□ 虞 敏 □ 趙建華 □ 邱明勇 □ 劉 放

沈陽機(jī)床（集團(tuán)）設(shè)計研究院有限公司 上海分公司 上海 200433

球桿儀可以檢測機(jī)床的動態(tài)性能，其圓軌跡測量曲線幾乎可以反映機(jī)床中的所有誤差項，且測量精度較高，操作簡便快速。近年來，國內(nèi)外學(xué)者不斷嘗試拓展其應(yīng)用范圍，尤其對于復(fù)雜機(jī)構(gòu)的空間定位精度的檢測，球桿儀安裝定位的靈活性和數(shù)據(jù)采集的簡單快捷性得到了很好的發(fā)揮。也有學(xué)者將球桿儀應(yīng)用到檢測主軸熱誤差中，Srinivasa等［6-7］提出采用球桿儀對機(jī)床主軸熱誤差進(jìn)行測量，但其測量過程需要4個球桿儀；Delbressine等［8］根據(jù)球桿儀的空間半球分布的25個測點，通過矢量點積運算辨識主軸的3D位置誤差矢量，從而求解熱誤差，該方法需要結(jié)合誤差模型解耦運算，計算過程較抽象、復(fù)雜；Yang等［9］提出了基于球桿儀的主軸熱誤差測量方法，其測量過程只需1個球桿儀，測量軌跡為3個平動軸聯(lián)動構(gòu)成的半球形螺旋軌跡，通過空間矢量幾何關(guān)系辨識分離出主軸的熱誤差，但該方法測得的誤差值是包含主軸旋轉(zhuǎn)以及Z軸進(jìn)給引起的綜合熱誤差；商鵬等［10］提出采用球桿儀測量主軸熱誤差的方法，該方法使測量掃過區(qū)域為一圓錐面，根據(jù)空間幾何關(guān)系和三角形余弦公式反求主軸端熱誤差，通過在圓上選取多個點求平均值的方法來獲得精度較高的熱誤差量，但沒有明確指出怎么選擇這些點，以及這些點坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

筆者提出一種簡單、高效的主軸熱誤差檢測及辨識方法，通過將球桿儀運動軌跡設(shè)為一圓錐體，在XY平面上選取間隔120°的3個點建立新坐標(biāo)系，在新坐標(biāo)系下，建立桿長變化值與熱誤差之間的空間幾何矢量關(guān)系，求解3個方向的熱變形量，再通過坐標(biāo)矩陣變換，轉(zhuǎn)換為機(jī)床坐標(biāo)系下的熱變形量，并提出識別5個熱誤差元素的檢測方法，最后在實際機(jī)床上驗證了該方法的有效性。

1 球桿儀誤差檢測原理

球桿儀檢測原理及安裝如圖1所示，通常由可伸縮的球棒和磁力球座組成。在可伸縮的兩桿內(nèi)裝有高精密的線位移傳感器，從傳感器輸出的信號可獲得兩個小球之間的精確距離。測量時，一端吸附在主軸端的磁性球座上，另外一端吸附在工作臺的磁性球座上。在沒有誤差的情況下，球桿儀的桿長不變，在有誤差的情況下，桿長發(fā)生變化，通過求解桿長變化與各個誤差之間的關(guān)系，分離出誤差。

▲圖1 球桿儀檢測誤差原理［11］

典型的球桿儀檢測方法是在XY（YZ 或 XZ）平面測量，采用這種檢測方法，桿長變化值是兩個方向的綜合誤差，只能識別出兩個方向的誤差，如果將球桿儀運動軌跡設(shè)為一圓錐體，則桿長的變化值能同時反應(yīng)在X、Y、Z方向的誤差值。雖然這些誤差是包含幾何誤差、伺服不匹配誤差等多個誤差的綜合值，但這些誤差值不隨溫度的變化而變化，主軸高速旋轉(zhuǎn)一段時間后，測得的誤差值減去冷態(tài)下的誤差值即為熱誤差。

2 球桿儀檢測主軸熱誤差原理

用球桿儀檢測主軸熱誤差的安裝方式如圖2所示。球桿儀檢測主軸熱誤差就是求主軸端小球中心點（S點），在不同溫升時刻相對于冷態(tài)下的坐標(biāo)變化值，因此，問題歸結(jié)為求S點坐標(biāo)和桿長變化值之間的關(guān)系。求解S點坐標(biāo)的步驟為：建立新的坐標(biāo)系，在該坐標(biāo)系下求解S點的坐標(biāo)，再通過坐標(biāo)矩陣變換，將其轉(zhuǎn)換為機(jī)床坐標(biāo)。

