☉四川省宣漢縣中小學(xué)教學(xué)研究室 趙緒昌

數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)應(yīng)關(guān)注“六性”

☉四川省宣漢縣中小學(xué)教學(xué)研究室 趙緒昌

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)上是一種活動(dòng)，是人類(lèi)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想與方法，觀察、解決現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題，或?qū)σ延械臄?shù)學(xué)結(jié)論不斷抽象、概括形成新的結(jié)論和新的應(yīng)用的數(shù)學(xué)活動(dòng)，這種“活動(dòng)”既包括外部的“物理活動(dòng)”，也包括內(nèi)部的“思維活動(dòng)”.從發(fā)生的觀點(diǎn)來(lái)看，外部活動(dòng)是原初的，內(nèi)部活動(dòng)起源于外部活動(dòng)，是外部活動(dòng)內(nèi)化的結(jié)果，內(nèi)部活動(dòng)又通過(guò)外部活動(dòng)而外化.這兩種活動(dòng)可以相互影響，共同對(duì)個(gè)體的認(rèn)知和體驗(yàn)起到相互促進(jìn)的作用.數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，數(shù)學(xué)活動(dòng)是學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”“再創(chuàng)造”的學(xué)習(xí)過(guò)程.數(shù)學(xué)活動(dòng)可分為三類(lèi)：一是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的活動(dòng)，二是應(yīng)用數(shù)學(xué)的活動(dòng)，三是數(shù)學(xué)交流的活動(dòng).它包含了和數(shù)學(xué)有關(guān)的一切活動(dòng)，如數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，數(shù)學(xué)結(jié)論的推導(dǎo)和發(fā)展過(guò)程，數(shù)學(xué)結(jié)論、方法的應(yīng)用過(guò)程等.數(shù)學(xué)教學(xué)效率的高低在很大程度上取決于數(shù)學(xué)活動(dòng)水平的高低.有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)至少應(yīng)該具備以下兩個(gè)特征：（1）活動(dòng)應(yīng)具有挑戰(zhàn)性——?jiǎng)?chuàng)設(shè)有效的問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生的思維受到適度挑戰(zhàn)；（2）活動(dòng)過(guò)程中，學(xué)生都有一個(gè)明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)——現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是什么問(wèn)題？教師應(yīng)隨時(shí)觀察學(xué)生在思考什么，思維上有無(wú)障礙，如何引導(dǎo).在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，涉及兩個(gè)重要環(huán)節(jié)，即一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)情境和可供學(xué)生進(jìn)行有效活動(dòng)的序列問(wèn)題.數(shù)學(xué)活動(dòng)的形式應(yīng)該根據(jù)內(nèi)容與實(shí)效來(lái)確定，可以是實(shí)驗(yàn)觀察、動(dòng)手操作、展示交流等不同形式或多種形式的結(jié)合.學(xué)生通過(guò)這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，獲得數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并從數(shù)學(xué)活動(dòng)中體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，從而增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，加深對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值的理解，進(jìn)而提高學(xué)生的思考力、判斷力和表達(dá)力.隨著數(shù)學(xué)新課程的深入實(shí)施，廣大的數(shù)學(xué)教師在課程理念方面已有一定的認(rèn)識(shí)，比較重視改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，重視數(shù)學(xué)交流、合作學(xué)習(xí)等數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，并積累了較豐富的數(shù)學(xué)新課程實(shí)施經(jīng)驗(yàn).但是當(dāng)前數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)在很大程度上仍然停留在“為活動(dòng)而活動(dòng)”的表層上，數(shù)學(xué)活動(dòng)展開(kāi)不夠充分，數(shù)學(xué)的本質(zhì)凸顯不夠，數(shù)學(xué)教學(xué)缺乏創(chuàng)造性和數(shù)學(xué)性，學(xué)生內(nèi)在的情感和思維沒(méi)有被真正激活，這極大地影響了主體的主動(dòng)建構(gòu).究其原因，不少教師對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的理解還存在偏差，認(rèn)為數(shù)學(xué)活動(dòng)只是動(dòng)手操作，不重視“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，缺乏對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的形式及其作用的理性認(rèn)識(shí)，不能準(zhǔn)確地了解學(xué)生的真實(shí)思維活動(dòng)，較多的只是憑自己的經(jīng)驗(yàn)、直覺(jué)，甚至是主觀臆斷選擇數(shù)學(xué)活動(dòng)，不知道數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該在何處活動(dòng)、何時(shí)活動(dòng)、怎樣活動(dòng)、活動(dòng)應(yīng)該達(dá)到什么目的，因而在實(shí)施數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)時(shí)無(wú)所適從，不能科學(xué)地把握教學(xué)的進(jìn)程與節(jié)奏.本文舉例說(shuō)明數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)應(yīng)關(guān)注“六性”.

