盧克清，胡 凱，陳衛(wèi)軍，于會(huì)敏，張寶菊

（天津工業(yè)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，天津 300387）

兩束艾里光束在Kerr和飽和非線性介質(zhì)中的相互作用

盧克清，胡 凱，陳衛(wèi)軍，于會(huì)敏，張寶菊

（天津工業(yè)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，天津 300387）

采用分步傅里葉法對(duì)兩艾里光束在Kerr介質(zhì)和飽和非線性介質(zhì)中同向和反向傳輸時(shí)的相互作用進(jìn)行了數(shù)值模擬，探討了兩艾里光束的入射光間隔對(duì)相互作用的影響.結(jié)果表明：當(dāng)兩艾里光束的入射間隔大于其主瓣寬度時(shí)，在兩介質(zhì)中同向或反向傳輸?shù)墓伦泳皇`在原入射光束中穩(wěn)定傳輸，無(wú)相互作用；當(dāng)兩光束的入射光間隔小于等于主瓣寬度時(shí)，在Kerr介質(zhì)中同向傳輸?shù)膬晒馐诠鈴?qiáng)E=3時(shí)相互吸引而在E=4時(shí)由最初的相互吸引變?yōu)橄嗷ヅ懦?，反向傳輸保持相互排斥的性質(zhì)；在飽和非線性介質(zhì)中兩光束在任意光強(qiáng)都保持同向相互吸引、反向相互排斥的特性.

艾里光束；Kerr介質(zhì)；飽和非線性介質(zhì)；相互作用

衍射是光束的基本特性.由于衍射，激光束在傳輸過(guò)程中，光斑逐漸增大，能量逐漸分散.隨著激光在通信、軍事等長(zhǎng)距離傳輸領(lǐng)域應(yīng)用的不斷拓展和深化，人們?cè)絹?lái)越希望消除衍射，降低激光束的傳輸耗散.由此，一個(gè)新的研究領(lǐng)域應(yīng)運(yùn)而生——無(wú)衍射光束.理論上無(wú)衍射光束攜帶無(wú)窮大的能量，因此嚴(yán)格來(lái)講實(shí)際并不存在.目前主要利用孔徑光闌對(duì)無(wú)衍射光束進(jìn)行“截趾”來(lái)產(chǎn)生這些光束.雖然“截趾”后的無(wú)衍射光束不再保持絕對(duì)無(wú)衍射的形式傳輸，但在一定的傳輸距離內(nèi)，相比高斯光束，它們?nèi)跃哂泻芎玫臒o(wú)衍射特性，因而被稱作“近無(wú)衍射光束”.下文中如無(wú)特殊說(shuō)明，無(wú)衍射光束均指近無(wú)衍射光束.

最具代表性的沿直線傳輸?shù)臒o(wú)衍射光束是貝塞爾（Bessel）光束[1]，而最具代表性的沿曲線傳輸（橫向自加速）的無(wú)衍射光束是最近熱門研究的艾里光束[2-3].艾里光束在 2007年首先由Christodoulides研究組實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn).相比貝塞爾光束[4]和馬丟（Mathieu）光束，艾里光束除了具有無(wú)衍射和自愈特性外，還具有自彎曲傳輸?shù)钠娈愄匦?目前，艾里光束的特性已被充分研究，其中主要包括無(wú)衍射[5-6]、橫向自加速偏移[7-8]以及自愈[9]等特性；單一艾里光束的非線性Kerr效應(yīng)[10-11]及其傳輸動(dòng)力學(xué)特性[12]也已經(jīng)被報(bào)道，但是關(guān)于兩束艾里光束之間相互作用的研究還比較少.本文擬利用快速分布傅里葉法研究?jī)墒锕馐贙err介質(zhì)和飽和非線性光折變介質(zhì)中同向和反向傳輸時(shí)的相互作用，探討艾里光束間的入射間距對(duì)相互作用的影響，并簡(jiǎn)要分析兩個(gè)互相作用的艾里光束沿著橫向傳輸時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性.

1 理論模型

在傍軸近似中，光纖中孤子的場(chǎng)包絡(luò)函數(shù)的傳輸可用下列歸一化標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤方程[13]描述:

式中:δn表示折射率的非線性變化；x為歸一化無(wú)量綱橫向坐標(biāo)；z為歸一化傳輸距離.

