周海安，王曉明，宋鳳敏，梅玉林

（1山東理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山東淄博255049；2大連理工大學(xué)a.機(jī)械工程學(xué)院；b.汽車工程學(xué)院，遼寧大連116024；3山東水利職業(yè)學(xué)院，山東日照276826）

諧振面力作用下的無(wú)窮大雙周期加筋板的振動(dòng)響應(yīng)分析

周海安1，王曉明2a，宋鳳敏3，梅玉林2b

（1山東理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山東淄博255049；2大連理工大學(xué)a.機(jī)械工程學(xué)院；b.汽車工程學(xué)院，遼寧大連116024；3山東水利職業(yè)學(xué)院，山東日照276826）

文章主要研究了流體負(fù)載下的無(wú)窮大雙周期加筋薄板，在周期諧振力作用下的振動(dòng)響應(yīng)。假設(shè)薄板和加強(qiáng)筋只存在法向力的作用，通過(guò)薄板和加強(qiáng)筋的位移連續(xù)條件，以及格林函數(shù)及傅立葉變換公式的應(yīng)用，建立了頻域內(nèi)雙周期加筋薄板的振動(dòng)位移方程。利用空間波數(shù)法，將加筋薄板的振動(dòng)位移表達(dá)為波數(shù)分量的迭加形式。通過(guò)數(shù)值計(jì)算的方法對(duì)波數(shù)分量進(jìn)行求解，最后通過(guò)方程的傅立葉逆變換，得到了加筋薄板的振動(dòng)方程。數(shù)值計(jì)算的結(jié)果表明文中的計(jì)算方法收斂速度快。

振動(dòng)響應(yīng)；加筋板；格林函數(shù)；空間波數(shù)法

0 引言

加筋板是許多工程結(jié)構(gòu)的組成部分，在工程界得到了廣泛的應(yīng)用，尤其在機(jī)械，船舶和航天領(lǐng)域，加筋板的應(yīng)用更為常見(jiàn)。到目前為止，許多學(xué)者對(duì)加筋板的振動(dòng)特性進(jìn)行過(guò)研究，并且提出了許多不同的求解方法[1-8]。然而大部分的科研工作主要集中在有限尺寸或單周期無(wú)窮大加筋板的振動(dòng)研究上，而對(duì)于水下無(wú)窮大雙周期加筋薄板振動(dòng)響應(yīng)的研究則要少得多。本文的主要目的是尋求一種合適的數(shù)學(xué)方法以便對(duì)雙周期加筋薄板結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)分析。但是由于加筋薄板的周期性以及流固耦合問(wèn)題的復(fù)雜性，幾種重要的數(shù)學(xué)方法如Rayleigh-Ritz能量法﹑有限差分法﹑傳遞矩陣法﹑模態(tài)法等并不能很好地解決無(wú)窮大周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題。由Mead和Pujara[9]提出的空間波數(shù)法在處理流固耦合的周期結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題上體現(xiàn)出了明顯的優(yōu)勢(shì)：Mace[1]在空間波數(shù)法的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出流體作用下雙周期加筋薄板的振動(dòng)和輻射聲壓方程，并且分析了點(diǎn)力作用下的水中遠(yuǎn)場(chǎng)輻射聲壓。Lee和Kim[10]等亦通過(guò)空間波數(shù)法對(duì)單周期加筋薄板的振動(dòng)響應(yīng)及聲透射系數(shù)進(jìn)行了理論分析與計(jì)算。此外，傅里葉變換的方法也是研究結(jié)構(gòu)振動(dòng)和聲輻射的一種有力工具。吳文偉等[11]曾經(jīng)采用傅里葉變換的方法對(duì)單周期加筋薄板的聲輻射進(jìn)行過(guò)研究。

本文對(duì)水下無(wú)窮大雙周期加筋薄板的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了分析，并且根據(jù)格林函數(shù)與空間波數(shù)法以及傅里葉變換法，建立了加筋薄板的振動(dòng)方程，并最終通過(guò)數(shù)值計(jì)算的方法得到了方程的解。在計(jì)算結(jié)果中，本文重點(diǎn)分析了加強(qiáng)筋橫截面尺寸以及周期間距等幾個(gè)主要物理參數(shù)對(duì)薄板振動(dòng)響應(yīng)帶來(lái)的影響。

1 加筋薄板的振動(dòng)方程

1.1 數(shù)學(xué)模型

無(wú)窮大雙周期加筋薄板的上表面空間充滿水流體，薄板的下表面空間是空氣。在x軸方向的加強(qiáng)筋沿x=mLx周期排列，在y軸方向的加強(qiáng)筋沿y=nLy（m，n=0，±1，…，±∞）周期排列，周期加筋薄板的局部結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 雙周期加筋薄板Fig.1 Diagram of the two-dimensional beam-stiffened plate

