賈 寶,薛 林,閆曉勇

(1.北京電子工程總體研究所,北京 100854；2.中國(guó)航天科工集團(tuán)第二研究院,北京 100854)

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自旋導(dǎo)彈飛行共振穩(wěn)定性研究①

賈 寶1,薛 林2,閆曉勇1

(1.北京電子工程總體研究所,北京 100854；2.中國(guó)航天科工集團(tuán)第二研究院,北京 100854)

彈體滾轉(zhuǎn)時(shí)，結(jié)構(gòu)不對(duì)稱等因素會(huì)對(duì)導(dǎo)彈的角運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生周期性的強(qiáng)迫干擾。針對(duì)自旋導(dǎo)彈飛行過(guò)程中的周期性干擾和非線性氣動(dòng)特性，建立了非線性彈體角運(yùn)動(dòng)模型。在此基礎(chǔ)上，采用多尺度法對(duì)自旋導(dǎo)彈的受迫角運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行了求解，得到了近似解析解并研究了其穩(wěn)定性。研究表明，當(dāng)彈體轉(zhuǎn)動(dòng)速率接近固有頻率時(shí)，氣動(dòng)非線性項(xiàng)及干擾項(xiàng)都將影響彈體角運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性；分析結(jié)果顯示，合理地設(shè)計(jì)氣動(dòng)外形可避免共振不穩(wěn)定的發(fā)生，這對(duì)自旋類(lèi)導(dǎo)彈的工程研制具有一定的指導(dǎo)性意義。

自旋導(dǎo)彈；錐形運(yùn)動(dòng)；非線性運(yùn)動(dòng)；共振穩(wěn)定性

0 引言

自旋導(dǎo)彈在飛行過(guò)程中，彈體繞其縱軸旋轉(zhuǎn)，使得導(dǎo)彈的受力特性及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)復(fù)雜化。彈體滾轉(zhuǎn)引起的馬格努斯效應(yīng)及陀螺效應(yīng)導(dǎo)致導(dǎo)彈的俯仰通道和偏航通道之間出現(xiàn)交聯(lián)。此時(shí)，彈體的角運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為復(fù)雜的錐形運(yùn)動(dòng)，即二圓運(yùn)動(dòng)(章動(dòng)、進(jìn)動(dòng))的疊加，導(dǎo)彈的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性將取決于錐形運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[1-3]通過(guò)建立不同的角運(yùn)動(dòng)方程對(duì)自旋彈的動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，分析結(jié)果均以線性化假設(shè)為基礎(chǔ)，而導(dǎo)彈在實(shí)際飛行過(guò)程中受到的氣動(dòng)力并不是嚴(yán)格地與攻角成正比，在某些情況下，它們之間存在著較強(qiáng)的非線性關(guān)系。非線性系統(tǒng)的收斂特性與起始條件及輸入干擾均有很大關(guān)系，Murphy最先開(kāi)始了非線性因素對(duì)運(yùn)動(dòng)影響的研究。至今，已有一些資料給出了自旋導(dǎo)彈的非線性運(yùn)動(dòng)特性及穩(wěn)定條件[4-6]。這些結(jié)果均針對(duì)導(dǎo)彈的自由擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，得到了起始條件對(duì)導(dǎo)彈穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的影響，而自旋導(dǎo)彈在飛行過(guò)程中不可避免地受到氣動(dòng)偏心、質(zhì)量偏心、推力偏心及控制力等周期擾動(dòng)的影響，這些因素也將影響非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性[7-8]，尤其是當(dāng)彈體轉(zhuǎn)速接近彈體固有頻率時(shí)，運(yùn)動(dòng)特性將會(huì)變得十分復(fù)雜?，F(xiàn)有的研究結(jié)果均建議彈體的轉(zhuǎn)速設(shè)計(jì)應(yīng)遠(yuǎn)離彈體的固有頻率，但對(duì)于不可避免地出現(xiàn)重合的情況，未有系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究，缺乏對(duì)非線性共振有界或發(fā)散的詳細(xì)認(rèn)識(shí)和理論判據(jù)。

