仵 杰，曹 婷

(西安石油大學(xué) 光電油氣測井與檢測教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710065)

三層媒質(zhì)中的鏡像法及其在普通電阻率測井中的應(yīng)用

仵 杰，曹 婷

(西安石油大學(xué) 光電油氣測井與檢測教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710065)

將二層媒質(zhì)中的鏡像原理推廣到三層媒質(zhì)，建立點(diǎn)電流源位于任意位置時三層媒質(zhì)中的電位計算解析公式，應(yīng)用于計算三電極梯度電極系在三層地層中的測井響應(yīng)。歸納總結(jié)測井響應(yīng)特征與三電極在地層中的位置關(guān)系。電位與三層媒質(zhì)鏡像源的關(guān)系揭示了測井響應(yīng)機(jī)理。利用COMSOL有限元軟件數(shù)值計算驗(yàn)證了三層媒質(zhì)鏡像原理計算三電極梯度電極系測井響應(yīng)的有效性。三層媒質(zhì)鏡像原理可用于獲取各種電極系測井在三層導(dǎo)電媒質(zhì)中的響應(yīng)計算解析式，為電極系參數(shù)設(shè)計和響應(yīng)特征分析提供理論依據(jù)。

鏡像法；三層導(dǎo)電媒質(zhì)；梯度電極系；視電阻率

恒定電流場中的點(diǎn)電流源在層狀導(dǎo)電媒質(zhì)中所產(chǎn)生的電位或電場是電法勘探和測井理論研究中的重要內(nèi)容[1-5]。對于無限大均勻電各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)，點(diǎn)電流源產(chǎn)生的場的解析解與點(diǎn)電荷類似[6]。對于無限大二層導(dǎo)電媒質(zhì)，可用鏡像原理導(dǎo)出點(diǎn)電流源的解析解。對于三層或三層以上的導(dǎo)電媒質(zhì)，通常使用模式匹配法和積分方程法獲得近似解析解[5]。這些方法通常都含有復(fù)雜的積分，直接求解會遇到很大困難，有時只能進(jìn)行近似計算。對于三層媒質(zhì)，部分學(xué)者推廣利用二層媒質(zhì)中的鏡像原理建立三層媒質(zhì)的鏡像原理。文獻(xiàn)[7]利用鏡像法求解了空氣-海水-海床三層模型中位于海水中的任意方向靜態(tài)點(diǎn)電偶極子在同層中產(chǎn)生的電位與電場分布。文獻(xiàn)[8]在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上，提出采用二次等效的方法，求解三層媒質(zhì)中源位于中間層而場位于其他層媒質(zhì)時的電場分布。但對源位于其他層時的場分布問題，只給出了推導(dǎo)思路，并未給出完整的表達(dá)式。在石油普通電阻率測井中，三層媒質(zhì)是儀器設(shè)計和測井響應(yīng)特征研究的基礎(chǔ)。本文將利用鏡像原理研究三層導(dǎo)電地層模型中點(diǎn)電流源在任意層中產(chǎn)生的電位和電場，并用于計算分析梯度電極系在三層地層中的響應(yīng)特征。

1 三層導(dǎo)電媒質(zhì)中鏡像法的應(yīng)用

圖1為梯度電極系在三層地層中的示意圖。電極系由電源電極A和測量電極M、N組成，電極A、M之間的距離大于電極M、N之間距離，電極A到電極M和電極N的中點(diǎn)的距離定義為梯度電極系的電極距，記為L。梯度電極系沿z軸放置，3個電極可以在三層地層中的任意一層。三層模型是構(gòu)成復(fù)雜層狀地層的基本模型。計算電極系在不同位置的測井響應(yīng)是儀器電極系設(shè)計和測井響應(yīng)特征分析的基礎(chǔ)。

圖1 梯度電極系與3層地層示意圖

假設(shè)電源電極A的電流強(qiáng)度為I，在無限大均勻電各向同性地層中，可推出梯度電極系的視電阻率計算公式[9]