2.1 建立新坐標(biāo)系

在XY平面上選取相差 120°的3個點 A、B、C，構(gòu)成正三角形，根據(jù)以下原則建立新的坐標(biāo)系O′X′Y′Z′：選取三角形的中心為圓心 O′，X′軸過 O′點，并且平行 AB，方向為 A→B，Y′軸與 O′C 重合，方向為 O′→C。根據(jù)右手定則，過O′點建立Z′軸（如圖3所示）。

2.2 在新坐標(biāo)系下求S點的坐標(biāo)

根據(jù)空間幾何矢量原理，建立方程組：

根據(jù)以上矢量方程，得到如下坐標(biāo)方程：

CDIO模式在本課程的應(yīng)用規(guī)劃從教學(xué)方式、實踐鍛煉和教學(xué)評價考核等多個方面進(jìn)行。在教學(xué)方式和教學(xué)過程上，對教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方案進(jìn)行改革，改進(jìn)前期基于案例項目的學(xué)徒式設(shè)計，延續(xù)“做中學(xué)”的教學(xué)模式，將項目分析、項目設(shè)計、文檔能力等融入課程體系，零散知識點之間通過項目銜接，化點為線，形成“知識+能力+素質(zhì)”的培養(yǎng)思路；實踐鍛煉采用課上+課下、課堂+教學(xué)平臺、小項目+大項目的方式，讓學(xué)生接觸更多的實踐項目，在實踐中理解理論知識，體驗團(tuán)隊合作，更好的體會UML在分析和設(shè)計中的作用；評價考核，更多的融入對學(xué)生能力和素質(zhì)的考察，通過實踐鍛煉和成果展示、評議等方式幫助學(xué)生更好的提高綜合能力水平。

在 X′Y′平面中的 A、B、C 3 點滿足以下關(guān)系（如圖4所示）。

A 點坐標(biāo) xa、ya、za為（Rcos210°，Rsin210°，0）。

B 點坐標(biāo) xb、yb、zb為（Rcos330°，Rsin330°，0）。

C 點坐標(biāo) xc、yc、zc為（0，R，0）。

其中：R為球桿儀在X′Y′平面內(nèi)的軌跡圓半徑。

AS、BS、CS 滿足以下關(guān)系。

其中：θa、θb、θc為球桿儀桿與 X′Y′平面的夾角，σa、σb、σc為 AS′、BS′、CS′在 O′X′Y′坐標(biāo)系內(nèi)的角度 （如圖4所示），其中 S′為 S投影到 X′Y′平面內(nèi)的點。

根據(jù)式（2）～式 （4）3 個方程組，可求得 9 個未知量：S 點的 3 個坐標(biāo) x、y、z，以及 θa、θb、θc、σa、σb、σc。 根據(jù)冷態(tài)t0時刻和溫升t時刻下S點的坐標(biāo)變化值，可求得3個方向的熱變形量：

為得到精度較高的值，在X′Y′平面的圓上間隔120°選取3×n個點，然后求n個S點坐標(biāo)值的平均值。

2.3 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

根據(jù)這些點計算出的坐標(biāo)值是在 O′X′Y′Z′坐標(biāo)系內(nèi)，還需要將其轉(zhuǎn)換為機(jī)床坐標(biāo)系OXYZ坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。從圖4可以看出，O′X′Y′Z′和 OXYZ 坐標(biāo)系滿足以下變換方程：

其中α為A點在XY平面內(nèi)所取的角度 （見圖3），進(jìn)而得到S點在機(jī)床坐標(biāo)系下的坐標(biāo)：

▲圖2 球桿儀檢測主軸熱誤差安裝圖

▲圖3 球桿儀檢測主軸熱誤差原理圖

▲圖4 A、B、C 3點在坐標(biāo)系中的位置關(guān)系

3 基于球桿儀的主軸熱誤差檢測方法

若要得到主軸五項熱誤差元素就需要兩組X和Y向的熱誤差值，因此，改變主軸端小球在Z向的位置，獲得兩組熱誤差值 Δx1（t）、Δy1（t）、Δz（t）、Δx2（t）、Δy2（t）、Δz（t），進(jìn)而得到主軸的五項熱誤差。