本文將利用多尺度法，研究自旋彈在氣動(dòng)非線性和外界干擾輸入條件下的運(yùn)動(dòng)機(jī)理，進(jìn)而得出運(yùn)動(dòng)過(guò)程的動(dòng)穩(wěn)定條件及運(yùn)動(dòng)特性，對(duì)于避免自旋彈出現(xiàn)共振不穩(wěn)定飛行具有重要的設(shè)計(jì)指導(dǎo)意義。

1 彈體角運(yùn)動(dòng)方程

彈體自旋條件下，導(dǎo)彈的俯仰、偏航通道相互耦合，難以分開(kāi)進(jìn)行單獨(dú)研究。為便于分析，引入復(fù)角的概念，即

δi=β*+iα*

(1)

式中α*、β*為準(zhǔn)彈體系下的攻角和側(cè)滑角。

[1]，將運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行降階，得到自旋導(dǎo)彈的角運(yùn)動(dòng)方程：

(2)

其中

(3)

將非線性模型代入運(yùn)動(dòng)方程中，同時(shí)考慮由于結(jié)構(gòu)不對(duì)稱帶來(lái)的周期擾動(dòng)力矩[8]，可得到自旋導(dǎo)彈的受迫運(yùn)動(dòng)微分方程：

=iA0ei(ωxt+γ0)

(4)

式中 H2=-d2a22；M2=c2a24；ωx為彈體滾轉(zhuǎn)頻率；A0為擾動(dòng)力矩的振幅；γ0為初始相位。

2 非線性共振運(yùn)動(dòng)周期解

利用“系數(shù)凍結(jié)法”，式(4)可視為一個(gè)非齊次的非線性常微分方程，其自變量為復(fù)數(shù)，展成實(shí)數(shù)后方程階次變?yōu)樗碾A，難以利用相平面理論進(jìn)行定性分析，同時(shí)其解析解也無(wú)法得到。因此，考慮求取其近似周期解，進(jìn)行近似定量分析。

2.1 多尺度法

多尺度法是由Sturrock、Frieman等人提出的一種攝動(dòng)方法[10-11]，其計(jì)算精度高，分析處理方便，因而得到了廣泛應(yīng)用。多尺度法的主要思想是引入多個(gè)時(shí)間尺度量t、εt、ε2t、…，把解看作這些獨(dú)立時(shí)間尺度的函數(shù)，根據(jù)這一思想，引入新的自變量：

Tn=εntn=0,1,2,…

(5)

式中ε為小參數(shù)。

根據(jù)上面的關(guān)系式，可將解對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)變?yōu)閷?duì)新變量Tn的偏導(dǎo)數(shù)，表示如下:

(6)

式中D0、D1、D2、…分別為對(duì)T0、T1、T2、…求偏導(dǎo)的運(yùn)算符號(hào)。

再將微分方程的解寫(xiě)為

x(t)=x0(T0,T1,…)+εx1(T0,T1,…)+…

(7)

獨(dú)立自變量的個(gè)數(shù)取決于展開(kāi)式所取的項(xiàng)數(shù)。將式(6)、式(7)代入微分方程中，按照ε同次冪項(xiàng)系數(shù)相等的原則，建立一系列偏微分方程，由此解出x0、x1、…，從而得到微分方程的近似周期解。

2.2 共振運(yùn)動(dòng)的近似周期解

設(shè)系統(tǒng)的阻尼項(xiàng)、非線性項(xiàng)、馬格努斯項(xiàng)及擾動(dòng)項(xiàng)為同階小量，則可將式(4)寫(xiě)為

(M2δ2+iP0T0)δi+iA0ei(ωxt+γ0)]

(8)

根據(jù)多尺度法，將解寫(xiě)為如下形式：

δi(t,ε)=δi0(T0,T1)+εδi1(T0,T1)