當(dāng)δn=0時(shí)，方程（1）為線性薛定諤方程，采用分布傅里葉法進(jìn)行求解，其特解[14-15]可表示為:

式中:Ai為艾里函數(shù).由于艾里光束固有的無(wú)衍射性，艾里光束具有無(wú)限的能量，其旁瓣衰減的非常慢；而在實(shí)際產(chǎn)生艾里光束的過(guò)程中，由于空間和能量的限制，需要它的旁瓣衰減的很快.因此，考慮其截?cái)啻翱诘闹笖?shù)函數(shù)衰減[16]:

通常情況下衰減因子0＜a≤1，這樣即可用有限能量的艾里激光束來(lái)近似無(wú)窮能量的理想艾里激光束；有限能量艾里激光束在自由空間中傳輸?shù)饺我饩嚯x處的場(chǎng)分布函數(shù)可表示為:

對(duì)方程（4）運(yùn)用分布傅里葉法與樣條插值法[17]可得出艾里光束傳輸時(shí)的主瓣寬度w=5；而方程（4）的一般形式可表示為:

式中:E和B為任意常量，分別代表振幅強(qiáng)度和沿橫坐標(biāo)平移的距離.

本文擬要探討艾里光束間的相互作用，為此構(gòu)造出初始入射光束為相互平行但加速度不同的一對(duì)艾里光束，表示為:

式中:截?cái)嘁蜃觓=0.2；l為控制相位變化的參數(shù)，當(dāng)l=0時(shí)，艾里光束間為同向輸入；當(dāng)l=1時(shí)，兩光束為反向輸入.

2 艾里光束間的相互作用

2.1 Kerr介質(zhì)

在公式（1）的基礎(chǔ)上令δn=｜φ｜2，當(dāng)入射光間隔較大時(shí)彼此間的相互作用非常弱，因此令兩束光間距保持在相對(duì)較小的范圍內(nèi).圖1給出了振幅強(qiáng)度E=3時(shí)兩艾里光束同向和反向輸入時(shí)相互作用的演化圖.

圖1 E=3時(shí)兩束艾里光束在Kerr介質(zhì)中同向和反向傳輸?shù)南嗷プ饔肍ig.1 Interaction of two in-phase and out-of-phase incident Airy beam s with E=3 in Kerr medium

由圖1可以看出:

（1）艾里光束同向傳輸且入射光間隔小于主瓣寬度時(shí)表現(xiàn)出相互吸引的特性.在B=-3和B=4處，除部分孤子能量脫落外光束間保持平行傳輸；在一定范圍內(nèi)隨著入射光束間隔距離減小，相互間吸引作用增強(qiáng)，產(chǎn)生綁定的呼吸子式孤子；距離越小，相互間作用越大，孤子的振蕩周期越小.但仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)當(dāng)B= 1時(shí)孤子的振蕩周期比B=0時(shí)小，這是因?yàn)锽=0時(shí)艾里光束的主瓣位于x=-1處，此時(shí)兩個(gè)入射光束主瓣之間始終保持有一定距離.所以，在B=1時(shí)光束間的相互作用最強(qiáng)，形成的孤子周期最短；值得注意的是此時(shí)從主瓣產(chǎn)生的孤子以及主瓣的加速特性是不存在的[14].

（2）艾里光束反向輸入時(shí)的初始振幅數(shù)值條件跟同向一致，但當(dāng)光束間隔小于主瓣寬度時(shí)表現(xiàn)出來(lái)的特性與同向輸入時(shí)完全不同.從圖1中可以看到，兩光束間隔距離較小時(shí)表現(xiàn)出排斥的現(xiàn)象，并且由于相互排斥作用產(chǎn)生孤子對(duì).入射光束間隔越小，相互間的排斥作用越強(qiáng)，直到兩個(gè)光束開(kāi)始交疊；當(dāng)光束交疊時(shí)，隨著交疊程度的增加，光束間的排斥力減弱，如圖1中B=1所示.另外，注意到在B=0時(shí)孤子對(duì)間的排斥力比B=1時(shí)大，這是因?yàn)榘锕馐聪騻鬏敃r(shí)在B=1處兩個(gè)主瓣彼此間保持平衡而副瓣間的間隔距離比B=0時(shí)的主瓣間的距離大.換句話說(shuō)，當(dāng)B=1時(shí)孤子對(duì)是由副瓣產(chǎn)生的，而其它演化圖孤子對(duì)是由主瓣產(chǎn)生的.

