劉淵博，李明，何琳

（1西安科技大學(xué)理學(xué)院力學(xué)系，西安710054；2海軍工程大學(xué)振動(dòng)與噪聲研究所，武漢430033）

船用氣囊隔振系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性

劉淵博1，李明1，何琳2

（1西安科技大學(xué)理學(xué)院力學(xué)系，西安710054；2海軍工程大學(xué)振動(dòng)與噪聲研究所，武漢430033）

氣囊隔振系統(tǒng)通常被廣泛應(yīng)用于對(duì)艦船或潛艇上的大型旋轉(zhuǎn)機(jī)械實(shí)施隔振控制。然而，船舶在航行時(shí)，隔振系統(tǒng)有時(shí)會(huì)產(chǎn)生過(guò)大的位移，會(huì)呈現(xiàn)出一些非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。文中以帶間隙的線性彈簧限位器的隔振系統(tǒng)為研究對(duì)象，考慮了垂直和偏轉(zhuǎn)兩個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)，基于分析力學(xué)的相關(guān)理論建立了具有旋轉(zhuǎn)偏心質(zhì)量的氣囊隔振系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，并且采用數(shù)值方法重點(diǎn)分析了該系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為以及參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。結(jié)果顯示在低轉(zhuǎn)速時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)特性；隨著轉(zhuǎn)速的增大，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)中出現(xiàn)混沌、周期3、5、7及準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)等一系列的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。

氣囊隔振器；限位器；分段線性；非線性動(dòng)力學(xué)

0 引言

艦船在航行時(shí)，船上設(shè)備工作而產(chǎn)生的機(jī)械振動(dòng)是噪聲的主要來(lái)源之一。對(duì)于軍用艦艇，動(dòng)力系統(tǒng)的機(jī)械振動(dòng)噪聲嚴(yán)重影響其隱蔽性，因此研究船舶機(jī)械系統(tǒng)的減振降噪對(duì)艦艇的安全性具有重要意義[1-2]。

船舶的機(jī)械系統(tǒng)的隔振技術(shù)經(jīng)過(guò)了多次技術(shù)跨越，其隔振效果不斷提升[3-4]。目前常用隔振系統(tǒng)主要有單層、雙層及浮筏隔振系統(tǒng)等。單層隔振裝置其主要用于隔振要求不高的艦船設(shè)備，以及有嚴(yán)格對(duì)中要求的推進(jìn)動(dòng)力系統(tǒng)[5]。雙層隔振是在設(shè)備和基座之間安裝兩層隔振器，并在兩層隔振器之間插入中間質(zhì)量塊，利用中間質(zhì)量衰減隔振器傳遞來(lái)的振動(dòng)，從而提高隔振效果[6-7]。浮筏隔振系統(tǒng)是在單層和雙層隔振系統(tǒng)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種新型隔振裝置，能夠更好地抑制振動(dòng)能量在系統(tǒng)中的傳遞[8]。

一般而言，氣囊隔振系統(tǒng)是一種具有非線性振動(dòng)特性的隔振裝置[9]，可以將其力學(xué)特性按照實(shí)際需要進(jìn)行理想設(shè)計(jì)，以滿足現(xiàn)實(shí)減振需求[10]。而含限位器的氣囊隔振裝置由于具有分段彈性特征，因此涉及到非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)建模，多剛體動(dòng)力學(xué)計(jì)算仿真和優(yōu)化等多學(xué)科大型分析計(jì)算問(wèn)題[11]。文獻(xiàn)[12]對(duì)具有主動(dòng)隔裝置的浮筏系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，采用了一種新型手段分析了系統(tǒng)的隔振特性；文獻(xiàn)[11-13]則采用偽力法討論了帶有限位器的浮筏隔振系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)，分析了限位器參數(shù)對(duì)沖擊響應(yīng)的影響；文獻(xiàn)[14]建立了多自由度彈性限位浮筏隔振系統(tǒng)的線性動(dòng)力學(xué)模型，并通過(guò)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法用于判別限位器之間存在最優(yōu)間隙；而文獻(xiàn)[15]則基于有限元方法研究了囊式空氣彈簧隔振器的隔振特性，并對(duì)艦用氣囊隔振器隔振特性進(jìn)行了評(píng)估；文獻(xiàn)[16]通過(guò)考慮到筏體的剛體運(yùn)動(dòng)和彈性變形的耦合，討論了彈性浮筏隔振系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模并分析了其動(dòng)力學(xué)特性。

以上研究主要針對(duì)浮筏隔振系統(tǒng)的線性問(wèn)題開(kāi)展研究工作，主要討論了系統(tǒng)的減振特性、沖擊響應(yīng)、結(jié)構(gòu)優(yōu)化等。本文重點(diǎn)研究含有限位器的船用隔振系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，分析了該系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性和參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。