雙周期加筋薄板受到隨時(shí)間t周期變化的諧振面力f（x，y）exp（jωt）的作用，其方程表達(dá)式是[1]

pe是諧振力的幅值，ω是圓頻率，k0是諧振力波數(shù)，θ是諧振力與z軸方向的夾角，φ是諧振力在水平面上的分量與x軸方向的夾角。

對(duì)雙周期加筋薄板進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)分析，假設(shè)加筋薄板的振動(dòng)位移是w（x，y）exp（jωt），加強(qiáng)筋與板的相互作用力僅考慮法向力的作用，則周期加筋板的振動(dòng)方程是（為了公式的簡(jiǎn)潔，在以下所有方程中都將省略時(shí)間因子exp（jωt））

式中：G（x-ξ，y-η）是格林函數(shù)，其物理含義是：薄板由于受到作用在（ξ，η）點(diǎn)的單位激勵(lì)力而在（x，y）位置處的振動(dòng)位移。F1（ξ，η）δ（ξ-mLx）和F2（ξ，η）δ（η-nLy）是加強(qiáng)筋沿直線ξ=mLx和η=nLy作用于薄板的法向力。這里假設(shè)兩組加強(qiáng)筋是完全相同的，利用薄板和加強(qiáng)筋的位移連續(xù)條件可以得到

式中：E1，I，ρb，Sb分別是加強(qiáng)筋的楊氏模量，慣性矩，質(zhì)量密度和橫截面面積。

1.2 振動(dòng)方程的傅里葉變換

要求解方程（3），需要對(duì)方程進(jìn)行傅里葉變換。對(duì)任意滿足要求的函數(shù)g（x，y），其傅里葉變換是

傅里葉逆變換是

對(duì)于滿足傅里葉積分定理的任意函數(shù)g1（x，y）和g2（x，y），根據(jù)函數(shù)卷積的傅里葉變換等于函數(shù)的傅里葉變換的乘積的性質(zhì)可知

將（4）式代入（3）式中，對(duì)（3）式進(jìn)行傅里葉變換，并根據(jù)（7）式的積分性質(zhì)可得

式中：w*（α，nLy），w*（mLx，β）分別是w（x，nLy），w（mLx，y）關(guān)于x軸和y軸的單重傅里葉變換，并且

流體負(fù)載下薄板的格林函數(shù)滿足方程

式中：c是水流體中的聲速。

薄板和水流體接觸面的位移邊界條件是

對(duì)（12）式和（13）式進(jìn)行傅里葉變換，求解得到

對(duì)（11）式進(jìn)行傅里葉變換，結(jié)合（14）式可以得到頻域內(nèi)流固耦合的薄板阻抗

2 振動(dòng)方程的求解

按照空間波數(shù)法理論[9]可知，二維周期加筋薄板的振動(dòng)位移可以表達(dá)為如下形式[1]

式中：Wmn是（m，n）th諧振分量振幅，且kx，mx=kx+2mπ/Lx，ky，n=ky+2nπ/Ly。

由（16）式可以得到振動(dòng)位移的周期條件

根據(jù)（17）式加筋薄板的周期條件，可知

將（18）式代入（8）式中，可得

雙周期加筋薄板在原點(diǎn)處的振動(dòng)位移分別可以表達(dá)為

根據(jù)（16）式和（20）式可知，加筋薄板沿x=0和y=0直線上的振動(dòng)位移分別是

對(duì)（21a）式和（21b）式分別進(jìn)行關(guān)于y軸和x軸的單重傅立葉變換，得到：

由泊松迭加公式可知

同理可得

將（9）、（22a）、（22b）式和（23a）、（23b）式代入（19）式中，可以得到頻域內(nèi)加筋薄板關(guān)于未知量Vn和Nm的振動(dòng)方程

對(duì)（24）式進(jìn)行關(guān)于α的單重傅立葉逆變換，并且令變量x=0以及β=ky，n，根據(jù)（22a）式得到方程[1]

同理，對(duì)（24）式進(jìn)行關(guān)于β的單重傅立葉逆變換，并令變量y=0以及α=kx，m，根據(jù)（22b）式得到方程?

