劉金旺,關(guān)劍成,王衛(wèi)兵,周飛躍,袁梓翰

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無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小量的積與和

劉金旺,關(guān)劍成,王衛(wèi)兵,周飛躍,袁梓翰

(湖南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 湖南湘潭, 411201)

通過(guò)2個(gè)無(wú)窮可數(shù)個(gè)無(wú)窮小量的積及2個(gè)無(wú)窮可數(shù)個(gè)無(wú)窮小量的和的實(shí)例, 證明了無(wú)窮可數(shù)個(gè)無(wú)窮小量的積或者和均不一定是無(wú)窮小量。

函數(shù); 函數(shù)列;無(wú)窮小量

眾所周知, 有限個(gè)在同一點(diǎn)的無(wú)窮小量的和與積還是一個(gè)無(wú)窮小量[1–2]。在函數(shù)的探索與研究中, 常會(huì)遇到“無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小量的積與和是否仍是無(wú)窮小量”的問(wèn)題。在討論該問(wèn)題之前, 先給出無(wú)窮(可列)個(gè)函數(shù)的積的定義[3]。

定義1 設(shè){f()}是數(shù)集上的函數(shù)列, 若對(duì)任意的∈都有存在, 那么定義了一個(gè)數(shù)集上的函數(shù), 把()叫做{f()}的積。

文獻(xiàn)[4]討論了無(wú)窮小量的積與和, 本文將通過(guò)一些具體的例子來(lái)討論無(wú)窮(可列)個(gè)無(wú)窮小量的積與和。先討論積的情形。

實(shí)際上, 如果把上面的{f()}改為(= 1, 2,…), 這里為任意一個(gè)實(shí)數(shù), 那么類似地可得, 也就是說(shuō)無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小量的積可以是任意實(shí)數(shù)。

如果把上面的{f()}改為(= 1, 2,…),這里為任意一個(gè)實(shí)數(shù), 則當(dāng)→0+時(shí),f()→0,= 1, 2,…對(duì)任意的0> 0, 令0= [1/0] + 1, 則1/0<0≤ 1/(0-1), 類似地可得, 所以。

下面的例2將說(shuō)明無(wú)窮(可列)個(gè)無(wú)窮小量的積可以是無(wú)窮大量。

上面的2個(gè)例子是關(guān)于積的情形, 下面舉2個(gè)反例來(lái)說(shuō)明和的情形也不成立。

同樣地, 無(wú)窮(可列)個(gè)無(wú)窮小量的和可以是無(wú)窮大量, 下面舉1個(gè)例子說(shuō)明。

參考文獻(xiàn)：

[1] 歐陽(yáng)光中. 數(shù)學(xué)分析[M]. 3版. 北京: 高等教育出版社, 2008: 70–73.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析[M]. 4版. 北京: 高等教育出版社, 2001: 61–66.

[3] Rudin W. Principles of Matnematical Analysis [M]. 3rd Edition. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2004: 83–98.

[4] 孟健, 趙遷貴. 關(guān)于無(wú)窮小量乘積的討論[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2002, 32(3): 517–518.

(責(zé)任編校: 江河)

The product and sum of infinite infinitesimals

Liu Jinwang, Guan Jiancheng, Wang Weibing, Zhou Feiyue, Yuan Zihan

(School of Mathematics and Computational Science, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China)

For two examples of in either of which there are infinite infinitesimals whose product are not an infinitesimal, and two other examples in either of which there are infinite infinitesimals whose sum are not an infinitesimal, it is obtained that the product (sum) of infinite infinitesimals is not necessarily an infinitesimal.

function; series of functions; infinitesimals

10.3969/j.issn.1672–6146.2015.02.001

O 15

1672–6146(2015)02–0001–02

劉金旺, jwliu64@aliyun.com。

2014–10–30

湖南省研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目(CX2014B418)。