1 氣囊隔振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

圖1所示為支承在氣囊上的旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)示意圖，其中的浮筏和機(jī)械設(shè)備看作是一個(gè)質(zhì)量單元，氣囊隔振系統(tǒng)的限位器安裝在基礎(chǔ)部位。旋轉(zhuǎn)部件的質(zhì)量偏心所產(chǎn)生的離心力為該系統(tǒng)的主要激振力，設(shè)氣囊的總質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)子的偏心質(zhì)量為me，偏心距為e，轉(zhuǎn)子的角速度為ω。

圖1 氣囊隔振系統(tǒng)模型Fig.1 The model of air-bag vibration isolation system

圖2 分段線性彈性力Fig.2 Piecewise linear elastic force

對(duì)上述系統(tǒng)本文主要考慮系統(tǒng)隨質(zhì)心平動(dòng)位移xO和繞質(zhì)心的θ方向的運(yùn)動(dòng)，因此可以簡(jiǎn)化為兩自由度系統(tǒng)。如果隔振器和限位器的彈性力為線性時(shí)，則系統(tǒng)的彈性恢復(fù)力具有分段線性特性，如圖2所示。

2 氣囊隔振系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

以氣囊未變形位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，則可知偏心質(zhì)量的垂直方向上的位移為xO+esin（ωt+θ），水平方向上的位移為e-ecos（ωt+θ）。

設(shè)坐標(biāo)xA，xB，分別為氣囊的變形，如圖3所示，則坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為

圖3 變形后的氣囊隔振系統(tǒng)Fig.3 Isolation system of deformed air-bag

設(shè)氣囊隔振系統(tǒng)所受的是線性阻尼，并只考慮到系統(tǒng)垂直振動(dòng)方向的阻尼，則線性阻尼力，因此，系統(tǒng)的Rayleigh耗散函數(shù)可表示為

此時(shí)，具有Rayleigh耗散函數(shù)的Lagrange方程為

則采用Rayleigh耗散函數(shù)獲得Lagrange振動(dòng)微分方程為

式中明顯具有非線性特性，其中包含了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和運(yùn)動(dòng)參數(shù)。其中δA和δB函數(shù)分別表示氣囊受到較大沖擊力時(shí)，限位器所產(chǎn)生的變形，

3 無(wú)量綱化方程

為使所研究的內(nèi)容具有更廣泛的適用性，引入限位器間隙δ作為振動(dòng)微分方程的特征長(zhǎng)度，以δ、m和JO作為基本量綱，并為了簡(jiǎn)化模型、方便計(jì)算暫不考慮限位器的影響，而對(duì)方程中各物理量進(jìn)行無(wú)量綱化，為此引出如表1中所示的無(wú)量綱量。

表1 系統(tǒng)各物理量的量綱化處理Tab.1 Dimensionless processing of the system physical parameters

通過(guò)無(wú)量綱化后，得到振動(dòng)微分方程為

振動(dòng)微分方程式變形后為

由此可以寫(xiě)成一階的狀態(tài)方程式，在此從略。

4 系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性

表2 系統(tǒng)各參數(shù)的取值Tab.2 Values of the system parameters

4.1 轉(zhuǎn)速對(duì)氣囊隔振系統(tǒng)的影響

式中具有sin（θ+τ）與cos（θ+τ）項(xiàng)，是典型的非線性函數(shù)，為此獲得方程的解析解及近似解顯得十分困難，本文采用數(shù)值方法進(jìn)行求解。四階-五階Runge-Kutta算法通過(guò)4階方法提供候選解，5階方法控制誤差，是一種自適應(yīng)步長(zhǎng)（變步長(zhǎng)）的常微分方程數(shù)值解法，其整體截?cái)嗾`差為（Δx）5。

圖4為采用45階變步長(zhǎng)Runge-Kutta法進(jìn)行數(shù)值求解所得的位移隨無(wú)量綱轉(zhuǎn)速的分岔圖，其中的無(wú)量綱位移O為經(jīng)過(guò)充分衰減后得到的氣囊隔振系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。從圖中可以看出，在低轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)做準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。隨著轉(zhuǎn)速的增大，系統(tǒng)進(jìn)入短暫的周期狀態(tài)，并做周期3的運(yùn)動(dòng)。繼續(xù)增大轉(zhuǎn)速，系統(tǒng)則由周期3的狀態(tài)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。進(jìn)一步增大轉(zhuǎn)速，周期—準(zhǔn)周期—周期—準(zhǔn)周期—…，其中出現(xiàn)的周期態(tài)有周期7，周期8，周期5等。

圖4 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)轉(zhuǎn)速變化分岔圖Fig.4 The bifurcation diagram of steady-state response with the parameter Ω=2.11→4.23

圖5 Ω=2.224 9的準(zhǔn)周期狀態(tài)：（a）位移響應(yīng)；（b)）相位圖；（c）Poincaré截面Fig.5 The quasi periodic state when Ω=2.224 9:(a)Displacement response;(b)The phase orbits of vertical direction; (c)Poincaré section

