王 珍，程 壘

(1．北京市勘察設(shè)計研究院有限公司，北京100038;2．中科遙感科技集團(tuán)有限公司，北京100080)

一、引 言

對于線路長、高差大等地形情況復(fù)雜的工程，要完成地形圖測量任務(wù)，無論是采用常規(guī)的地形圖測量方法還是航空攝影測量技術(shù)，都需要在先完成首級平面和高程控制網(wǎng)測量的基礎(chǔ)上，完成次級的具有平面坐標(biāo)和高程的圖根控制點測量。

常規(guī)的導(dǎo)線測量和水準(zhǔn)測量的方式，外業(yè)測量和內(nèi)業(yè)平差都耗時長且容易出錯。GPS全球定位系統(tǒng)具有測量快、布網(wǎng)靈活、平面精度高等優(yōu)點，但高程控制網(wǎng)卻相對較弱一些。同時，GPS測定的高程是大地高，是地面點沿法線方向到參考橢球面的距離;而常見的工程采用的高程系統(tǒng)為正常高高程系統(tǒng)，正常高是地面點沿鉛垂線至似大地水準(zhǔn)面的距離，通過水準(zhǔn)測量確定。如何將GPS測得的大地高轉(zhuǎn)換為正常高，是線路長且面積較大項目的難點之一。如圖1所示。

圖1 某點大地高與正常高的示意圖

二、GPS高程擬合的原理

GPS高程擬合的原理是利用既有GPS大地高H又有正常高的Hr的多個已知點，按式(1)求出這些公共點的高程異常值ξ。然后由公共點的平面坐標(biāo)和ξ值，采用數(shù)學(xué)擬合的方法，擬合出測區(qū)內(nèi)的似大地水準(zhǔn)面。再根據(jù)其他GPS點的平面坐標(biāo)擬合出各點的高程異常ξi，則按式(2)可求得GPS網(wǎng)中各點的正常高Hr

三、GPS高程擬合的方法

GPS高程擬合方法有函數(shù)模型、統(tǒng)計模型、組合模型、重力模型等方法。而目前最常用的方法是多項式擬合方法。

1．二次多項式擬合法［1］

多項式函數(shù)擬合法的基本原理是:在區(qū)域GPS網(wǎng)內(nèi)，將似大地水準(zhǔn)面看成曲面或平面，將高程異常ξ表示為平面坐標(biāo)(x，y)或大地坐標(biāo)(B，L)的函數(shù)，通過既有GPS觀測又有水準(zhǔn)資料上點的高程異常確定測區(qū)內(nèi)似大地水準(zhǔn)面的模型或形狀，從而得到其他點上的高程異常，其數(shù)學(xué)模型為

式中，f(x，y)是擬合的似大地水準(zhǔn)面模型;ε是擬合誤差。

式中，a0，a1，a3，…，an為擬合待定參數(shù);x、y為各GPS點的平面坐標(biāo)，坐標(biāo)x、y可改為經(jīng)緯度B、L。合并式(3)、式(4)后便可得二次多項式曲面擬合模型

多項式擬合模型為

式中，

根據(jù)最小二乘原理(ε2=min)求得擬合系數(shù)，得到

對于二次和三次多項式，則至少分別需要6個和10個以上已知點來確定模型中的參數(shù)。

2．雙線性多項式內(nèi)插法［2］

雙線性多項式內(nèi)插法的數(shù)學(xué)模型為

式中，x、y為平面坐標(biāo);Z為高程;a0、a1、a3為擬合待定參數(shù)。

四、GPS的精度評定

為了客觀地評定GPS高程轉(zhuǎn)換的精度，在布設(shè)幾何水準(zhǔn)聯(lián)測點時，應(yīng)適當(dāng)多聯(lián)測幾個GPS點，其點位也應(yīng)均勻分布，作為外部檢核。

1．內(nèi)符合精度

根據(jù)參與擬合計算已知點的高程異常ξi與擬合值ξ'i，用vi=ξ'i－ξi求擬合殘差vi，按式(1)計算GPS高程擬合計算的內(nèi)符合精度μ

式中，v為擬合(檢核)殘差;N為參與計算的點個數(shù);T為必要觀測數(shù)。

2．外符合精度

根據(jù)檢核點值ξ'i與擬合值ξi之差，按下式計算GPS水準(zhǔn)的外符合精度M

式中，n為檢核點數(shù)。

五、具體實例

Matlab集數(shù)值分析、矩陣運算和圖形為一體，可方便應(yīng)用于數(shù)據(jù)分析和工程繪圖。本文采用Matlab環(huán)境中的二次多項式擬合法和雙線性多項式內(nèi)插法進(jìn)行運算。樣例數(shù)據(jù)為某平原地區(qū)100點(選擇50點擬合點，50點檢核點)及山地地區(qū)30點(23點擬合點，7點檢核點)，分別進(jìn)行上述兩種擬合方式。部分?jǐn)?shù)據(jù)見表1。

表1 平原地區(qū)高程異常

圖2 平原區(qū)采用雙線性擬合殘差圖

從圖2—圖5及表2中可以看出，二次多項式擬合法不適合平原地區(qū)擬合，最大高程異常的絕對值竟達(dá)1．903 m。而雙線性擬合法精度比較適應(yīng)于平原地區(qū)，高程擬合精度較優(yōu)。

圖3 平原區(qū)采用雙線性擬合檢核殘差圖

圖4 平原區(qū)采用二次多項式擬合殘差圖

圖5 平原區(qū)采用二次多項式檢核殘差圖

表2 二次多項式擬合與雙線性擬合法的對比(平原地區(qū))m

表3 山區(qū)的高程異常 m

從圖6—圖9及表4中可以看出，與二次多項式擬合法相比，雙線性擬合法不適合山區(qū)的高程擬合。二次多項式擬合法精度較好。

圖6 山區(qū)雙線性擬合殘差圖

表4 二次多項式擬合與雙線性擬合法的對比(山區(qū))m

圖7 山區(qū)雙線性擬合檢核殘差圖

圖8 山區(qū)二次多項式擬合殘差圖

圖9 山區(qū)二次多項式檢核殘差圖

從表5中可以看出，雙線性擬合法能夠滿足平原地區(qū)的高程擬合精度，二次多項式能夠滿足山區(qū)的高程擬合精度，且能達(dá)到圖根測量精度。

表5 二次多項式擬合法與雙線性擬合法精度比較cm

六、結(jié)束語

通過Matlab能夠快速實現(xiàn)GPS高程與水準(zhǔn)高程的轉(zhuǎn)換，該方法可以降低外業(yè)工作量，同時滿足了高程精度測量的要求。在目前所內(nèi)進(jìn)行的興延路項目中也利用了該方法進(jìn)行高程加密測量工作。上述擬合方法的數(shù)據(jù)驗證為類似工程的高程擬合提供了借鑒。

另外，在實際工程應(yīng)用中，應(yīng)結(jié)合現(xiàn)場的情況靈活運用二次多項式擬合法和雙線性擬合法進(jìn)行高程擬合。同時，為提高GPS高程擬合的精度，除了選用最優(yōu)的擬合方法外，還應(yīng)保證擬合點間高程異常的精度，提高水準(zhǔn)高和大地高的精度。

［1］ 黃征凱．確定區(qū)域似大地水準(zhǔn)面方法的比較分析［D］．桂林:桂林理工大學(xué)，2013．

［2］ 張紅華，孫月問．GPS高程擬合方法及精度分析［J］．測繪與空間地理信息，2014(2):132-138．