一、目標(biāo)性

教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)，也是歸宿.教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該以有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)為依歸.活動(dòng)是教師引領(lǐng)學(xué)生達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的重要載體和手段，是學(xué)生走向目標(biāo)的重要路徑.沒(méi)有目標(biāo)的活動(dòng)是盲目的，偏離目標(biāo)的活動(dòng)是低效的.在教學(xué)中，教師設(shè)計(jì)和安排的各種活動(dòng)都必須有明確的目標(biāo)，每一個(gè)活動(dòng)都應(yīng)該以達(dá)成教學(xué)目標(biāo)為導(dǎo)向.教學(xué)內(nèi)容是什么，教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么，活動(dòng)的設(shè)計(jì)能夠達(dá)到怎樣的目標(biāo)，是我們著手?jǐn)?shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)時(shí)必須關(guān)注的問(wèn)題.

案例1：“有理數(shù)的加法法則”的教學(xué)片斷.

在教學(xué)“有理數(shù)的加法法則”時(shí)，設(shè)計(jì)如下的問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索活動(dòng).

若規(guī)定足球比賽中贏球?yàn)椤罢?，輸球?yàn)椤柏?fù)”，那么主客場(chǎng)兩場(chǎng)比賽的過(guò)程和結(jié)果有各種不同的情形.例如，如果主場(chǎng)比賽贏了3球，客場(chǎng)比賽輸了2球，那么兩場(chǎng)比賽凈勝1球.借助已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，上述過(guò)程和結(jié)果可以表示為：（+3）+（-2）=+1.

問(wèn)題1：你能說(shuō)出這樣的比賽可能出現(xiàn)哪些不同的情形嗎？能用數(shù)學(xué)式子表示嗎？

問(wèn)題2：觀察各種不同的算式，你能從中得到啟發(fā)，歸納出兩個(gè)有理數(shù)相加的法則嗎？

問(wèn)題3：“兩個(gè)相反數(shù)相加的和為0”與“異號(hào)兩數(shù)相加的法則”有什么關(guān)系？

問(wèn)題4：有理數(shù)的加法與小學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)的數(shù)的加法有什么聯(lián)系與區(qū)別？

對(duì)問(wèn)題1，學(xué)生通過(guò)討論，可列出兩個(gè)有理數(shù)相加的各種不同的算式.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生還可以感受到分類(lèi)的思想.

通過(guò)問(wèn)題2，引導(dǎo)學(xué)生借助生活經(jīng)驗(yàn)——贏、輸之間的關(guān)系（先贏后輸、先輸后贏、贏了再贏、輸了再輸），在探索、交流的基礎(chǔ)上，共同歸納出有理數(shù)加法的法則.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了觀察、分析、比較、探索、歸納的過(guò)程.

通過(guò)問(wèn)題3，引導(dǎo)學(xué)生感受“特殊”與“一般”的關(guān)系.

通過(guò)問(wèn)題4，引導(dǎo)學(xué)生把新知識(shí)納入到原有的知識(shí)體系中.同時(shí)，幫助學(xué)生形成進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算的良好習(xí)慣——先判斷和的符號(hào)，再進(jìn)行計(jì)算.

這樣，通過(guò)一系列的探索活動(dòng)，學(xué)生不僅能主動(dòng)地獲得知識(shí)——有理數(shù)的加法法則，而且能在獲得知識(shí)的過(guò)程中感受分類(lèi)、歸納、特殊與一般等基本數(shù)學(xué)思想，使“數(shù)學(xué)思考”、“問(wèn)題解決”目標(biāo)與“知識(shí)技能”目標(biāo)有機(jī)地融合.這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)有目標(biāo)、有意義、有價(jià)值.