由圖1還觀察到，在B=4處艾里光束反向輸入的演化圖中出現(xiàn)兩個(gè)孤子對(duì)，而在所有其它附圖中除了最初艾里光束間相互作用產(chǎn)生的多余輻射能量外只看到一個(gè)孤子對(duì).這是因?yàn)楣馐哪芰恐饕獌?chǔ)存在主瓣中，內(nèi)部孤子對(duì)的能量強(qiáng)度比外部孤子小，但是在傳播初期（大概z=2處）兩個(gè)孤子對(duì)交換能量，外孤子對(duì)因?yàn)閺闹靼曛蝎@取了更多的能量而排斥力較強(qiáng)；因此，一個(gè)孤子對(duì)來(lái)源于艾里光束主瓣，另一個(gè)來(lái)源于副瓣.仔細(xì)觀察這個(gè)結(jié)果發(fā)現(xiàn):如果令E變化，當(dāng)E＜0.2時(shí)沒(méi)有孤子產(chǎn)生，當(dāng)E≥0.2時(shí)產(chǎn)生孤子對(duì)，當(dāng)E足夠大（例如E=8）時(shí)有多個(gè)孤子對(duì)產(chǎn)生.但是由于光束強(qiáng)大的自聚焦效應(yīng)[10]，傳播可能變得不穩(wěn)定.圖2截選了演化過(guò)程中的4個(gè)例子.

圖2 B=4時(shí)E=0.2、2、4和8時(shí)的演化圖Fig.2 Evolution graph of E=0.2，2，4 and 8 with B=4

基于以上討論令振幅強(qiáng)度E=4，由于兩光束反向傳輸時(shí)的演化結(jié)果與圖1反向傳輸類似，光場(chǎng)交疊區(qū)發(fā)生相消干涉，導(dǎo)致該區(qū)域折射率降低，兩光束分別向兩側(cè)偏移形成排斥現(xiàn)象，因此本文只給出了同向傳輸?shù)难莼瘓D，如圖3所示.

圖3 E=4時(shí)兩艾里光束在Kerr介質(zhì)中同向傳輸時(shí)相互作用的演化圖Fig.3 Evolution graph of two in-phase incident Airy beam s interaction with E=4 in Kerr medium

由圖3可以看出，兩光束同向傳輸、光束間隔小于w時(shí)有排斥現(xiàn)象出現(xiàn)，如圖3（c）和圖3（d）所示.這是因?yàn)檎凵渎实淖兓构伦娱g相互吸引，但隨著傳播距離的增加，吸引力逐漸減弱而排斥力增強(qiáng)，最終斥力強(qiáng)度強(qiáng)于吸引力起主導(dǎo)作用.從圖3中還可以看到，B=1時(shí)由于重疊的主波瓣強(qiáng)度增加，脈沖寬度被抑制，因而從疊加的主瓣中分離形成的兩個(gè)孤子間斥力比B=0時(shí)小.當(dāng)B逐漸變大時(shí)，光束間間隔增大，彼此間相互作用減小，光束的主瓣與其它部分的高次波瓣重合產(chǎn)生平行傳輸?shù)墓伦樱鐖D3（f）所示.

2.2 飽和非線性介質(zhì)

根據(jù)光折變的基本理論，令δn=｜φ｜2/（γ+｜φ｜2），式中0＜γ≤1是飽和非線性常數(shù)，在本文中令γ=1.圖4給出了艾里光束在飽和非線性介質(zhì)中同向輸入和反向輸入時(shí)相互作用的演化圖.

圖4 E=3時(shí)兩束艾里光束在飽和非線性介質(zhì)中同向和反向傳輸?shù)南嗷プ饔肍ig.4 Interaction of two in-phase and out-of-phase incident Airy beams with E=3 in saturable NL medium

由圖4可以看出，光束在飽和非線性介質(zhì)中傳輸與在Kerr介質(zhì)中傳輸時(shí)的行為相似，光束同向輸入且光束間隔小于主瓣寬度時(shí)，由于光束間的相互吸引作用產(chǎn)生單個(gè)孤子和具有呼吸子式行為的孤子對(duì).在圖4中B=-4時(shí)，艾里主瓣形成單個(gè)孤子而孤子對(duì)由副瓣形成；而在B=0和B=2中，只有單個(gè)呼吸子式孤子形成，沒(méi)有孤子對(duì)出現(xiàn)，并且由于兩個(gè)艾里光束的主、副瓣能量的分量非常接近，副瓣連同主瓣共同形成中心孤子；在B=4和B=5時(shí)x=0處的孤子由副瓣和高次波瓣形成，而孤子對(duì)由主瓣形成.

