黃燕華　林生放

筆者在解決高中幾何題時(shí)，經(jīng)常會(huì)碰到這類問題：在圓中，做圓的各種切線、割線，再引出一系列問題.此類題目看似錯(cuò)綜復(fù)雜，實(shí)則都與極點(diǎn)極線有關(guān)，極點(diǎn)與極線在幾何中有著廣泛的性質(zhì)，研究透徹它的性質(zhì)，看似復(fù)雜的幾何題便可迎刃而解.

1知識(shí)介紹

定義設(shè)A、B關(guān)于⊙O互為反演點(diǎn)，過B作OA的垂線l稱為點(diǎn)A關(guān)于⊙O的極線；A稱為l的極點(diǎn).

注：若點(diǎn)A在⊙O外，過A做⊙O的兩條切線，切點(diǎn)為B、C，則BC是點(diǎn)A的極線.

性質(zhì)1（配極原則）設(shè)A在D的極線上，則D也在A的極線上.一般稱A、D關(guān)于⊙O互為共軛點(diǎn).

性質(zhì)2設(shè)過兩共軛點(diǎn)A、D的直線交⊙O于兩點(diǎn)B、C，則A，B，D，C為調(diào)和點(diǎn)列.

由性質(zhì)1和2，可得

性質(zhì)3若點(diǎn)A的極線為l，過A作⊙O的割線ABC與l交于點(diǎn)D，則A，B，D，C為調(diào)和點(diǎn)列.反之亦然.

性質(zhì)4A，B，C，D是⊙O上四點(diǎn)，直線AB與CD、AC與BD、AD與BC分別交于點(diǎn)P，Q，R.則三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的連線的極點(diǎn)是第三點(diǎn)[1].

2巧解幾何題

例1（2013年美國(guó)國(guó)家隊(duì)選拔考試）在銳角△ABC中，以AC為直徑的圓Γ1與邊BC交于點(diǎn)F（異于點(diǎn)C），以BC為直徑的圓Γ2與邊AC交于點(diǎn)E（異于點(diǎn)C），射線AF與圓Γ2交于兩點(diǎn)K、M，且AK

分析性質(zhì)4是證明三線共點(diǎn)的有利工具.結(jié)合待證的結(jié)論和圖1可知，只需證明K，L，M，N四點(diǎn)共圓，便可利用性質(zhì)4立即得證.從已知條件易得K，L，M，N四點(diǎn)共圓.整道題的證明可謂水到渠成，一氣呵成.

圖1證明如圖1，設(shè)CD⊥AB于點(diǎn)D，H為△ABC的垂心.則圓Γ1、Γ2均與AB交于點(diǎn)D.

由圓冪定理知LH·HN=CH·HD=KH·HM，因此，K、L、M、N四點(diǎn)共圓.注意到，AC、BC分別是四邊形KLMN對(duì)角線LN、KM的中垂線，則四邊形KLMN的外接圓的圓心為C.因?yàn)椤螦NC=∠ALC=90°，所以，AN、AL與四邊形KLMN的外接圓⊙C分別切于點(diǎn)N，L.

由性質(zhì)1，點(diǎn)H在A關(guān)于⊙C的極線上.同理，點(diǎn)H在B關(guān)于⊙C的極線上.

由性質(zhì)4，知ML與NK的交點(diǎn)在H關(guān)于⊙C的極線AB上.證畢.

例2（2009年IMO中國(guó)國(guó)家隊(duì)選拔考試）設(shè)D是△ABC的邊BC上一點(diǎn)，滿足∠CAD=∠CBA.⊙O經(jīng)過點(diǎn)B、D，并分別與線段AB、AD交于點(diǎn)E、F，BF與DE交于點(diǎn)G，M是AG的中點(diǎn).求證：CM⊥AO[3].

圖2分析本題欲證CM⊥AO，只需證CM平行于點(diǎn)A的極線.又利用性質(zhì)3的調(diào)和分割性質(zhì)，結(jié)合題目構(gòu)造出點(diǎn)A的極線便可輕松證明.一道復(fù)雜的幾何題利用極線極點(diǎn)便可輕松解決，可見極線極點(diǎn)在幾何題中的妙用.

證明連接EF并延長(zhǎng)，與BC交于點(diǎn)P，連接AP，連接GP并延長(zhǎng)分別交AB、AD于I、K，交AC延長(zhǎng)線于L，延長(zhǎng)AG與BC交于H.

因?yàn)椤螪FP=∠ABD=∠DAC，所以PF∥CA.

由完全四邊形BDPFEG的調(diào)和性可知A、F、K、D四點(diǎn)調(diào)和，A、E、I、B四點(diǎn)調(diào)和，于是得到2AF·KD=AK·FD，可得AFFD·KDAK=12，

因?yàn)锳FFD=PCPD，所以PCPD·KDAK=12.

考察△ADC被直線KPL所截ALLC·PCPD·KDAK=1，得到ALLC=2，所以C為AL的中點(diǎn)，所以CM∥PG.

下面運(yùn)用極線極點(diǎn)證明PG⊥AO.

A、E、I、B四點(diǎn)調(diào)和，A，F(xiàn)，K，D四點(diǎn)調(diào)和，由性質(zhì)3得到PI的連線為點(diǎn)A關(guān)于⊙O的極線.由極線的定義，可得PG⊥AO，因?yàn)镃M∥PG，所以CM⊥AO.

證畢.

例3（2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試）如圖3，已知銳角△ABC的外心為O，K是邊BC上的一點(diǎn)（不是邊BC的中點(diǎn)），D是線段AK延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，直線BD與AC交于點(diǎn)N，直線CD與AB交于點(diǎn)M.求證：若OK⊥MN，則A，B，D，C四點(diǎn)共圓[4].

圖3分析原題提供的解答，用了十分復(fù)雜且麻煩的方法證明了當(dāng)A、B、D、C四點(diǎn)共圓時(shí)，OK⊥MN.再利用反證法證明了結(jié)論.但是若知道極線極點(diǎn)的性質(zhì)，我們可以很快的證明出垂直來.

證明先證當(dāng)A，B，D，C四點(diǎn)共圓時(shí)，OK⊥MN.

當(dāng)A，B，D，C四點(diǎn)共圓時(shí)，由性質(zhì)4，可得點(diǎn)K關(guān)于⊙O的極線是MN.根據(jù)極線的定義，可得OK⊥MN.再利用反證法，便可很快證出結(jié)論.此處不再贅述.

參考文獻(xiàn)

[1]單墫譯.近代歐氏幾何學(xué)[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2012.

[2]2013美國(guó)國(guó)家隊(duì)選拔考試[J].中等數(shù)學(xué)，2014（8）.

[3]2009年IMO中國(guó)國(guó)家隊(duì)選拔考試[J].中等數(shù)學(xué)，2009（7）.

[4]2010全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽[J].中等數(shù)學(xué)，2010（12）.

作者簡(jiǎn)介黃燕華，女，廣東汕頭人，1990年2月生，華南師范大學(xué)研究生.林生放，男，廣東陸河人，1989年12月生，廣東省廣州市真光中學(xué)數(shù)學(xué)教師，二級(jí)教師.