天文經(jīng)緯度歸心實(shí)用算式推證

蘇明曉，包 歡，趙軍喜，王玉峰

（1．96633部隊(duì)，北京 100096；2．信息工程大學(xué) 地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州450052；3．92292部隊(duì)，山東 青島 266405）

1 天文經(jīng)緯度歸算至標(biāo)志中心算式的推證

1．1 歸心計(jì)算式的推證過(guò)程

圖1中設(shè)C為測(cè)站，天文經(jīng)緯度為λ0，φ0。Z為庫(kù)房測(cè)試間的地面標(biāo)志中心，天文經(jīng)度和緯度分別為λ，φ。歸心的目的是將測(cè)站天文經(jīng)緯度歸算為標(biāo)志中心的經(jīng)緯度，需測(cè)定歸心元素：d為測(cè)站C到標(biāo)志中心Z之間的水平距離，α為CZ方向的方位角，由正北起算。CK為C點(diǎn)的平行圈，在球面三角形CZK中有

球面三角形CZK相對(duì)較小，可視作平面三角形，所以

圖1 測(cè)站歸心

因此

第一等式右邊應(yīng)乘以ρ／M0，第二等式右邊應(yīng)乘以ρ／N0，得到

其中ρ＝206 265是角秒與弧度的換算常數(shù)；M0和N0為C點(diǎn)的子午圈曲率半徑和卯酉圈曲率半徑。在橢球測(cè)量學(xué)中［2］

式（5）中a是參考橢球的長(zhǎng)半軸，e2是由參考橢球基本元素導(dǎo)出的常數(shù)，B是測(cè)站點(diǎn)的大地緯度。于是得到精密的天文經(jīng)緯度歸心計(jì)算式

然而，國(guó)際米原器的準(zhǔn)確度只有0.1微米，并且難以復(fù)現(xiàn)，容易損壞，隨時(shí)間會(huì)有緩慢的變化。所以，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，用自然米取代實(shí)物米就成為了一個(gè)必然趨勢(shì)。

該式在一些文獻(xiàn)中存在不同形式的謬誤，數(shù)據(jù)處理人員在使用時(shí)務(wù)必注意。

由式（3）知測(cè)試間地面標(biāo)志中心點(diǎn)的天文經(jīng)緯度

1．2 天文經(jīng)緯度歸心計(jì)算式中變量特點(diǎn)

分析式（6）中的變量：d，α和φ0是測(cè)站點(diǎn)的觀測(cè)數(shù)據(jù)，隨測(cè)站位置和實(shí)際條件而變化；ρ，a和e是（與參考橢球有關(guān)的）常數(shù)；B隨測(cè)站位置的變化而變化，影響歸心計(jì)算結(jié)果。在其它參數(shù)和變量確定不變的前提下，分析歸心元素d，α對(duì)歸心計(jì)算結(jié)果的影響：

1）d越大，Δφ和Δλ的絕對(duì)值也越大。

2）在α＝0°或180°時(shí)，cosα絕對(duì)值最大為1，Δφ的絕對(duì)值也最大；sinα絕對(duì)值最小，Δλ的絕對(duì)值也最小為0。

3）在α＝90°或270°時(shí)，cosα絕對(duì)值最小，Δφ的最小絕對(duì)值為0；sinα最大絕對(duì)值為1，Δλ的絕對(duì)值也最大。

2 天文經(jīng)緯度歸心計(jì)算實(shí)用公式的設(shè)計(jì)

2．1 天文經(jīng)緯度歸心計(jì)算實(shí)用公式的設(shè)計(jì)

我國(guó)自2008年7月1日起啟用2000國(guó)家大地坐標(biāo)系，歸心計(jì)算使用的橢球參數(shù)是確定不變的［3－4］。不妨構(gòu)建常數(shù)

我國(guó)領(lǐng)土的地理緯度大體在北緯3°～55°之間，隨著緯度B增大，sin B增大，（1－e2sin2B）減小，即常數(shù)Ⅰ和Ⅱ隨B增大而減小。為獲得有較好代表性的常數(shù)Ⅰ和Ⅱ的數(shù)值，分別取B＝3°和B＝55°，將2 000國(guó)家大地坐標(biāo)系的橢球參數(shù)a＝6 378 137 m、常數(shù)e2＝0．006 694 380 022 9和ρ一并代入式（8）［5］；得到3°和55°處常數(shù)Ⅰ、Ⅱ的數(shù)值，取其均值作為常數(shù)Ⅰ、Ⅱ的結(jié)果［6］