艾里光束在飽和非線性介質(zhì)中反向輸入時(shí)，由于初始入射時(shí)兩束艾里部分光束的疊加導(dǎo)致互斥孤子對(duì)的形成、單個(gè)孤子的消失.比較圖1發(fā)現(xiàn)，在飽和非線性介質(zhì)中的孤子對(duì)之間形成的排斥力比在Kerr介質(zhì)中的強(qiáng)；另外研究B=4時(shí)E變化時(shí)艾里光束在飽和非線性介質(zhì)中相互作用的穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)對(duì)任意的E值光束在飽和非線性介質(zhì)中的傳輸是穩(wěn)定的，其演化圖與圖4反向傳輸類似.

3 結(jié)論

本文研究了艾里光束在Kerr介質(zhì)和飽和非線性介質(zhì)中同向和反向傳輸時(shí)的相互作用.由于其固有的無(wú)衍射性，理想艾里光束具有無(wú)限的能量，其旁瓣衰減的非常慢，為了能在試驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)艾里光束，需要對(duì)艾里函數(shù)加上指數(shù)衰減因子，用有限能量艾里光束近似無(wú)窮能量的艾里光束來(lái)討論研究.結(jié)果表明:

（1）光束間的相互作用隨著入射光束間隔的減小而增強(qiáng)；當(dāng)光束間的間隔較大時(shí)光束互不影響，彼此保持平行傳輸；當(dāng)入射光間隔小于等于主瓣寬度時(shí)兩光束產(chǎn)生相互作用并表現(xiàn)不同行為.

（2）在Kerr介質(zhì)中同向傳輸時(shí)，振幅的大小影響光束間的相互作用，當(dāng)E=3時(shí)光束間相互吸引，而E= 4時(shí)光束間有排斥現(xiàn)象出現(xiàn)；反向傳輸時(shí)，在一定光束間隔范圍內(nèi)兩艾里光束相互排斥，討論B=4時(shí)產(chǎn)生的孤子對(duì)的穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)E＜0.2時(shí)沒(méi)有孤子產(chǎn)生，當(dāng)E≥0.2時(shí)產(chǎn)生孤子對(duì)，當(dāng)E足夠大（例如E=8）時(shí)有多個(gè)孤子對(duì)產(chǎn)生.

（3）在飽和非線性介質(zhì)中，艾里光束無(wú)論是同向傳輸時(shí)表現(xiàn)出相互吸引還是反向傳輸時(shí)表現(xiàn)出相互排斥的性質(zhì)都不隨E的大小變化，保持穩(wěn)定傳輸.

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Interactions of two Airy beam s in Kerr and saturable nonlinear media

LU Ke-qing，HU Kai，CHEN Wei-jun，YU Hui-min，ZHANG Bao-ju
（School of Electronics and Information Engineering，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China）

The interactions of two in-phase and out-of-phase Airy beams in Kerr and saturable nonlinear（NL）media are investigated numerically by using the distribution Fourier method.The influence of the incident light interval on the interaction of two Airy beams is discussed.The results show that if the interval between two incident beams is larger than the widths of their main lobes，the generated soliton pairs just propagate individually and do not interact.However，if the interval is comparable to the widths of the main lobes，in Kerr medium，when E=3，two in-phase Airy beams transmission attract each other，and when E=4，the two beams become mutually exclusive instead of the initial attract each other；if the two beams transmit in out-of-phase，they always maintain reply.In saturable nonlinear media，the two beams are always attract each other when they are in the same direction and mutually exclusive in out-of-phase to arbitrary intensity.

Airy beams；Kerr medium；saturable nonlinear（NL）media；interaction

O436.1

A

1671－024X（2015）04－0080－05

10.3969/j.issn.1671-024x.2015.04.017

2015-05-14

天津市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（13JCYBJC16400）

盧克清（1961—），男，研究員，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)榉蔷€性光學(xué).E-mail:kqlutj@126.com