二、思維性

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)活動(dòng)，數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)是思維活動(dòng)，沒(méi)有數(shù)學(xué)思維的活動(dòng)不是真正意義上的數(shù)學(xué)活動(dòng)，沒(méi)有一定思維深度的數(shù)學(xué)活動(dòng)不是好的數(shù)學(xué)活動(dòng).判斷學(xué)生是否經(jīng)歷了深層次數(shù)學(xué)活動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)是有沒(méi)有思維層次的遞進(jìn).數(shù)學(xué)活動(dòng)不僅僅是指探究性、具體化的活動(dòng)，更重要的是指學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)探索和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活動(dòng).比如數(shù)學(xué)的理解過(guò)程，它包括了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及解題活動(dòng)的過(guò)程，我們不能把這種活動(dòng)的過(guò)程僅僅理解為一種形式，認(rèn)為它是數(shù)學(xué)內(nèi)容的載體和實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的手段，必須注重學(xué)生的高層次數(shù)學(xué)思維參與，突出“手”“腦”并用，注重對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng).畢竟，在這些數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，沒(méi)有高層次思維的參與就談不上“數(shù)學(xué)理解”.因此，數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)應(yīng)關(guān)注思維性.

案例2：“認(rèn)識(shí)三角形”的教學(xué)片斷.

“認(rèn)識(shí)三角形”一課的主要內(nèi)容是三角形的邊、角的概念及表示，三角形的分類(lèi)以及“三角形三邊的關(guān)系”.關(guān)于這些概念、表示及分類(lèi)，一般是教師對(duì)照?qǐng)D形進(jìn)行介紹，學(xué)生說(shuō)說(shuō)、議議，一般不用探究；而對(duì)于“三角形三邊的關(guān)系”（a-b＜c＜a+b），如果教師僅僅是直接給出三邊關(guān)系的公式，再做點(diǎn)兒簡(jiǎn)要說(shuō)明，只需3、4分鐘時(shí)間，之后安排大量的變式訓(xùn)練.這種強(qiáng)化式的機(jī)械記憶，雖然學(xué)生表面上也能記住，當(dāng)堂檢測(cè)也不會(huì)有什么問(wèn)題，但這不是建立在思考、理解基礎(chǔ)上的記憶，學(xué)生自然不能自覺(jué)、靈活地運(yùn)用.一位教師設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)如下所示.

（1）搭火柴棒.

讓同桌的兩名同學(xué)合作準(zhǔn)備5根小木棒，長(zhǎng)度分別為3cm、4cm、5cm、6cm和9cm，任意取出3根小木棒首尾相接搭三角形，能搭成幾個(gè)三角形？

（2）交流成果.

先請(qǐng)一位同學(xué)交流一下自己的嘗試結(jié)果，再請(qǐng)1～2位同學(xué)補(bǔ)充，可得：3cm、4cm、5cm，3cm、4cm、6cm，4cm、5cm、6cm，4cm、6cm、9cm和5cm、6cm、9cm.

（3）交流結(jié)論.

師：根據(jù)上述情形，哪位同學(xué)能說(shuō)出構(gòu)成三角形的三邊必須滿足什么條件嗎？

由兩位同學(xué)回答后，歸納總結(jié)：三角形任意兩邊的和大于第三邊.

師：你能將上述文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言嗎？

生：設(shè)三角形三邊的長(zhǎng)度分別為a、b、c，則a+b＞c，b+ c＞a，a+c＞b.

（4）驗(yàn)證結(jié)論.

師：請(qǐng)思考，在三角形中為什么一定有a+b＞c？

教師畫(huà)出示意圖形（如圖1），引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化：a+b=BC+CA，c=BA；再請(qǐng)學(xué)生思考：為什么一定有BC+CA＞BA？

學(xué)生聯(lián)想舊知“兩點(diǎn)之間線段最短”.另兩個(gè)式子，同理可得.

（5）延伸拓展.

從“兩邊之和大于第三邊”過(guò)渡到“兩邊之差小于第三邊”的探究.

師：請(qǐng)大家想想，剛才得到了兩邊之和大于第三邊，你能聯(lián)想到什么？你還想知道什么？

生：我想到兩邊之差.