對(duì)（24）式進(jìn)行傅立葉逆變換，最終得到時(shí)域內(nèi)加筋薄板的振動(dòng)方程

本文提出了無(wú)窮大雙周期加筋板振動(dòng)響應(yīng)的格林函數(shù)法，通過(guò)比較可以發(fā)現(xiàn)，雖然本文與文獻(xiàn)[1]采用的方法不同，但是本文最終求解的振動(dòng)位移表達(dá)式（方程（28））和文獻(xiàn)[1]中的表達(dá)式（方程（34））和實(shí)際物理含義是相同的，從而證明了本文方法的正確性。相對(duì)于文獻(xiàn)[1]本文方法的優(yōu)點(diǎn)在于：格林函數(shù)的方法不僅可以用來(lái)計(jì)算諧振面力的作用，而且可以計(jì)算包括點(diǎn)力激勵(lì)在內(nèi)的任何作用力形式；通過(guò)格林函數(shù)的應(yīng)用，得到了頻域內(nèi)流固耦合的薄板阻抗，揭示了加強(qiáng)筋作用力與薄板振動(dòng)位移的周期關(guān)系（（8）式）；本文中將加強(qiáng)筋的作用力表達(dá)為薄板振動(dòng)位移的分量形式，其求解方法也與文獻(xiàn)[1]不同。

3 計(jì)算分析

下面將利用推導(dǎo)的公式來(lái)計(jì)算薄板和加筋薄板的振動(dòng)，并且分析加強(qiáng)筋對(duì)薄板振動(dòng)的影響。計(jì)算中用到的部分物理參數(shù)如下：E=E1=2.01×1011×（1+0.02j），v=0.2，h=0.005，ρ=ρb=7 850，ρ0=1 000，c=1 500，pe=1 000，θ=φ=π/4，k0=ω/c。加強(qiáng)筋的橫截面面積是Sb=0.005×0.05，短邊與薄板相接。所有的單位均采用國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)單位。本文在下面的算例分析中，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)當(dāng)Q=10時(shí)，已經(jīng)得到滿足收斂性要求的計(jì)算精度。

圖2是薄板在頻率為2 000 Hz諧振力作用下，角度分別為φ=π/4和φ=π/6，在-1≤x，y≤1且時(shí)間t=0的振動(dòng)響應(yīng)。

圖2 薄板的振動(dòng)響應(yīng)Fig.2 The vibration responses of the unstiffened plate

薄板的振動(dòng)特性主要取決于它的振動(dòng)相位角和幅值大小。薄板的振動(dòng)相位角變化方向由φ決定。從圖中可以看出，當(dāng)φ=π/4時(shí)，振動(dòng)相位沿與x軸成45°的直線方向變化；如果改變?chǔ)盏拇笮?，如圖所示，振動(dòng)相位角變化方向?qū)?huì)隨之改變。與φ不同，θ并不改變相位角變化方向，但是可以改變薄板的振動(dòng)幅值大小。

圖3是不同周期間距的加筋薄板在頻率為2 000 Hz諧振力作用下，在-1≤x，y≤1且時(shí)間t=0的振動(dòng)響應(yīng)。

圖3 加筋薄板的振動(dòng)響應(yīng)Fig.3 The vibration responses of the beam-stiffened plate

對(duì)比圖2和圖3可以發(fā)現(xiàn)，相對(duì)于薄板結(jié)構(gòu)，雙周期加筋薄板的振動(dòng)具有二維周期性質(zhì)，而且加筋薄板的振幅變化比較明顯。從圖3（a）中可以看出，加筋薄板的振動(dòng)沿x軸和y軸方向上是完全一致的，這是由于沿兩個(gè)軸方向的周期間距相等而且壓力角φ=π/4。如果改變兩軸的周期間距或壓力角φ，如圖3（b）所示，加筋薄板沿x軸和y軸方向的振動(dòng)將不再具有對(duì)稱性。

圖4給出了薄板和不同周期間距加筋薄板在諧振力頻率為50～2 500 Hz范圍內(nèi)分別在（0，0）點(diǎn)和（0.4，0.4）點(diǎn)處的振幅。周期間距分別是Lx=Ly=0.2和Lx=Ly=0.4。

從圖4中可以發(fā)現(xiàn)，薄板在（0，0）點(diǎn)的振幅幾乎為0，且隨頻率的增加不發(fā)生改變，表明在薄板中傳播的振動(dòng)彎曲波在通過(guò)原點(diǎn)位置時(shí)受到阻抑作用；在（0.4，0.4）點(diǎn)薄板的振幅隨頻率的增加而變化，振動(dòng)波的傳播可以順利通過(guò)。加強(qiáng)筋對(duì)薄板振動(dòng)的影響在100～1 300 Hz赫茲范圍內(nèi)作用明顯，相對(duì)于薄板，加筋薄板的振幅振蕩較大。隨著頻率的進(jìn)一步增加，從整體分析，加強(qiáng)筋的作用減弱，加筋薄板振幅的振蕩峰值減小，振幅的變化隨頻率的增加趨于平緩。當(dāng)周期間距增大后，加筋薄板在更多的頻率位置出現(xiàn)共振現(xiàn)象，表明適當(dāng)增大周期間距可以增強(qiáng)加筋薄板的振蕩效果，從而在較多的頻率范圍內(nèi)影響薄板的振動(dòng)。而且由于加強(qiáng)筋周期間距的增大，使得加筋薄板的共振頻率向低頻范圍偏移，因此可以通過(guò)調(diào)節(jié)周期間距的方法改變加筋薄板的共振頻率。

