

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)(第六版)[M].北京：高等教育出版社,2008，4.

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[3]張學(xué)山等.高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].上海：華東理工大學(xué)出版社，2006,9.

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[7]大學(xué)數(shù)學(xué)編寫委員會(huì)編.高等數(shù)學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2013,6.

[8]麻桂英.大一新生《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)策略的探究[J].陰山學(xué)刊，2014,2.

Application of MATLAB in Multi Function Teaching

MA Gui-ying

(Faculty of Mathematic,Baotou Teachers College,Baotou 014030)

Abstract:The calculus teaching of many variables function has been the key points and difficulties of higher mathematics.Using Mat lab software in teaching can make the abstract mathematical theory of lifting, visualizations, and specific, so as to stimulate students' interest in learning, improve their learning enthusiasm.

Key words:limit; partial derivatives.directional derivative; double Integrals; Matlab; surface integral

中圖分類號(hào)：O242

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004-1869(2015)02-0063-04

作者簡(jiǎn)介：麻桂英(1969-)，內(nèi)蒙古鄂爾多斯市人，副教授，研究方向：高等數(shù)學(xué)教學(xué)。

收稿日期：2014-11-04