師：“兩邊之差”和第三邊的關(guān)系會(huì)是怎樣的？如何獲得“兩邊之差”呢？

圖1

讓學(xué)生觀察上面三個(gè)式子，容易想到移項(xiàng)：將b+c＞a移項(xiàng)，得a-c＜b，同理得c-b＜a，b-c＜a，從而得出三角形的任意兩邊之差小于第三邊.

這樣圍繞“三角形三邊的關(guān)系”的公式進(jìn)行了一次探究活動(dòng)，用時(shí)約15分鐘，它是由同桌之間借助5根火柴棒，通過(guò)自己擺弄、嘗試，感覺(jué)到：有的能搭成、有的不能搭成，這是一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程，學(xué)生從中獲得了一些感性認(rèn)識(shí)，再通過(guò)同伴的交流、合作，概括出“兩邊之和大于第三邊”的結(jié)論且將其符號(hào)化，又通過(guò)“為什么成立？”將感性認(rèn)識(shí)上升至理性認(rèn)識(shí).其中，這個(gè)對(duì)“三角形兩邊之和”的探究自然而順暢，從探究的交流結(jié)論開(kāi)始學(xué)生感覺(jué)有些困難，但在教師的啟發(fā)、引導(dǎo)下，學(xué)生能主動(dòng)結(jié)合舊知去思考、探究！通過(guò)類(lèi)比思想，自己發(fā)現(xiàn)了“兩邊之和”“兩邊之差”的規(guī)律，再一次感受成功.通過(guò)追問(wèn)“滿足什么條件嗎？”你能聯(lián)想到什么？“你還想知道什么？”將其構(gòu)成學(xué)生探究的突破.這種不斷深入的探究活動(dòng)，用時(shí)十幾分鐘，不僅讓學(xué)生親身經(jīng)歷了結(jié)論的形成過(guò)程，感受成功的快樂(lè)，而且有助于學(xué)生掌握探究的方法，訓(xùn)練學(xué)生的思維.

三、主體性

數(shù)學(xué)活動(dòng)是學(xué)生自己建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的活動(dòng).學(xué)生的學(xué)習(xí)不是一個(gè)被動(dòng)接受知識(shí)強(qiáng)化儲(chǔ)存的過(guò)程，而是用原有的知識(shí)處理各項(xiàng)新的學(xué)習(xí)任務(wù)，通過(guò)同化和順應(yīng)等心理活動(dòng)和變化，不斷地構(gòu)建和完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程.因此，我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)時(shí)，要著眼于學(xué)習(xí)者的主體地位，讓學(xué)生對(duì)活動(dòng)享有絕對(duì)的參與權(quán)、選擇權(quán)，以激發(fā)其學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和責(zé)任感，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)意義的主動(dòng)建構(gòu).同時(shí)，要依據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)和不同學(xué)段學(xué)生的思維特點(diǎn)，不僅要注意學(xué)生淺層次的感性參與，即通過(guò)簡(jiǎn)單的思維和簡(jiǎn)單的活動(dòng)方式參與課堂活動(dòng)，如教師設(shè)疑學(xué)生答問(wèn)，圍繞設(shè)問(wèn)展開(kāi)小組討論等，更要關(guān)注學(xué)生較高層次的理性參與，即學(xué)生在活動(dòng)中獨(dú)立質(zhì)疑，歸納總結(jié)，運(yùn)用已知解答或推論出新知，運(yùn)用相關(guān)知識(shí)提出新設(shè)想，提出有理有據(jù)的質(zhì)疑或不同見(jiàn)解等，這樣的活動(dòng)體現(xiàn)的是學(xué)生的主體地位，注重的是學(xué)生的思維過(guò)程和能力的開(kāi)發(fā)，活動(dòng)指向的是學(xué)生的持續(xù)發(fā)展和終身發(fā)展.

案例3：“完全平方公式”的教學(xué)片斷.

（1）探索活動(dòng).