(1)

(2)

式(2)表明，對于給定電極系，K值是固定不變的。

下面研究三層導(dǎo)電媒質(zhì)中的鏡像法，多層導(dǎo)電媒質(zhì)可做類似處理。

圖1所示的三層地層可視為2個分界面z=0和z=D的疊加。發(fā)射電極A(x0,y0,z0)處的點(diǎn)電流源I在導(dǎo)電媒質(zhì)中形成恒定電流場，在z=0和z=D兩個分界面上滿足邊界條件：電流法向連續(xù)，電場切向連續(xù)。

當(dāng)同時考慮2個分界面時，根據(jù)鏡像原理通過多次鏡像建立不同區(qū)域的電位[7]。點(diǎn)電流源I通過界面z=0(z=D)產(chǎn)生第一次鏡像，第一次產(chǎn)生的鏡像源又通過z=D(z=0)產(chǎn)生第二次鏡像，第二次產(chǎn)生的鏡像源又通過z=0和(z=D)產(chǎn)生第三次鏡像，依次類推。下面詳細(xì)研究怎樣用鏡像法求解三層導(dǎo)電媒質(zhì)中點(diǎn)電流源在任意場點(diǎn)(x,y,z)處的電位表達(dá)式，根據(jù)源在地層中的位置分3種情形。

(1)點(diǎn)源位于中間層。文獻(xiàn)[7]已推出，當(dāng)上層媒質(zhì)為絕緣媒質(zhì)σ1=0，點(diǎn)源位于中間層時，同層的場點(diǎn)處產(chǎn)生的場可以用無窮多個鏡像源在無限大的中間媒質(zhì)產(chǎn)生的場的疊加來代替。文獻(xiàn)[8]同樣設(shè)點(diǎn)源位于中間層，先經(jīng)過一次等效求出場源同層時的場分布，再利用二次等效的方法將三層媒質(zhì)等效為2層，進(jìn)而用鏡像法求出異層場點(diǎn)的分布。有效地解決了上層為絕緣媒質(zhì)σ1=0，點(diǎn)源位于中間層，場點(diǎn)位于任意層的場分布問題，但對于上層為導(dǎo)電媒質(zhì)即σ1≠0的情況，并未給出明確的解。而在實(shí)際地層中遇到的多為導(dǎo)電媒質(zhì)，因此，對σ1≠0時場分布問題的研究十分重要。下文采用文獻(xiàn)[7-8]的方法對上層媒質(zhì)為導(dǎo)電媒質(zhì)，點(diǎn)源位于中間層，場點(diǎn)位于任意層的場分布問題進(jìn)行處理。

當(dāng)上層媒質(zhì)為導(dǎo)電媒質(zhì)，點(diǎn)源位于中間層時，點(diǎn)電流源及其所有通過界面鏡像的源可根據(jù)其位置分為以下4組：

場點(diǎn)位于第1、2、3層媒質(zhì)的電位分別為

(3)

(4)

(5)

其中：

式(3)—式(5)中：電位Φij的下標(biāo)i=1、2、3表示點(diǎn)源位于第1、2、3層媒質(zhì)中，j=1、2、3表示場點(diǎn)位于第1、2、3層媒質(zhì)中。

(2)點(diǎn)源位于上層。當(dāng)點(diǎn)源位于上層時，可根據(jù)點(diǎn)源距z=0界面的距離分為3種情況：

①點(diǎn)源距z=0的距離小于中間層厚度。點(diǎn)電流源I通過界面z=0產(chǎn)生的第一次鏡像位于中間層，第一次產(chǎn)生的鏡像源又通過z=D產(chǎn)生第二次鏡像，第二次產(chǎn)生的鏡像源又通過z=0產(chǎn)生第三次鏡像，依次形成一組位置和表達(dá)式有規(guī)律的鏡像源。點(diǎn)源先通過z=D界面鏡像，鏡像源再通過z=0界面鏡像，這樣依次往返鏡像，也可形成一組位置和表達(dá)式有規(guī)律的鏡像源。

