三道疑難習題的錯誤分析與正確解答

左名魁++陳林橋++季祥

摘 要：在調(diào)研過程中，發(fā)現(xiàn)我們的教師對一些疑難問題還沒有真正搞清，以至于在習題教學過程感到犯難。本文摘其幾個典型問題作一解答，以期幫助老師們搞好習題教學和提高對試題的認識。

關(guān)鍵詞：習題教學；疑難問題；解答

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2015）2-0038-3

在調(diào)研過程中，發(fā)現(xiàn)我們的教師在解答、評講和處理一些試題時顯得力不從心，甚至一些雜志在刊登這些試題解答時也出現(xiàn)了一些失誤。造成這樣的原因可能是試題的問題，也可能是我們教師的問題。下面就一些典型的疑難問題加以解答，以便大家一起商討。

1 關(guān)于圖像中圓面積的問題

例1 如圖1所示為某質(zhì)點運動的v-t圖像，2～4 s內(nèi)圖線為半圓形，若4 s末質(zhì)點回到了出發(fā)點，則下列說法正確的是（ ）

圖1 某質(zhì)點運動的v-t圖像

A.1～2 s內(nèi)質(zhì)點的加速度大小為8 m/s2

B.2～4 s內(nèi)質(zhì)點的位移大小為8 m

C.3 s末質(zhì)點的加速度等于零

D.3 s末質(zhì)點的速度大小為8 m/s

解答這道選擇題的難點是根據(jù)圖像求解3 s末質(zhì)點的速度大小，這要涉及到正確求解t軸下半圓形的面積問題。

錯解1 設(shè)3 s末質(zhì)點的速度為v3，圖線“面積”表示位移。由于質(zhì)點在4 s末質(zhì)點回到了出發(fā)點，因此，半圓的面積和三角形的面積相等。所以，有 πv =8，解得 v3= m/s。

錯解2 既然圖線“面積”表示位移，那么，不難求出2 s內(nèi)的位移即三角形面積為8。同理可得，半圓形的面積為 π×1×v3= πv3，解得v3= m/s。

分析 錯解1是根據(jù)圓面積公式s=πr2，r=v3，于是得到半圓的面積為 πv 。錯解2其實也是從圓面積公式s=πr2出發(fā)，只是在r的取值上效仿了前面求三角形面積的方法，一個r取值為1，一個r取值為v3。這種做法似乎理由不甚明朗，進而認為半圓的面積應為 πv 。

正解1 設(shè)橫軸單位標度的實際幾何長度為m，縱軸單位標度的實際幾何長度為n，3 s末質(zhì)點的速度大小為v3。那么，在v-t坐標系中，半圓形的圓坐標方程為：（tm-3m）2+（vn）2=m2或者（tm-3m）2+（vn）2=（nv3）2

于是得到：

（t-3）2+ =1（1）

或 + =1 （2）

在v-t坐標系中，以上兩個方程均為橢圓方程。因此，半圓形的面積所表示的位移大小應為這樣的橢圓面積的一半。而橢圓的面積計算公式s=πab。其中，a表示半長軸，b表示半短軸。