圖5為Ω=2.224 9時(shí)的位移響應(yīng)、相位圖和Poincaré截面圖，從圖中可以明顯看出Poincaré截面圖為一封閉曲線，可判斷運(yùn)動(dòng)時(shí)準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。圖6是Ω=2.603 3時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可以觀察到截面圖上出現(xiàn)成片密集點(diǎn)，且具有層次結(jié)構(gòu)，可判定運(yùn)動(dòng)處于混沌狀態(tài)。圖7為Ω=2.784 5時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況，從中可見(jiàn)Poincaré截面中僅出現(xiàn)離散的三個(gè)孤立點(diǎn)，即周期3的運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)將處于周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖6 Ω=2.603 3的準(zhǔn)周期狀態(tài)：（a）位移響應(yīng)；（b)）相位圖；（c）Poincaré截面Fig.6 The quasi periodic state when Ω=2.603 3:(a)Displacement response;(b)The phase orbits of vertical direction; (c)Poincaré section

圖7 Ω=2.784 5的準(zhǔn)周期狀態(tài)：（a）位移響應(yīng)；（b)）相位圖；（c）Poincaré截面Fig.7 The quasi periodic state when Ω=2.784 5:(a)Displacement response;(b)The phase orbits of vertical direction; (c)Poincaré section

4.2 質(zhì)量比對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響

上面考慮了無(wú)量綱轉(zhuǎn)速變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)的影響，下面主要討論偏心質(zhì)量比對(duì)氣囊隔振系統(tǒng)的影響。選取系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速ω=1 500 r/min，考慮系統(tǒng)偏心質(zhì)量變化范圍為2 000-8 000 kg的變化。圖8為Ω=3.173 4時(shí)，氣囊隔振系統(tǒng)隨質(zhì)量比變化的分岔圖。從圖中可以看出當(dāng)偏心量較小時(shí)系統(tǒng)處于準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，隨著偏心轉(zhuǎn)速的增大，系統(tǒng)相繼呈現(xiàn)出各種倍周期和準(zhǔn)周期的非線性運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)偏心質(zhì)量比較大時(shí)，系統(tǒng)將出現(xiàn)周期2的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)。與此同時(shí)，系統(tǒng)在該轉(zhuǎn)速下的振幅也隨著偏心質(zhì)量比的增加而增加。

圖8 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨質(zhì)量比變化的分岔圖：（a）M=0.007 142→0.010 0；（b）M=0.010 0→0.028 571Fig.8 The bifurcation diagram of steady-state response with the mass ratio change: (a)M=0.007 142→0.010 0;(b)M=0.010 0→0.028 571

5 結(jié)論

船舶在航行中由于受到多種復(fù)雜動(dòng)載荷的作用，因此研究含限位器的氣囊隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為具有重要的理論意義和工程實(shí)用價(jià)值。本文通過(guò)采用帶間隙的線性彈簧來(lái)模擬氣囊的變形，考慮了質(zhì)量系統(tǒng)垂直和偏轉(zhuǎn)兩個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)，基于分析力學(xué)中Lagrange方程，建立了具有限位器的大變形氣囊隔振系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型。采用45階變步長(zhǎng)Runge-Kutta法對(duì)非線性運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行數(shù)值求解，分析了氣囊隔振系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速和質(zhì)量比變化時(shí)的非線性動(dòng)力學(xué)特性。結(jié)果表明：在低轉(zhuǎn)速變化情況下，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)為主；在中等速情況下，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)混沌態(tài)，且混沌情形保持在較寬的轉(zhuǎn)速變化范圍之內(nèi)；在較高轉(zhuǎn)速時(shí)，系統(tǒng)重復(fù)顯現(xiàn)周期—準(zhǔn)周期—周期—準(zhǔn)周期—…的運(yùn)動(dòng)態(tài)，出現(xiàn)周期5，周期7，周期8等動(dòng)力學(xué)特征。

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Nonlinear dynamics of the marine air-bag vibration isolation system

LIU Yuan-bo1,LI Ming2,HE Lin2
(1.Department of Mechanics,Xi’an University of Science and Technology,Xi’an 710054,China;2.Institute of Noise& Vibration,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China)

The air-bag vibration isolation system is widely used for suppressing the vibration of rotating machinery of a surface ship or submarine.However,when the ship is moving,this system may produce a large displacement and a nonlinear motion.In this paper,the motions of the air-bag vibration isolation system with a clearance are considered in the vertical and angular directions,and its mathematic model is developed based on the theory of analytical mechanics.Then its nonlinear dynamical behaviors are analyzed mainly by the numerical method,as well as the attention is paid to parametric effects of dynamic characteristics.The results show that there exists a quasi periodic motion at low speeds,and with increasing the rotating speed,the responses present a series of nonlinear phenomena such as periods 3,5,7,quasi periodic motion and the chaotic oscillations,etc.

air-bag vibration isolation;elastic constrain;piecewise linear;nonlinear dynamics

O322

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2015.11.012

1007-7294（2015）11-1385-08

2015-02-28

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11372245）；陜西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2014JM1015）

劉淵博（1989-）男，博士研究生，E-mail：liuyuanb0@163.com；

李明（1963-）男，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail：Limingnuaa@hotmail.com。