(9)

然后，代入式(8)中，可得

(10)

iP0D1δi0-(H0+H2δ2)D0δi0+

(M2δ2+iP0T0)δi0+iA0eiωxt

(11)

將式(10)的解寫(xiě)為如下形式：

δi0=K1ei(ω1T0+φ1)+K2ei(ω2T0+φ2)

(12)

將式(12)代入式(11)中，當(dāng)滾轉(zhuǎn)頻率接近于彈體固有頻率時(shí)，擾動(dòng)項(xiàng)影響著解的形式，引入失調(diào)參數(shù)σ，設(shè)

ωx=ω1+εσ

(13)

則有

(14)

為得到周期解，應(yīng)消除上式中的永期項(xiàng)，即令Q1、Q2的系數(shù)為零，然后分離實(shí)部和虛部后可得

(15)

其中

至此，便得到了求解角運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)近似解析解的全部公式，即通過(guò)式(15)得到K1、K2、φ1、φ2，然后代入式(12)，便得到角運(yùn)動(dòng)方程的一階近似解。從上式可看出，非線性因素的存在使得運(yùn)動(dòng)振幅與頻率的變化復(fù)雜化，很難直接進(jìn)行求解。而對(duì)于彈體的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定問(wèn)題，只需要關(guān)心振幅穩(wěn)態(tài)值的收斂情況即可。

(16)

從式(16)可看出，增大阻尼力矩的線性項(xiàng)，將抑制振幅的穩(wěn)態(tài)值，這對(duì)彈體的飛行運(yùn)動(dòng)將是有利的。將式(16)中前2個(gè)方程平方后相加，可得

(17)

式中ξ=M2/(P0τ)。

式(17)稱為頻率響應(yīng)方程，將其與式(16)中的第3個(gè)方程聯(lián)立，即可得到關(guān)于穩(wěn)態(tài)振幅的二元方程組，穩(wěn)態(tài)振幅存在且穩(wěn)定,就代表了角運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定。

參數(shù)λ12、λ13、λ22及λ23表示了阻尼力矩的非線性項(xiàng)對(duì)彈體角運(yùn)動(dòng)的影響，如果忽略干擾因素，則這4個(gè)參數(shù)只影響彈體運(yùn)動(dòng)的振幅，即影響著彈體運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性；而此時(shí)靜力矩非線性項(xiàng)M2只影響運(yùn)動(dòng)頻率，使彈體的運(yùn)動(dòng)頻率隨時(shí)間發(fā)生變化。如果同時(shí)略去這5個(gè)參數(shù)的影響，角運(yùn)動(dòng)變?yōu)榫€性自由擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，阻尼參數(shù)λ11、λ22的正負(fù)將決定彈體運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。下面在式(15)、式(17)的基礎(chǔ)上，建立這些參數(shù)與彈體穩(wěn)定性的解析關(guān)系，為進(jìn)一步開(kāi)展系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性的分析奠定研究基礎(chǔ)。

3 非線性共振運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析

角運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性直觀的表現(xiàn)為振幅的收斂特性，即分析式(15)的奇點(diǎn)穩(wěn)定性，下面根據(jù)K2的穩(wěn)態(tài)值是否為零，將系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值分為2種情況，分別分析。

3.1 K2穩(wěn)態(tài)值為零時(shí)的穩(wěn)定性分析

K2穩(wěn)態(tài)值為零時(shí)，K1最多會(huì)存在3個(gè)穩(wěn)態(tài)實(shí)數(shù)解。設(shè)此時(shí)穩(wěn)態(tài)解為K1=K10、η=η0，它們可通過(guò)式(17)來(lái)求得。此時(shí)，式(15)的雅克比矩陣為

(18)

矩陣A特征根的實(shí)部全部為負(fù)數(shù)是解穩(wěn)定的充要條件，由此可得穩(wěn)定條件為

(19)