②點(diǎn)源距z=0的距離大于中間層厚度且不成倍數(shù)關(guān)系。點(diǎn)電流源I通過界面z=0產(chǎn)生第一次鏡像位于第三層，第一次產(chǎn)生的鏡像源又通過z=D產(chǎn)生第二次鏡像，第二次產(chǎn)生的鏡像源又通過z=0產(chǎn)生第三次鏡像，經(jīng)過幾次鏡像后的鏡像源又位于中間層，然后再類似于第一種情況在z=0和z=D兩個界面上往返鏡像，而前幾次鏡像源的表達(dá)式與鏡像落入中間層后再通過界面鏡像的表達(dá)式不一致，需要另作處理；點(diǎn)源先通過z=D鏡像，再通過z=0鏡像，依次在2個界面的往返鏡像所得鏡像源的表達(dá)式與第一種情況一致。

③點(diǎn)源位于z=0界面上或距z=0的距離與中間層厚度成倍數(shù)關(guān)系。點(diǎn)源在分界面上，或當(dāng)點(diǎn)源距z=0的距離與中間層厚度成倍數(shù)關(guān)系時，會出現(xiàn)鏡像源落到分界面的情況，不滿足采用鏡像法的前提條件，此時可以作如下處理：將位于邊界上的點(diǎn)源移至上層緊靠邊界的地方，這樣對解答不會有影響[10]，又可以將問題歸到(1)中；同理，距z=0的距離與中間層厚度成倍數(shù)關(guān)系的點(diǎn)源可以移至其上方緊靠的一個位置，可將問題歸到(2)中。

下面將以點(diǎn)源距z=0界面的距離小于中間層厚度為例進(jìn)行推導(dǎo)。對于點(diǎn)源距z=0界面的距離大于中間層厚度的情況可做類似處理。

在圖1所示的三層模型中，位于上層中的點(diǎn)電流源在各層場點(diǎn)處所產(chǎn)生的場可以等效為圖2所示的無窮多個鏡像點(diǎn)電流源在場點(diǎn)分別產(chǎn)生的場的疊加。當(dāng)場點(diǎn)位于上層時，點(diǎn)電流源在場點(diǎn)處產(chǎn)生的場可等效為，點(diǎn)電流源和其通過z=0界面的第一次鏡像及通過2個界面的往返鏡像中每次由z=D界面得到的鏡像作為下次通過z=0界面的源在場點(diǎn)處產(chǎn)生的場的疊加，如圖2(a)所示。此時，點(diǎn)電流源及其鏡像源根據(jù)其位置和表達(dá)式可劃分為以下4組：

①位于(x0,y0,z0)處，點(diǎn)電流源為I,場點(diǎn)距該組點(diǎn)電流源的距離為R01；

②位于(x0,y0,-z0)處，點(diǎn)電流源為-η1I,場點(diǎn)距該組點(diǎn)電流源的距離為R11；

圖2 點(diǎn)源位于上層，場點(diǎn)處于不同媒質(zhì)時鏡像法的應(yīng)用

則場點(diǎn)處的電位為如圖2(a)，所有點(diǎn)電流源在上層場點(diǎn)處產(chǎn)生的電位的和為

(6)

其中：

同理，當(dāng)場點(diǎn)位于中間層和下層時，場點(diǎn)處的電位分別為圖2(b)、圖2(c)中，所有點(diǎn)電流源產(chǎn)生的電位的和分別為

(7)

其中：

R1k、R2k表達(dá)式同前面所示。

(8)

其中：

R1m、R2m表達(dá)式同前面所示。

(3)點(diǎn)源位于下層。當(dāng)點(diǎn)源位于下層，相當(dāng)于源位于上層時將上層與下層的電導(dǎo)率互換，即可用同樣的推導(dǎo)方法得到場點(diǎn)位于任意層的電位表達(dá)式。