①前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式的乘法，你能說(shuō)說(shuō)運(yùn)算法則嗎？運(yùn)算的依據(jù)是什么？

②（x+b）（x+d）可以利用公式直接寫(xiě)出結(jié)果，它是（a+b）（c+d）在a=c=x時(shí)的特例（先行組織者）.在（a+b）（c+ d）=ac+ad+bc+bd中，你認(rèn)為還有哪些特殊情形？你能得到什么？（完全放手讓學(xué)生探究，學(xué)生的結(jié)論多種多樣，包括完全平方公式和平方差公式）

③完全平方公式有哪些特征？請(qǐng)你用自己的語(yǔ)言表述公式.

（2）公式應(yīng)用：略.

（3）幾何解釋?zhuān)喝绻鸻、b表示線段的長(zhǎng)，則a2、b2分別表示正方形的面積，你能根據(jù)公式（a+b）2=a2+2ab+b2的形式，自己構(gòu)造圖形表示完全平方公式嗎？

（4）課堂小結(jié).

①請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題.

②請(qǐng)你總結(jié)一下這節(jié)課討論問(wèn)題的基本過(guò)程.（從一般到特殊，考察特例）

③能否循著上述思路，再提出一些值得研究的問(wèn)題？

完全平方公式是多項(xiàng)式乘法（a+b）（c+d）在c=a、d=b時(shí)的特例，多項(xiàng)式乘法是完全平方公式的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn).教師引導(dǎo)學(xué)生在多項(xiàng)式乘法基礎(chǔ)上探究特例，切合知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程和內(nèi)在的邏輯線索，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.課堂小結(jié)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反思該課學(xué)習(xí)的公式的探索過(guò)程，有利于學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)探究特例，有的學(xué)生提出推廣次數(shù)，研究（a+b）3、（a+b）4等，有的學(xué)生提出推廣字母?jìng)€(gè)數(shù)，研究（a+b+c）2，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力.這些數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)很好地向?qū)W生滲透了從一般到特殊、歸納的思想，教給學(xué)生數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要的“基本套路”——考察特例.

探索公式時(shí)學(xué)生自己尋找特例，對(duì)公式進(jìn)行幾何解釋時(shí)自己構(gòu)造圖形，課堂小結(jié)時(shí)自己提出研究的問(wèn)題.雖然探究活動(dòng)耗時(shí)多，學(xué)生練習(xí)的量有所減少，但學(xué)生探究的空間大，是真探究，學(xué)生靠自己探究出公式，學(xué)生自己提出好的問(wèn)題和研究思路.下課了學(xué)生還沉浸在濃厚的研究氛圍之中，學(xué)生的成就感得到了充分的滿足，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣得到了充分的激發(fā).

本課充分挖掘知識(shí)內(nèi)容所蘊(yùn)含的發(fā)展價(jià)值，成功實(shí)現(xiàn)了課堂教學(xué)的育人價(jià)值，充分體現(xiàn)了以學(xué)生發(fā)展為本的教學(xué)理念，達(dá)到了授之以“育”的教學(xué)效果，數(shù)學(xué)活動(dòng)關(guān)注了主體性，是生本立意的教學(xué)活動(dòng).

四、引導(dǎo)性

數(shù)學(xué)活動(dòng)是指在教師的指導(dǎo)下，學(xué)習(xí)者充分發(fā)揮其主體作用，以活動(dòng)為形式，通過(guò)一定的數(shù)學(xué)情境來(lái)體驗(yàn)其中的數(shù)學(xué)知識(shí)，獲得直接經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程.因?yàn)橛行У臄?shù)學(xué)活動(dòng)意味著教師需要喚醒、引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性來(lái)促進(jìn)和激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，不斷引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在需求，這是數(shù)學(xué)活動(dòng)有效進(jìn)行的動(dòng)力.由此可見(jiàn)，教師在教學(xué)活動(dòng)中的角色極為重要.這種重要性主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)活動(dòng)必須按照引導(dǎo)的方式組織教學(xué)，把活動(dòng)轉(zhuǎn)化為一系列問(wèn)題，循循善誘，駕馭整個(gè)課堂活動(dòng)的進(jìn)程和方向，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)有目標(biāo)、有方向、有收獲.

案例4：“分式”的教學(xué)，在學(xué)生歸納總結(jié)出分式的概念后，設(shè)計(jì)活動(dòng).