如果忽略非線性項(xiàng)的影響，上面的穩(wěn)定條件將變?yōu)棣?1<0,λ21<0，將其展開(kāi)并簡(jiǎn)化后可得

(20)

這便是線性模型下自旋導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定的條件，與文獻(xiàn)[1]所得結(jié)果一致?？梢?jiàn)，在非線性影響較小時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性可由線性理論來(lái)得到。下面先來(lái)分析穩(wěn)定條件式(19)中的前2個(gè)不等式：

(1)首先應(yīng)滿足式(20)的條件；其次應(yīng)增加λ11、λ21的絕對(duì)值，這樣不僅有利于增加穩(wěn)定條件的邊界，還可減小穩(wěn)態(tài)振幅值K10。因此，若增強(qiáng)彈體動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性，應(yīng)增加彈體的阻尼力矩。

(2)從式(19)前2式可看出，H2為正時(shí)，對(duì)第2個(gè)條件有利而對(duì)第1個(gè)條件不利；H2為負(fù)時(shí)，對(duì)第1個(gè)條件有利而對(duì)第2個(gè)條件不利。因此，設(shè)計(jì)過(guò)程中，在滿足條件(20)時(shí)，只需要考慮前2個(gè)條件中的1個(gè)即可，因?yàn)榈?個(gè)條件與H2為2倍的關(guān)系，更容易造成不穩(wěn)定的情況出現(xiàn)。所以，取H2為正值，將更有利于穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)。

(3)增加靜穩(wěn)定力矩及減小陀螺力矩P0，都將增大τ的值，這樣有利于減小λ12、λ22的絕對(duì)值，從而削弱非線性項(xiàng)的影響，有利于彈體穩(wěn)定。

當(dāng)K2=0時(shí)，在式(17)的兩端同時(shí)對(duì)K1進(jìn)行求導(dǎo)，可得

(21)

如果設(shè)dωx/dK1=0，則有dσ/dK1=0，代入上式后，得到方程：

(22)

方程(22)與穩(wěn)定性判別式(19)中的第三式相一致。對(duì)此方程進(jìn)行求解，可得

(23)

利用數(shù)值計(jì)算，將結(jié)果在ωx-K1圖中表示，可對(duì)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性進(jìn)行更直觀的分析。如圖1所示，圖中實(shí)線為根據(jù)式(17)得到的某一系統(tǒng)a的頻率響應(yīng)曲線，從中可看出，曲線發(fā)生了傾斜，最大振幅遠(yuǎn)離了ωx=ω1。圖中虛線可以通過(guò)式(23)來(lái)得到，由上述分析還知，這條虛線是通過(guò)對(duì)頻率響應(yīng)方程求導(dǎo)且假設(shè)dωx/dK1=0而得到，因此它代表了不同的擾動(dòng)振幅下，頻率響應(yīng)曲線上具有鉛垂切線的點(diǎn)。這條虛線與頻率響應(yīng)曲線相交于2個(gè)點(diǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)速位于這2個(gè)點(diǎn)之間時(shí)，頻率響應(yīng)方程將有3個(gè)實(shí)數(shù)解：位于虛線內(nèi)部的點(diǎn)不滿足q>0，為不穩(wěn)定奇點(diǎn)；而處于其外部的點(diǎn)滿足。從圖中及上面的分析可看出，當(dāng)頻率響應(yīng)曲線上所有點(diǎn)都不具有鉛垂切線時(shí)，式(19)的第三式永遠(yuǎn)滿足；當(dāng)存在具有鉛垂切線的點(diǎn)時(shí)，有些轉(zhuǎn)速值對(duì)應(yīng)的K1具有3個(gè)穩(wěn)態(tài)值，而其中有1個(gè)不滿足式(19)的第三式，另2個(gè)滿足。因此，式(19)的第三式只影響穩(wěn)態(tài)奇點(diǎn)的穩(wěn)定性，并不決定角運(yùn)動(dòng)最終的收斂特性，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)重點(diǎn)考慮式(19)的前2個(gè)不等式。