2 用三層媒質(zhì)鏡像原理計算梯度電極系的測井響應(yīng)

下面以單極供電底部2.5 m梯度電極系A(chǔ)2.25 M0.5N為例研究三層鏡像原理的應(yīng)用。如圖1所示，底部梯度電極系位于任意位置時，通過測量電極的電位可以求出儀器的視電阻率(測井響應(yīng))。

根據(jù)電源電極A在地層中所處的位置，可分為以下幾種情況：

(1)電源電極A位于上圍巖，且距z=0界面距離小于高阻層厚度，此時

(9)

(10)

其中：

根據(jù)M和N的位置又分為3種情形。

①M(fèi)、N位于上圍巖，ΦM=Φ11(zM,zA),ΦN=Φ11(zN,zA)，

ΔUMN=ΦM-ΦN=Φ11(zM,zA)-Φ11(zN,zA)；

(11)

②M位于上圍巖，N位于高阻層，ΦM=Φ12(zM,zA),ΦN=Φ12(zN,zA)，

算法種群的粒子全局最優(yōu)的個體位置是通過對比粒子尋優(yōu)過程中的每個粒子的個體極值來確定的,這個全局最優(yōu)個體位置稱為“全局極值”,即所有粒子節(jié)點(diǎn)部署節(jié)點(diǎn)最優(yōu)位置。粒子群算法不斷通過迭代優(yōu)化地搜索并更新個體極值和全局極值,最終求得全局的最優(yōu)位置。

ΔUMN=ΦM-ΦN=Φ11(zM,zA)-Φ12(zN,zA)；

(12)

③M、N位于高阻層，ΦM=Φ12(zM,zA),ΦN=Φ12(zN,zA)，

ΔUMN=ΦM-ΦN=Φ12(zM,zA)-Φ12(zN,zA)。

(13)

(2)電源電極A位于高阻層

(14)

(15)

其中：

根據(jù)電極M和N在不同位置分別計算不同電位差。

①M(fèi)、N位于高阻層，ΦM=Φ22(zM,zA),ΦN=Φ22(zN,zA)，ΔUMN=ΦM-ΦN=Φ22(zM,zA)-Φ22(zN,zA)；

(16)

②M位于高阻層，N位于下圍巖，ΦM=Φ22(zM,zA),ΦN=Φ23(zN,zA)，ΔUMN=ΦM-ΦN=Φ22(zM,zA)-Φ23(zN,zA)；

(17)

③M、N位于下圍巖，ΦM=Φ23(zM,zA),ΦN=Φ23(zN,zA)，ΔUMN=ΦM-ΦN=Φ23(zM,zA)-Φ23(zN,zA)。

(18)

(3)電源電極A位于下圍巖層，且距z=0界面距離小于高阻層厚度，

(19)

其中：

則有：M、N位于下圍巖，ΦM=Φ33(zM,zA),ΦN=Φ33(zN,zA)，

ΔUMN=ΦM-ΦN=Φ33(zM,zA)-Φ33(zN,zA)。

(20)

將以上不同情況下求得的各ΔUMN代入式(1)可以計算梯度電極系的視電阻率。取R1=R3=1 Ω·m，R2=5 Ω·m，I=1 A，根據(jù)以上推導(dǎo)的公式，計算底部梯度電極系沿z軸正方向上層移動時的視電阻率，如圖3(a)所示。為了解釋視電阻率曲線，根據(jù)上述電位公式繪出了電極系沿z軸正方向移動時測量電極M、N的電位變化曲線，如圖3(b)所示。

圖3 用鏡像法求出的解析解

3 數(shù)值仿真三層媒質(zhì)中梯度電極系的測井響應(yīng)

