浙江杭州市聞濤小學(xué)（310052） 王 樂

“分?jǐn)?shù)除法”包括兩部分知識(shí)，即“一個(gè)數(shù)除以整數(shù)”和“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”，它的計(jì)算方法是“除以一個(gè)不為0的數(shù)，就相當(dāng)于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”。算法很簡(jiǎn)單，學(xué)生也容易掌握，但很多學(xué)生對(duì)“為什么要這樣算”弄不清楚。下面，我從兩方面簡(jiǎn)要分析“分?jǐn)?shù)除法”的算理。

一、簡(jiǎn)析“一個(gè)數(shù)除以整數(shù)”的算理

“一個(gè)數(shù)除以整數(shù)”的算理還是比較容易理解的。以“把一張紙的平均分成2份，每份是這張紙的幾分之幾”為例，求每份是多少，也就是求的是多少，學(xué)生理解起來比較容易。所以，課堂上，學(xué)生很容易總結(jié)出“除以一個(gè)不為0的整數(shù)，就相當(dāng)于乘以這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)”。但是，如果教學(xué)僅僅到此為止，我覺得是不夠的，還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從“份數(shù)”的角度來理解。如“將平均分成2份，求每份是多少”，換句話說，也就是已經(jīng)知道了2份是，求1份是多少，即“一個(gè)數(shù)除以整數(shù)”就是知道了多份求一份的問題。如下圖：

二、簡(jiǎn)析“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的算理

一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算理不好理解，即使是我們成年人大部分也只是記住了算法，而算理早就忘得一干二凈了。如教材中的例題：“小明小時(shí)走了2km，小紅小時(shí)走了m。誰走的快些？”根據(jù)“路程÷時(shí)間＝速度”的數(shù)量關(guān)系，很容易列出算式，但是在理解算理上學(xué)生出現(xiàn)了困難。在學(xué)生經(jīng)過討論之后，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生也是可以用舊知解決新知的，即“為什么”。學(xué)生的方法大致如下：

乍一看，這四種方法都可以證明這個(gè)算法是正確的，尤其是第四種方法，竟然跟書上的方法不謀而合，但當(dāng)我們仔細(xì)分析這四種方法時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)第四種方法的不同之處。前三種方法都是根據(jù)以前的算法進(jìn)行推導(dǎo)，只是從算法的角度證明結(jié)論而已，而第四種方法雖然也是證明結(jié)論，但它是從分?jǐn)?shù)的本質(zhì)意義（把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份）入手理解算理的，這才是算法的本質(zhì)。

仔細(xì)分析不難發(fā)現(xiàn)，“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的過程，實(shí)際上是知道部分求整體的過程，如何由部分求出整體是算理的本質(zhì)。如下圖：

根據(jù)“總量÷數(shù)量＝單位量”的數(shù)量關(guān)系，很容易列算式為c÷。算理思考過程如下：

實(shí)際上，“除以整數(shù)”和“除以分?jǐn)?shù)”都是求單位量（即1份數(shù)），只是角度不同，前者是已知多份數(shù)求1份數(shù)，后者是已知1份數(shù)的部分求1份數(shù)。

總之，教師在教學(xué)過程中要關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這樣才能從根本上引導(dǎo)學(xué)生理解所學(xué)知識(shí)，使他們形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。