（1）選擇一個(gè)你喜歡的x的值，求分式的值；

（2）當(dāng)x取什么數(shù)時(shí)，分式有意義？

（3）當(dāng)x取什么數(shù)時(shí)，分式的值是零？

活動(dòng)（1）的目的是讓學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)到這里的字母可以取正數(shù)，也可以取負(fù)數(shù)；可以取整數(shù)，也可以取分?jǐn)?shù).同時(shí)通過(guò)這個(gè)活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)分式中的字母能取的數(shù)是有一定的限制的，如這里的x不能取1，從而使問(wèn)題（2）和（3）的解決順理成章.

然而，沒(méi)有教師的必要引導(dǎo)，學(xué)生很難給出“0”或“負(fù)數(shù)”的例子，如果就學(xué)生給出的幾個(gè)簡(jiǎn)單的正整數(shù)，匆匆讓活動(dòng)結(jié)束，那么這個(gè)活動(dòng)的價(jià)值就無(wú)法體現(xiàn)，活動(dòng)也等同虛設(shè).這時(shí)候教師的必要引導(dǎo)，就顯得格外重要了.如教師可以這樣引導(dǎo)：還有很多數(shù)字在我們的身邊，而我們卻沒(méi)有察覺(jué)到，你能聯(lián)系我們提出的問(wèn)題“選擇一個(gè)你喜歡的x的值，再說(shuō)一些不同的數(shù)嗎”？

在解決了前面的問(wèn)題之后，為讓學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)“x≠1”并保持問(wèn)題的探索性，就需要教師設(shè)置一些問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生討論，增加師生互動(dòng).

比如可以設(shè)問(wèn)：老師也喜歡一個(gè)數(shù)，因?yàn)樗俏业男疫\(yùn)數(shù)，你們能猜出來(lái)嗎？

（學(xué)生猜想，教師注意課堂的變化.當(dāng)學(xué)生猜不出時(shí)，可以揭示答案：我喜歡的是“1”，因?yàn)槲页錾?月.這樣的回答，引起學(xué)生的思維沖突，以利于下一步問(wèn)題的解決）

生：x不能取1.

師：如果x取1，結(jié)果會(huì)怎么樣呢？

生：會(huì)使分式無(wú)意義.

師：要使分式有意義，x應(yīng)滿足什么條件？

雖然只是幾句簡(jiǎn)單的引導(dǎo)語(yǔ)，但已經(jīng)體現(xiàn)了活動(dòng)的目的，學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)到了分式中字母的取值可以是有理數(shù)，也可以是無(wú)理數(shù)，但使分式有意義是前提條件，解決了本課的難點(diǎn).

五、探索性

數(shù)學(xué)教師在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，所選擇的問(wèn)題及安排的數(shù)學(xué)活動(dòng)不但要適合于學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)思維水平，也要考慮到促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維向下一個(gè)數(shù)學(xué)思維階段發(fā)展，即既要考慮到學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力水平的限制，又要考慮到數(shù)學(xué)思維發(fā)展的潛力.從這樣的角度去分析，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該不斷深入了解學(xué)生真實(shí)的思維活動(dòng)，善于引起學(xué)生觀念上的不平衡，采取有效的教學(xué)對(duì)策，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平不斷上層次.一個(gè)有效的策略，就是加大數(shù)學(xué)活動(dòng)的探索性成分，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已有數(shù)學(xué)知識(shí)做進(jìn)一步整理和改組，適當(dāng)加大數(shù)學(xué)知識(shí)的難度和滲透科學(xué)認(rèn)識(shí)的教學(xué)，重視學(xué)生對(duì)科學(xué)方法、科學(xué)價(jià)值的掌握和理解的導(dǎo)引教學(xué)，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生整理知識(shí)和重組知識(shí)能力的培養(yǎng)，使學(xué)生能從知識(shí)材料間的問(wèn)題和矛盾中不斷探索、發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)的深化和發(fā)展.

案例5：“切線長(zhǎng)定理”的教學(xué)片斷.

教師設(shè)計(jì)如下數(shù)學(xué)活動(dòng).

活動(dòng)1：分別畫(huà)出已知圓的一條切線；兩條相交的切線.

活動(dòng)2：教師講解切線長(zhǎng)概念，并強(qiáng)調(diào)辨析切線與切線長(zhǎng)的區(qū)別.