設(shè)主軸的五項熱誤差為：δx（t）、δy（t）、δz（t）、εxz（t）、εyz（t），則：

式中：Δx2（t）、Δx1（t）分別為主軸上、下端測量點在 t時刻 X 向的熱變形量；Δy2（t）、Δy1（t）分別為主軸上、下端測量點在t時刻Y向的熱變形量；L為刀長；D為主軸端小球前后兩次在 Z 向的間距，D=L0sinθ1-L0sinθ2；θ1、θ2為球桿儀與XY平面的夾角；L0為球桿儀桿長。

在操作中不用改變磁力球座的位置，也無需將球桿儀拿下，通過簡單的三軸聯(lián)動編程即可改變主軸端小球的位置，避免了球桿儀再次安裝產(chǎn)生的誤差。由于球桿儀檢測過程非常快，以1 000 m/min的速度運行一圈只需2 min，在該時間段內(nèi)的熱變形量不會有較大變化，因此可認(rèn)為前后兩組數(shù)據(jù)是在相同溫度下的熱變形量，對應(yīng)的溫度值為整個檢測過程的平均溫度值。

4 實驗驗證

為驗證上述檢測原理及算法的效果及正確性，在VMC850P加工中心上，采用Renishaw公司的Q20球桿儀進(jìn)行主軸熱誤差元素的檢測、識別及補(bǔ)償實驗（如圖5所示）：采用150 mm的桿長，球桿儀與工作臺之間的夾角分別為30°和60°，在XY平面內(nèi)分別以75mm和75 mm為半徑，按順時針和逆時針方向各運行一周，得到在冷態(tài)下的兩組檢測文件。然后主軸以5 000 r/min的速度旋轉(zhuǎn)一段時間后，再按以上的方法，得到主軸在t1、t2、...、tn時刻的n×2組檢測文件。

▲圖5 球桿儀檢測主軸熱誤差

基于以上算法編寫MATLAB 程序， 得到 t1、t2、...、tn時刻的主軸在 X、Y、Z 方向的熱變形量，根據(jù) δx（t），δy（t）、δz（t）修改當(dāng)前坐標(biāo)系（如G58），即將當(dāng)前坐標(biāo)原點進(jìn)行偏移，再執(zhí)行一遍球桿儀檢測程序，得到實驗結(jié)果為：在冷機(jī)狀態(tài)下，測得偏心量Δx=100.5μm，Δy=-50.9μm，該偏心量是不包含熱誤差的。主軸升溫一段時間后，偏心量變?yōu)棣=97.4μm，Δy=-65.8μm，將計算得到的熱變形量補(bǔ)償?shù)疆?dāng)前坐標(biāo)系中，偏心量變?yōu)棣=101.1 μm，Δy=-53.2μm（見表1），與冷態(tài)下的偏心量接近，說明已經(jīng)補(bǔ)償了主軸的熱誤差。表1列出了5組數(shù)據(jù)，可以看出，補(bǔ)償后的偏心量與冷機(jī)狀態(tài)下的偏心量相差很小，基本能控制在3μm以內(nèi)，而補(bǔ)償前，溫升之后的偏心量與冷態(tài)下的偏心量最大達(dá)到了31.9μm，驗證了該檢測及辨識方法的正確性和有效性。

表1 誤差補(bǔ)償比較/μm

5 結(jié)論

主軸熱誤差是影響機(jī)床加工精度的重要原因，針對目前主軸熱誤差檢測過程的缺點，筆者提出的基于球桿儀的主軸熱誤差檢測方法，安裝和操作簡單，結(jié)果可靠有效，對主軸熱誤差檢測識別方法及球桿儀應(yīng)用范圍的有效補(bǔ)充。但球桿儀存在安裝誤差（主軸軸心線不與Z軸重合，導(dǎo)致球桿儀實際位置與理論位置有偏差），在主軸旋轉(zhuǎn)時要將球桿儀拿下來，檢測時再放上去，這就造成每次安裝的位置點不一樣，如果主軸偏心較大的話，求得的熱誤差量的精度也較低。因此，需要進(jìn)一步分析球桿儀的安裝誤差對測量結(jié)果的影響，通過檢測和辨識技術(shù)，把安裝誤差辨識出來。

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