圖4 在不同位置點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)Fig.4 The vibration responses at different points

圖5 不同加強(qiáng)筋對(duì)振幅的影響Fig.5 The influence of different beam-stiffeners on the vibration amplitudes of the stiffened plate

為了分析不同尺寸的加強(qiáng)筋對(duì)薄板的影響，圖5給出了加強(qiáng)筋橫截面面積分別為0.01×0.1和0.01× 0.15的周期加筋薄板在（0.4，0.4）點(diǎn)隨頻率變化的振幅曲線。

對(duì)比圖5（a）和5（b）發(fā)現(xiàn)，增加加強(qiáng)筋的橫截面高度對(duì)加筋薄板在200 Hz頻率處的振幅影響比較明顯，但對(duì)其它頻率振幅的影響相對(duì)較小，而且振幅曲線在400 Hz之后隨頻率的增加其變化趨勢(shì)是相似的。當(dāng)同時(shí)改變加強(qiáng)筋橫截面的寬度和高度尺寸后，通過(guò)對(duì)比圖4（b）和5（a）可以發(fā)現(xiàn)，周期間距為L(zhǎng)x=Ly=0.4的加筋薄板的振幅曲線發(fā)生變化。從總體上分析，加強(qiáng)筋橫截面尺寸的變化對(duì)1 000 Hz以內(nèi)振動(dòng)響應(yīng)的作用較為顯著，而對(duì)較高頻率振動(dòng)響應(yīng)的影響較弱。

4 結(jié)論

根據(jù)格林函數(shù)和空間波數(shù)法以及傅立葉變換的應(yīng)用，本文提出了一種求解受諧振力作用的流體加載下的無(wú)窮大雙周期加筋薄板振動(dòng)方程的方法。通過(guò)將加筋薄板的振動(dòng)位移展開(kāi)為波數(shù)分量迭加的形式，并采用數(shù)值計(jì)算的方法求解分量的值，從而得到了加筋薄板的振動(dòng)方程表達(dá)式。在計(jì)算結(jié)果中，本文詳細(xì)分析了加強(qiáng)筋對(duì)薄板振動(dòng)響應(yīng)的作用，結(jié)果表明周期加強(qiáng)筋對(duì)薄板的低頻振動(dòng)影響較大。

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Investigation of the vibration response of an infinite two-dimensional rib-stiffened plate under a harmonic plane pressure

ZHOU Hai-an1,WANG Xiao-ming2a,SONG Feng-min3,MEI Yu-lin2b
(1.School of Mechanical Engineering,Shandong University of Technology,Zibo 255049,China;2a.School of Mechanical Engineering;b.School of Automotive Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China;3.Shandong Water Polytechnic,Rizhao 276826,China)

The vibration response of an infinite fluid-loaded plate,reinforced with two sets of orthogonal rib stiffeners,is investigated.The stiffeners are assumed to exert only forces on the plate.With the displacement continuity condition of the plate and the stiffeners,the vibration response of the rib-stiffened plate to a harmonic pressure in the wavenumber space is established by using the Green function and Fourier transforms.Applying the space harmonic method,the vibration displacement of the stiffened plate is then expressed as infinite sets of space harmonic amplitudes.After having a numerical solution for these amplitudes,the Fourier inverse transform is employed to find an expression for the vibration response of the stiffened plate in the physical space.Numerical results show that this method converges rapidly.

vibration response;rib-stiffened plate;Green function;space harmonic method

U661.4

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2015.11.008

1007-7294（2015）11-1352-08

2015-07-15

國(guó)家自然科學(xué)基金資助（51405276，50875030）

周海安（1981-)，男，博士，講師，通訊作者，E-mail：zhouhaian1981@163.com；

王曉明（1965-），男，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail：xiaoming@dlut.edu.cn；

宋鳳敏（1978-），女，講師，E-mail：stj08@163.com；

梅玉林（1969-），女，副教授，E-mail：meiyulin@dlut.edu.cn。