于是式（6）簡(jiǎn)化為

這就是適于我國(guó)境內(nèi)使用的天文經(jīng)緯度歸心計(jì)算簡(jiǎn)化公式。Δφ和Δλ計(jì)算結(jié)果的單位分別是角秒和時(shí)秒。

2．2 歸心元素測(cè)量精度的數(shù)學(xué)分析

式（10）中觀測(cè)值d和α相互獨(dú)立，其測(cè)量的中誤差為md和mα，根據(jù)誤差傳播定律，Δφ和Δλ的誤差mΔφ和mΔλ應(yīng)為［7］

進(jìn)一步計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)

解得

可見在Δφ和Δλ精度既定的情況下，歸心元素的測(cè)量精度與測(cè)站點(diǎn)天文緯度φ0有關(guān)，且隨偏心觀測(cè)的水平距離d和方位角α的大小不同而變化，具體作業(yè)時(shí)宜根據(jù)作業(yè)條件確定歸心元素的測(cè)量精度。

3 計(jì)算比對(duì)及結(jié)論

為分析歸心計(jì)算式的精度，對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)做如下處理：

1）為保證公式的實(shí)用性，歸心元素d使用近年實(shí)際數(shù)據(jù)處理作業(yè)中遇到的最大值350 m；

2為便于討論，歸心元素α分別取接近其最大值的0．1°和89．9°各兩組數(shù)據(jù)；

3）大地緯度B分別取3°和55°各兩組數(shù)據(jù)，以確保試驗(yàn)數(shù)據(jù)涵蓋我國(guó)境內(nèi)大部分地區(qū)；

4）天文緯度φ0與大地緯度B取值基本一致。

在使用簡(jiǎn)化天文經(jīng)緯度歸心式（10）計(jì)算的同時(shí)，使用精密天文經(jīng)緯度歸心式（6）進(jìn)行比對(duì)計(jì)算。試驗(yàn)數(shù)據(jù)及計(jì)算、比較和統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表1（為方便比較，Δλ單位也用角秒表示）。

專用工程需要的天文緯度和經(jīng)度測(cè)量中誤差分別是±0．5″和±0．4 s（相當(dāng)于±0．6″）。

1）天文緯度和經(jīng)度歸心簡(jiǎn)化實(shí)用公式與精密公式計(jì)算結(jié)果最大互差分別是0．038″和0．022″，這種極值出現(xiàn)在我國(guó)疆域的南北兩端，且小于所需天文緯度和經(jīng)度測(cè)量中誤差的10%。在我國(guó)中部廣大地區(qū)其互差僅為測(cè)量中誤差的1～2%。二者計(jì)算結(jié)果互差達(dá)到可以忽略的量級(jí)。

表1 兩種天文經(jīng)緯度歸心計(jì)算結(jié)果比較表

2）天文緯經(jīng)度歸心簡(jiǎn)化實(shí)用公式與精密公式計(jì)算結(jié)果互差中誤差分別是±0．02″和±0．01″，均達(dá)不到天文緯度和經(jīng)度測(cè)量中誤差的5%，忽略其差異不會(huì)對(duì)成果精度產(chǎn)生明顯影響［8］。

即用簡(jiǎn)化天文經(jīng)緯度歸心公式計(jì)算獲得的歸心改正數(shù)Δφ和Δλ精度與精密計(jì)算公式相當(dāng)，該式完全可以用于設(shè)備庫(kù)房導(dǎo)航設(shè)備測(cè)試間的天文經(jīng)緯度歸心數(shù)據(jù)處理。

利用簡(jiǎn)化的天文經(jīng)緯度歸心計(jì)算實(shí)用公式，可在野外簡(jiǎn)陋環(huán)境下快速計(jì)算天文經(jīng)緯度歸心改正數(shù)，獲取設(shè)備測(cè)試間地面標(biāo)志中心點(diǎn)的天文經(jīng)緯度；或作為歸心改正精密計(jì)算結(jié)果正確性的檢核手段，增強(qiáng)成果可靠性。

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