圖1未表現(xiàn)出穩(wěn)定條件(19)中的前2個(gè)條件，表明這2個(gè)條件式對(duì)系統(tǒng)a永遠(yuǎn)成立。事實(shí)上，這2個(gè)條件式可在圖中用曲線來(lái)表示，λ12、λ22的正負(fù)，將決定滿足條件的點(diǎn)的位置：當(dāng)λ12、λ22為正時(shí)，位于曲線下方的點(diǎn)滿足條件；當(dāng)λ12、λ22為負(fù)時(shí)，位于曲線上方的點(diǎn)滿足條件；當(dāng)曲線不存在時(shí)，所有的點(diǎn)均滿足條件。

圖1 系統(tǒng)a的頻率響應(yīng)曲線Fig.1 Frequency response curves of system a

圖2 系統(tǒng)a的相平面圖Fig.2 Phase plane plot of system a

圖2表示了某轉(zhuǎn)速下式(15)的相平面圖，此時(shí)系統(tǒng)存在3個(gè)不等的實(shí)數(shù)解。從中可看出，3個(gè)解中的大值R3與小值R1為穩(wěn)定奇點(diǎn)，代表了2個(gè)穩(wěn)定的周期解，而中間值R2為不穩(wěn)定奇點(diǎn)，代表了不穩(wěn)定的周期解，最終物理上實(shí)現(xiàn)哪一個(gè)穩(wěn)態(tài)解由初始條件來(lái)決定。一個(gè)轉(zhuǎn)速值對(duì)應(yīng)2個(gè)穩(wěn)定奇點(diǎn)，造成了系統(tǒng)在此區(qū)間內(nèi)的跳躍現(xiàn)象，即轉(zhuǎn)速連續(xù)增大或減小時(shí)，幅值并不是連續(xù)的變化，而是突然發(fā)生跳變。

圖3為運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)值解，上下2幅圖中的彈體轉(zhuǎn)速雖只相差了0.01 rad/s，但振幅變化了75%，即發(fā)生了跳躍現(xiàn)象。當(dāng)然，如果3個(gè)奇點(diǎn)只有1個(gè)是穩(wěn)定的，就不存在這種突變現(xiàn)象了。

圖3 系統(tǒng)a攻角-時(shí)間變化曲線Fig.3 Angle of attack-time curve of system a

ω1T0+φ1=ωxT0+φ0

式中φ0為一常數(shù)。

此時(shí)，自激系統(tǒng)受迫運(yùn)動(dòng)的固有頻率被激勵(lì)頻率所同化，固有頻率在穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)中不再有所體現(xiàn)，這種現(xiàn)象被稱為同化現(xiàn)象。

3.2 K2穩(wěn)態(tài)值不為零時(shí)的穩(wěn)定性分析

(24)

當(dāng)矩陣B的特征根的實(shí)部全部為負(fù)數(shù)時(shí)，即

Re(s1,2,3)<0

(25)

穩(wěn)態(tài)值將是穩(wěn)定的，此時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為二圓運(yùn)動(dòng)的疊加，頻率分別為ωx和ω2。此矩陣十分復(fù)雜，很難得到其特征值的解析解，下面利用數(shù)值解對(duì)該平衡態(tài)的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行定性分析。

圖4為某一系統(tǒng)b在第一種穩(wěn)態(tài)值下的頻率響應(yīng)曲線，圖中位于點(diǎn)劃線上方的點(diǎn)為不穩(wěn)定的，但此時(shí)并不代表角運(yùn)動(dòng)將會(huì)發(fā)散，非線性系統(tǒng)的多個(gè)穩(wěn)態(tài)值保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)值的穩(wěn)定性是不等價(jià)的。圖5為矩陣B特征值的實(shí)部，從中可看出，當(dāng)系統(tǒng)的第一種穩(wěn)態(tài)解為不穩(wěn)定解時(shí)，第二種穩(wěn)態(tài)解將為穩(wěn)定的，即導(dǎo)彈隨著轉(zhuǎn)速的不同，將穩(wěn)定于第一種穩(wěn)態(tài)解或第二種穩(wěn)態(tài)解。圖6為利用數(shù)值解法得到的結(jié)果，當(dāng)轉(zhuǎn)速低于臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定于第一種穩(wěn)態(tài)解，K2值為零，最終攻角(側(cè)滑角)以轉(zhuǎn)速為角頻率做簡(jiǎn)諧振動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)速高于臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定于第二種穩(wěn)態(tài)解，K2值不為零，最終運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為二圓運(yùn)動(dòng)。