為驗(yàn)證上述結(jié)果的正確性，根據(jù)前述各參數(shù)，本文采用COMSOL多物理場有限元數(shù)值計算軟件建立模型對底部梯度電極系的測井響應(yīng)進(jìn)行仿真。COMSOL多物理場有限元數(shù)值計算軟件具有強(qiáng)大的網(wǎng)格剖分、求解器和豐富的后處理功能，且具有高效的計算性能，可提高數(shù)值仿真精確性。針對上述地層模型及恒定電流場的特點(diǎn)，在COMSOL中選用合適的物理模塊和求解器進(jìn)行求解，精確地計算梯度電極系中測量電極的電位，進(jìn)而計算其視電阻率，分析梯度電極系的響應(yīng)特點(diǎn)。計算結(jié)果如圖4所示。

由圖4可知，視電阻率的極大值出現(xiàn)在下底部，這也就是為什么稱為底部梯度電極系的原因。視電阻率的極大值和極小值分別出現(xiàn)在整個電極系剛進(jìn)入高阻層和整個電極系剛離開高阻層時，可以利用此特征點(diǎn)來劃分高阻層厚。

比較圖3和圖4可知：

圖4 數(shù)值計算底部梯度電極系視電阻率結(jié)果

(1)利用COMSOL軟件數(shù)值計算的視電阻率變化趨勢與解析解及文獻(xiàn)[9]中的底部梯度電極系理論曲線一致，說明解析解的正確性與數(shù)值求解的可行性。若電極系遠(yuǎn)離高阻層，視電阻率曲線兩端趨近于上下圍巖電阻率；若電極系處于高阻層中間部分時，有一段視電阻率近似等于高阻層電阻率；若整個電極系剛進(jìn)入高阻層和整個電極系剛離開高阻層時，視電阻率達(dá)到極大值和極小值。

(2)視電阻率取極大值和極小值時電極系的位置與解析解中的位置相同，據(jù)此可以劃分高阻層的界面。

4 結(jié) 論

(1)研究三層導(dǎo)電媒質(zhì)中的鏡像法，建立了源點(diǎn)位于不同區(qū)域時任意區(qū)域的鏡像源的位置、個數(shù)和大小，求解電位場的解析式。解析式揭示了三層導(dǎo)電媒質(zhì)中點(diǎn)源建立恒定電流場形成電位的機(jī)理。

(2)應(yīng)用三層導(dǎo)電媒質(zhì)中的鏡像原理計算三電極梯度電極系在三層地層中的測井響應(yīng)，歸納總結(jié)出視電阻率與電位變化特征與電極系位置的關(guān)系。當(dāng)三電極梯度電極系穿過三層地層時，測井響應(yīng)特征與3個電極所處地層相關(guān)，電位場解析式與鏡像源的關(guān)系揭示了梯度電極系的測井響應(yīng)機(jī)理。

(3)用COMSOL多物理場有限元數(shù)值計算軟件計算了底部梯度電極系的測井響應(yīng)，驗(yàn)證了基于三層媒質(zhì)鏡像原理的電位推導(dǎo)公式及其大理石 電極梯度電極系測井響應(yīng)特征的正確性。

(4)三層導(dǎo)電媒質(zhì)中的鏡像法和電位計算公式可用于分析普通電阻率測井中其他類型的電極系在不同導(dǎo)電媒質(zhì)層中的響應(yīng)特征， 為電極系參數(shù)設(shè)計提供理論依據(jù)。

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責(zé)任編輯：王 輝

2014-04-01

陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計劃項(xiàng)目(編號：2013JM5011)；陜西省教育廳省級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室重點(diǎn)科研計劃項(xiàng)目(編號：12JS079)

仵杰(1965-)，男，教授，博士，主要從事電磁測井理論、儀器設(shè)計、數(shù)值模擬和陣列感應(yīng)測井信號處理方面的研究。E-mail：wujie@xsyu.edu.cn

1673-064X(2015)01-0001-06

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