活動(dòng)3：如圖2，利用圖形的軸對(duì)稱(chēng)性，說(shuō)明圖中PA與PB、∠APO與∠BPO有什么關(guān)系.

活動(dòng)4：得出猜想，驗(yàn)證，形成定理并命名為切線長(zhǎng)定理.

這樣的活動(dòng)設(shè)計(jì)，學(xué)生自始至終都是由教師牽著走，學(xué)生心里自然會(huì)產(chǎn)生以下疑問(wèn)：學(xué)習(xí)了切線之后為什么要畫(huà)兩條切線，有什么目的？為什么要給“這條線段長(zhǎng)”下定義，有什么用處？為什么要比較“PA與PB、∠APO與∠BPO”的關(guān)系？這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，雖說(shuō)學(xué)生也經(jīng)歷了“觀察—猜想—驗(yàn)證—形成定理”的過(guò)程，但是，這一過(guò)程完全是在教師的“預(yù)設(shè)”中，教師預(yù)先布置好路線，確定好目標(biāo)，學(xué)生要做的只是“按圖索驥”，并非是學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)知識(shí)的過(guò)程，更不是以知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展為線索展開(kāi)探索活動(dòng).

圖2

古希臘數(shù)學(xué)研究幾何學(xué)的線索主要有兩條，一條是研究圖形本身的性質(zhì)，另一種思路即是構(gòu)圖，通過(guò)構(gòu)圖研究圖形之間的關(guān)系及性質(zhì).筆者試著揣摩當(dāng)時(shí)發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理的數(shù)學(xué)家所處的情境，當(dāng)他通過(guò)畫(huà)圓的一條切線研究了切線的性質(zhì)及判定后，很容易利用構(gòu)圖思想，構(gòu)造出圓的兩條相交的切線有哪些特殊的性質(zhì)，當(dāng)這位數(shù)學(xué)家通過(guò)觀察、猜想、驗(yàn)證得出線段PA=PB后，便試著用文字語(yǔ)言來(lái)描述這個(gè)定理，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)用文字語(yǔ)言描述PA、PB比較麻煩時(shí)，便給這條線段長(zhǎng)下了個(gè)定義叫“切線長(zhǎng)”，順勢(shì)將這個(gè)定理命名為“切線長(zhǎng)定理”.所以在教學(xué)的過(guò)程中，我們的活動(dòng)設(shè)計(jì)應(yīng)回歸到數(shù)學(xué)研究的本質(zhì)，從這個(gè)定理是怎么研究出來(lái)的設(shè)計(jì)教學(xué)，這樣才能真正體現(xiàn)探索性.基于以上的思考，設(shè)計(jì)以下數(shù)學(xué)活動(dòng).

活動(dòng)1：前面我們學(xué)習(xí)了切線的性質(zhì)以及切線的判定方法，幾何的研究過(guò)程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)構(gòu)圖的過(guò)程，我們能構(gòu)造出圓的兩條相交的切線么？

活動(dòng)2：在你構(gòu)造的圖形中（如圖3），你有什么發(fā)現(xiàn)？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并加以驗(yàn)證.

活動(dòng)3：用文字語(yǔ)言表達(dá)你的發(fā)現(xiàn).

活動(dòng)4：當(dāng)學(xué)生難以或用比較繁的語(yǔ)言表述線段PA時(shí)，教師介紹切線長(zhǎng)的定義，并辨析“切線長(zhǎng)”與“切線”，順勢(shì)將此定理命名為“切線長(zhǎng)定理”.

這樣的設(shè)計(jì)立足于學(xué)生的學(xué)，以學(xué)生的主體探索為中心來(lái)展開(kāi)教學(xué)，自然流暢，教師通過(guò)構(gòu)圖思想引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并學(xué)會(huì)自己或通過(guò)合作交流解決問(wèn)題.定理的教學(xué)過(guò)程不僅要讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察—實(shí)驗(yàn)—猜想—驗(yàn)證”的過(guò)程，更重要的是，學(xué)生應(yīng)自主地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并學(xué)會(huì)探索，教師不能代替學(xué)生找問(wèn)題，整個(gè)活動(dòng)的流程應(yīng)讓學(xué)生體驗(yàn)像數(shù)學(xué)家一樣去探索數(shù)學(xué)的過(guò)程.