圖4 系統(tǒng)b的頻率響應(yīng)曲線Fig.4 Frequency response curves of system b

圖5 系統(tǒng)b的矩陣B特征值Fig.5 Eigenvalue of matrix B of system b

圖6 系統(tǒng)b攻角-側(cè)滑角變化曲線Fig.6 Pitch-yaw curves of system b

自旋導(dǎo)彈的非線性共振運(yùn)動(dòng)不僅存在多個(gè)穩(wěn)態(tài)解，而且當(dāng)這些穩(wěn)態(tài)解均不穩(wěn)定時(shí)，有可能出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)發(fā)散現(xiàn)象，這是線性系統(tǒng)所不存在的，線性系統(tǒng)受迫運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性只與自由運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性有關(guān)。

4 算例仿真

以某型自旋導(dǎo)彈為例進(jìn)行仿真分析，某特征點(diǎn)系統(tǒng)的仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameters

如果使用線性理論進(jìn)行分析，式(20)即為運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定的判別式。計(jì)算可知，此系統(tǒng)滿足線性穩(wěn)定條件，運(yùn)動(dòng)最終做穩(wěn)定的圓錐運(yùn)動(dòng)，如圖7所示。

考慮非線性項(xiàng)的影響，設(shè)此時(shí)有H2=-2、M2=20，然后分別針對(duì)2種穩(wěn)態(tài)值進(jìn)行計(jì)算。K2穩(wěn)態(tài)值為零時(shí)，系統(tǒng)存在1個(gè)奇點(diǎn)，即為K1=0.842，代入穩(wěn)定條件式(19)后，有p=-0.676<0，即第一種穩(wěn)態(tài)值不穩(wěn)定；K2穩(wěn)態(tài)值不為零時(shí)，系統(tǒng)仍只存在1個(gè)奇點(diǎn)，即K1=0.257，K2=0.950代入式(24)后，得到矩陣的3個(gè)特征值的實(shí)部分別為s1,2=-0.930，s3=0.197，第3個(gè)特征值的實(shí)部為正，表明第2種穩(wěn)態(tài)值也不穩(wěn)定。因此，該系統(tǒng)在非線性理論下為不穩(wěn)定的，其運(yùn)動(dòng)將逐漸發(fā)散，如圖8所示。

為使系統(tǒng)在非線性理論下是穩(wěn)定的，可采用前文分析的利于穩(wěn)定飛行的方法。例如，增加彈體的阻尼力矩，將阻尼力矩系數(shù)a22調(diào)整為-2；此時(shí)，在K2穩(wěn)態(tài)值為零時(shí)，奇點(diǎn)值為K1=0.316，代入穩(wěn)定條件式(19)后可知，此穩(wěn)態(tài)值為穩(wěn)定的。角運(yùn)動(dòng)最終穩(wěn)定于一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)，如圖9所示。從中可看出，攻角(側(cè)滑角)運(yùn)動(dòng)振幅為0.324，與理論計(jì)算結(jié)果相比誤差為2.5%，誤差的出現(xiàn)主要是因?yàn)楸疚牟捎玫姆椒榻扑惴?，得到的解為近似解析解?/p>

