☉湖北省秭歸縣教育科研信息中心 何訓(xùn)光

☉湖北省秭歸縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)李萍

值得一學(xué)的多邊形求邊數(shù)問題

☉湖北省秭歸縣教育科研信息中心 何訓(xùn)光

☉湖北省秭歸縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)李萍

學(xué)習(xí)了多邊形以后，總是會(huì)出現(xiàn)一些求多邊數(shù)的邊數(shù)的問題需要師生們解答，而且這類題對(duì)于初學(xué)者并非易事，部分題就連有的老師也是難以入手.下面對(duì)一道典型的求邊數(shù)問題給出三種解法供讀者參考，希望能對(duì)讀者有所幫助.

題目已知多邊形的內(nèi)角和與某一個(gè)外角的度數(shù)總和為1350°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).

分析：看似一道簡單的題，文字不多，要求也單一，正應(yīng)了那句“看似尋常最奇崛，成如容易卻艱辛”的話，此題對(duì)于八年級(jí)的初學(xué)者來說就不容易了.不妨讀者先不看下面的答案試著解答一下.

涉及多邊形求邊數(shù)的問題，通常與多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理聯(lián)系在一起，并利用這兩個(gè)定理來解答.

下面給出三種學(xué)生可以理解的方法.

解法一：利用輔助未知數(shù)列方程求解

設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，并設(shè)題中所指的那個(gè)外角的度數(shù)為x°（x為輔助未知數(shù)，且0＜x＜180）.

由多邊形的內(nèi)角和定理可得180（n-2）+x=1350，

即x=1710-180n.

因?yàn)?＜x＜180，且當(dāng)x=0時(shí)，有n=9.5，當(dāng)x=180時(shí)，有n=8.5.

即有8.5＜n＜9.5.

又因?yàn)閚為正整數(shù)，所以n只能為9，因此原多邊形為九邊形.

解法二：列不等式組求解

對(duì)于學(xué)習(xí)過一元一次不等式組的同學(xué)來說，可以直接列不等式組來解答.

同解法一，先設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，并設(shè)題中所指的那個(gè)外角的度數(shù)為x°（x為輔助未知數(shù)，且0＜x＜ 180），再用含n的代數(shù)式表示x，即有x=1710-180n.

解這個(gè)不等式組得8.5＜n＜9.5.

又因?yàn)閚為正整數(shù)，所以n只能為9，因此原多邊形為九邊形.

值得說明的是：解法二和解法一的核心思想是一樣的，都是利用多邊形的一個(gè)外角在0°與180°之間來進(jìn)行解答的.解法一是在學(xué)生沒有學(xué)習(xí)不等式的解法時(shí)而進(jìn)行的一種討論法，解法二則是把這種討論的方法轉(zhuǎn)化成了一元一次不等式組.

解法三：直接討論

設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n.因?yàn)橐粋€(gè)多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)是（n-2）180°，即多邊形的內(nèi)角和應(yīng)為180°的倍數(shù)，所以有1350÷180=7……90°.

由此可知，這個(gè)多出的90°就只能是那個(gè)外角的度數(shù).并且n-2=7，即有n=9，所以原多邊形為九邊形