圖3

六、交流性

我國(guó)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在闡述“解決問(wèn)題”時(shí)指出“學(xué)會(huì)與人合作，并能與他人交流思維的過(guò)程和結(jié)果”.問(wèn)題解決的四個(gè)重要組成部分是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，數(shù)學(xué)交流可以促進(jìn)問(wèn)題解決的有效達(dá)成.按照斯滕伯格的理論，數(shù)學(xué)思維分為分析性思維、創(chuàng)造性思維和實(shí)踐性思維.有的學(xué)生善于分析性思維，他們?cè)谕ǔ５膶W(xué)業(yè)測(cè)試中會(huì)取得較好的成績(jī)；有的學(xué)生善于創(chuàng)造性思維，他們?cè)谔岢鰡?wèn)題和方法的突破上會(huì)有所長(zhǎng)；有的學(xué)生善于實(shí)踐性思維，在數(shù)學(xué)定理的認(rèn)識(shí)中會(huì)找尋示例來(lái)促進(jìn)理解.在學(xué)生的相互交流中，三種不同的方式都會(huì)出現(xiàn)，彼此啟發(fā)或彌補(bǔ)，從而使得數(shù)學(xué)思維活動(dòng)兼顧三種思維的培養(yǎng).因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要重視學(xué)生的數(shù)學(xué)交流活動(dòng)，給學(xué)生相互交流、相互理解的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言解釋數(shù)學(xué)概念和現(xiàn)象，表述問(wèn)題的推理論證過(guò)程，說(shuō)明數(shù)學(xué)結(jié)論的合理性，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的條理性、邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

案例6：“探索多邊形的內(nèi)角和”的教學(xué)片斷.

多邊形的內(nèi)角和問(wèn)題是通過(guò)添加輔助線將其轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題得以解決的，這個(gè)問(wèn)題對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)性思維能力具有積極的意義，考慮到學(xué)習(xí)內(nèi)容的特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際情況，設(shè)計(jì)如下的數(shù)學(xué)活動(dòng).

（1）教師首先讓各小組內(nèi)的每名學(xué)生針對(duì)圖4中的多邊形，自己獨(dú)立思考、自主添加輔助線，推導(dǎo)出n邊形的內(nèi)角和公式.

圖4

圖5

圖7

圖6

（2）當(dāng)每名學(xué)生都用自己的計(jì)算方法求出n邊形的內(nèi)角和后，再讓學(xué)生在小組內(nèi)進(jìn)行交流，說(shuō)說(shuō)自己添加輔助線的方法和計(jì)算結(jié)果，進(jìn)而相互比較、分享他人的成果（圖5-7是學(xué)生得到的幾種添加輔助線的方法）.

（3）各小組間交流、匯總.

經(jīng)過(guò)全班合作，共同概括，最后發(fā)現(xiàn)：雖然添加輔助線的方法不同，但基本思路是一致的（即通過(guò)分割多邊形，把多邊形內(nèi)角和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和的問(wèn)題），無(wú)論按照哪種分割方法去計(jì)算，其結(jié)果都是一樣的.最后，學(xué)生經(jīng)過(guò)思考、計(jì)算、交流、歸納，得到了結(jié)論：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）·180°.

不難看出，該活動(dòng)從易到難，具體地給出了數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容，始終注意讓學(xué)生自己思考，并要求學(xué)生在活動(dòng)中，相互交流，探討和說(shuō)明思考問(wèn)題的方法以及思考的過(guò)程.通過(guò)這樣的活動(dòng)，可使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)探索，學(xué)會(huì)表達(dá)，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考力、理解力和表達(dá)力的提高.這種數(shù)學(xué)活動(dòng)關(guān)注交流性，交流注重的是實(shí)質(zhì)而不是流于形式.

數(shù)學(xué)教學(xué)需要數(shù)學(xué)活動(dòng)，結(jié)合具體內(nèi)容和學(xué)生情況設(shè)置合理的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)和數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，體現(xiàn)了教師的教學(xué)能力和專(zhuān)業(yè)素養(yǎng).我們只有不斷學(xué)習(xí)、不斷探索、不斷反思，才能提高數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的實(shí)效性，從而提高數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)效益.Z