綜上所述，在氣動(dòng)參數(shù)的非線性項(xiàng)較大而不可忽略時(shí)，根據(jù)線性穩(wěn)定性理論得到的設(shè)計(jì)結(jié)果在轉(zhuǎn)速接近共振頻率時(shí)，并不能真實(shí)地反映動(dòng)穩(wěn)定性情況，需要滿足文中所給出的條件式(19)或式(25)。

圖7 線性理論下系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)Fig.7 Stable motion based on the linear theory

圖8 非線性理論下系統(tǒng)的不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)Fig.8 Unstable motion based on the nonlinear theory

圖9 增大阻尼后系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)Fig.9 Stable motion with large damping

5 結(jié)論

(1)當(dāng)彈體的滾轉(zhuǎn)頻率接近固有頻率時(shí)，角運(yùn)動(dòng)將會(huì)出現(xiàn)共振現(xiàn)象。如果氣動(dòng)非線性項(xiàng)可忽略，則采用線性穩(wěn)定理論進(jìn)行分析；此時(shí)，自由運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性與受迫運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性是等價(jià)的，即擾動(dòng)項(xiàng)不影響彈體的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性。而當(dāng)氣動(dòng)非線性項(xiàng)不可忽略時(shí)，周期擾動(dòng)將影響角運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)及穩(wěn)定條件，不僅使系統(tǒng)存在多個(gè)穩(wěn)態(tài)值，而且出現(xiàn)了頻率偏斜、振幅突變、頻率同化等現(xiàn)象，還有可能導(dǎo)致系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的發(fā)散。

(2)在導(dǎo)彈的設(shè)計(jì)過(guò)程中，應(yīng)極力避免導(dǎo)彈的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)速接近固有頻率。如果導(dǎo)彈飛行過(guò)程中的轉(zhuǎn)速降低、閉環(huán)系統(tǒng)帶寬變大或其他不確定因素，導(dǎo)致無(wú)法避免轉(zhuǎn)速與固有頻率相接近，則應(yīng)通過(guò)增加阻尼力矩、減小陀螺效應(yīng)及馬格努斯效應(yīng)、保證阻尼力矩非線性項(xiàng)為正等手段，以滿足本文給出的穩(wěn)定性判據(jù)，保證彈體運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定。

(3)要注意自旋導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可能出現(xiàn)的“轉(zhuǎn)速閉鎖”現(xiàn)象，此時(shí)彈體轉(zhuǎn)速長(zhǎng)時(shí)間維持在一個(gè)較低的值，如果此轉(zhuǎn)速接近固有頻率，可能造成導(dǎo)彈長(zhǎng)時(shí)間的共振運(yùn)動(dòng)，影響導(dǎo)彈的飛行性能，甚至造成運(yùn)動(dòng)發(fā)散。

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(編輯：呂耀輝)

Analysis of resonance stability for spinning missile

JIA Bao1,XUE Lin2,YAN Xiao-yong1

(1.Beijing Institute of Electronic System Engineering,Beijing 100854,China;2.The Second Academy of China Aerospace Science and Industry Corp.,Beijing 100854,China)

The configurational asymmetry can produce a periodic forced interference to the angular motion of missile when it rotates.On the premise of considering the periodic interference and the nonlinear aerodynamic characteristics of spinning missile,a nonlinear mathematic model of coning motion was established.By the method of multiple scales,an approximate analytic solution of nonlinear differential equation was obtained.On this basis,conditions for steady-state forced motion and their stability of spinning missile were researched.The result indicates that both of the nonlinear aerodynamic coefficients and the periodic interference affect the coning motion stability.The resonance instability can be avoided by appropriate selection of aerodynamic configuration.The research results provide theoretical support to design of the spinning missiles.

spinning missile;coning motion;nonlinear motion;resonance stability

2014-07-07；

：2014-08-25。

賈寶(1988—)，男，博士生，研究方向?yàn)轱w行器總體設(shè)計(jì)。E-mail：abao19881211@163.com

TJ760.1

A

1006-2793(2015)01-0023-07

10.7673/j.issn.1006-2793.2015.01.005