因此，對于（1）式，半圓形的面積所表示的位移大小為s2= π×1× = 。再依題意半圓半徑幾何長度r=m=nv3 ， 所以，得到s2= 。

我們知道三角形面積表示位移大小為s1= ×2×8=8，所以，v3= m/s。

對于（2）式，半圓形的面積所表示的位移大小為s2= π× ×v3= ，半圓半徑幾何長度r=m=nv3。所以，也得到s2= ，同樣得到v3= m/s。

以上解法是從v-t圖像圍成的面積表示位移這個意義上去求解的，其實還可以從兩圖形的實際幾何面積相等這一角度去求解則更為簡單。

正解2 由題意可知，質(zhì)點的總位移為0。因此，三角形和半圓形的實際幾何面積應相等。

t軸上方三角形的實際幾何面積為 ×2m×8n； t軸下方半圓形的實際幾何面積為 πr2。

由于圓的半徑幾何長度r=m=v3n，因此，在此r2可以這樣處理：一個r取值m，一個r取值為nv3，所以，得到 ×2m×8n= π×m×（v3n），

解得：v3= m/s。

2 關(guān)于平行板電容器兩板之間的靜電力問題

例2 如圖2所示，一對面積較大的平行板電容器水平放置，帶等量異種電荷，B板固定且接地，A板用絕緣線懸掛，P為兩板中點。下列結(jié)論正確的是（ ）

A.若在兩板間充滿電介質(zhì)，P點電勢將升高

B.A、B兩板電荷分別在P點產(chǎn)生電場的場強大小相等，方向相同

C.若將A板豎直向下平移一小段距離，電容器儲存的電能減小

D.若將A板豎直向上平移一小段距離，線的拉力將變小

圖2 平行板電容器間的靜電力

這道題錯的比較多的是D選項關(guān)于線的拉力大小變化的問題。

錯解1 根據(jù)庫侖定律：F=k ，由于板間的距離變大，因此，板間的靜電力變小，線的拉力也變小。

其實，這種解法忽視了庫侖定律應用的條件。因為這個公式只適用于真空中的點電荷，而這道題中兩個帶電板，面積比較大，是不能看成點電荷的，所以就不能這樣來討論問題。

錯解2 平行板間的電容C= ，板間的電壓U= ，板間電場強度E= 。因此，得到E= ，由于電量不變，即使板間的距離d變化，板間電場強度E也不變，再根據(jù)F=QE。

所以，下板對上板的靜電力不變。因此，線的作用力不變。

其實，以上解法也有問題，錯就錯在上述解答中公式F=QE中E的理解，錯解2認為E是+Q和-Q板產(chǎn)生的合電場。甚至有些教師運用高斯定理，求出-Q板產(chǎn)生的電場強度為E= 來討論。其實，這也是兩板電荷的疊加的電場強度，而不是-Q板在+Q處產(chǎn)生的電場強度大小。

正解 如圖3所示，實線表示+Q的電場線，虛線表示-Q電場線，由高斯定理求出上下帶電板單獨存在時所產(chǎn)生的電場強度大小為E+=E-= 。因此，板間電場強度為E=E++E-= ，兩板外側(cè)的電場強度為0。

所以，下板-Q在上板+Q處產(chǎn)生的電場強度大小應為E-= ，上板受到的電場力的大小為F=QE-= ，與板間距離無關(guān)，選項D錯。

圖3 平行板電容器的電場分布

3 關(guān)于感生電壓問題

例3 如圖4所示電路，右邊是一個半徑r0=10 cm的導體圓，其中磁場的變化率 =20 T/s，左邊的電阻R為2 Ω，試問CD之間的電壓約為多少？

圖4 變化的磁場產(chǎn)生感生電動勢

錯解 根據(jù)法拉第電磁感應定律：E電動勢= ，得到E電動勢= =0.1π。因此，可以畫出它的等效電路（如圖5所示）。再根據(jù)閉合電路歐姆定律，得到CD之間的電壓為U=0.1π。

圖5 感生電動勢構(gòu)成的閉合電路

其實，以上做法不正確。根據(jù)麥克斯韋方程，

v× =- ，

變化的磁場產(chǎn)生螺旋電場，是螺旋電場推動電路中電荷定向運動產(chǎn)生電流，而不是右邊的導體圓所產(chǎn)生的電壓在左邊電路中所產(chǎn)生的電場來推動電荷做定向運動而形成電流的。所以，以上的解法有問題。

正確 根據(jù) · l=- ，解得距離磁場中心為r處的電場強度大小為E= ，如圖6所示。

圖6 變化的磁場產(chǎn)生螺旋電場

因此，du=Ecosα·dl，在圖6中，不難得到dl·cosα≈rdθ

于是解得：du= dθ，

所以，UDC= θ，

如果取θ= ，則UDC= θ= 。

參考文獻：

[1]梁冰.圓形磁場中的一個重要結(jié)論及應用[J].物理教學探討，2010，（5）：40.

[2]王新建.例談巧用v-t圖像求解物理問題[J].物理教學探討，2009，（8）：23.

（欄目編輯 羅琬華）