摘 要：函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心概念，函數(shù)的思想方法是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的一根“紅線”，函數(shù)概念歷來都是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點和難點.但是筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)教材中函數(shù)定義的內(nèi)容本身存在著一些缺陷，所以積極探索改革現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)教材中函數(shù)定義的內(nèi)容，在數(shù)學(xué)理論的研究和實踐中都具有重要的意義.本文主要是筆者結(jié)合自己在教學(xué)中的實踐，首先創(chuàng)造性地給出了對應(yīng)的定義和分類，然后站立在對應(yīng)分類結(jié)果的這塊基石之上，從一個新的視角給出了函數(shù)經(jīng)過改革后的定義，最后說明了改革后的函數(shù)定義在實踐和理論中的重要意義.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；函數(shù)定義；改革；必要性；建議；意義

[?] 改革函數(shù)定義的必要性

現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)教材中函數(shù)的定義是這樣的：“給定兩個非空數(shù)集A和B，如果按照某個對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中的任何一個數(shù)x，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f（x）與之對應(yīng)，那么就把對應(yīng)關(guān)系f叫做定義在集合A上的函數(shù)，記作f：A→B，或y=f（x），x∈A. 此時，x叫做自變量，集合A叫做函數(shù)的定義域，集合{f（x）x∈A}叫做函數(shù)的值域. 習(xí)慣上我們稱y是x的函數(shù).” 在教學(xué)過程中，筆者對函數(shù)的這一定義經(jīng)過仔細(xì)地研究之后發(fā)現(xiàn)，該定義存在著以下缺陷：第一，該定義中“把對應(yīng)關(guān)系f叫做定義在A上的函數(shù)”這句話表達(dá)的意思不夠準(zhǔn)確. 首先大家知道，函數(shù)應(yīng)包括集合A、B和對應(yīng)關(guān)系f這三部分，這三部分是一個統(tǒng)一的整體，它們合起來共同組成從集合A到集合B的函數(shù)；其次，這句話與該定義內(nèi)容中的“記作f：A→B”之間不能做到相互匹配. 第二，該定義中函數(shù)的值域{f（x）x∈A}與集合B之間有什么關(guān)系？在定義內(nèi)容中沒有給予明確的回答.第三，該定義語言敘述過于冗長、抽象不容易理解，經(jīng)過調(diào)查，不少學(xué)生在學(xué)習(xí)了該定義內(nèi)容之后很難體會到函數(shù)定義的實質(zhì). 第四，該定義是建立在對應(yīng)概念之上的，函數(shù)它是一種特殊的對應(yīng)，但是在數(shù)學(xué)理論中，“對應(yīng)”它是一個未加定義的概念，到底什么叫做對應(yīng)？它包括哪幾種類型？函數(shù)與對應(yīng)相比，具體有何區(qū)別？有何聯(lián)系？對這些問題如何回答，學(xué)生在心中始終是一個謎. 盡管高中數(shù)學(xué)教材已經(jīng)經(jīng)歷了多次改革，而且每一次在編寫新高中數(shù)學(xué)教材時，對函數(shù)的定義都進(jìn)行了不同程度的改進(jìn)，同時盡管函數(shù)定義的教學(xué)歷來都是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中公認(rèn)的重點和難點，但是從教學(xué)的效果看，不容樂觀. 在抱怨學(xué)生沒有抓住函數(shù)定義實質(zhì)的同時，我們?yōu)楹尾混o下心來做一些理性的思考，反思一下函數(shù)定義內(nèi)容本身是否存在著內(nèi)在的缺陷？所以，積極探索改革現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)教材中函數(shù)定義的內(nèi)容，在數(shù)學(xué)理論的研究和實踐中都具有重要的意義.

[?] 對函數(shù)定義的改革

（一）筆者結(jié)合自己的教學(xué)實踐，對函數(shù)下定義的方式做了深入的研究之后發(fā)現(xiàn)，要給函數(shù)下一個學(xué)生容易接受的定義，就必須創(chuàng)造性的對數(shù)學(xué)理論中未加定義的“對應(yīng)”這一概念給出它的定義和分類：

1. 元素a與元素b對應(yīng)的定義：設(shè)A、B是兩個集合，從A中取出元素a，從B中取出元素b，組成一個有序元素對（a，b），叫做元素a與元素b對應(yīng).

2. 從集合A到集合B的對應(yīng)的定義：若對集合A中的每一個元素，按照某種對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有與之對應(yīng)的元素（一個或多個），則稱從集合A到集合B的對應(yīng)，記作對應(yīng)f：A→B.

由對應(yīng)f：A→B的定義可知：A中的元素都必須取到，B中的元素允許有剩余；集合A、B可以是數(shù)集，也可以是點集，或者是其他集合，它們可以相等，也可以不等.

3. 從集合A到集合B的對應(yīng)的分類結(jié)果為：對應(yīng)對一對應(yīng)多對一對應(yīng)

一對一對應(yīng)

對多對應(yīng)一對多對應(yīng)

多對多對應(yīng)

（二）在對應(yīng)分類結(jié)果的基礎(chǔ)上，再給出函數(shù)的定義：

函數(shù)的定義：若集合A、B都是非空的數(shù)集，則把從集合A到集合B的對一對應(yīng)f：A→B叫做從集合A到集合B的函數(shù)，記作函數(shù)f：A→B.

在函數(shù)定義中，若x表示集合A中的任何一個元素，則在集合B中與x對應(yīng)的元素可以表示為y或f（x），此時，函數(shù)f：A→B還可以表示為函數(shù)y=f（x），x∈A，y∈B. 習(xí)慣上我們稱y是x的函數(shù).

其中，x叫做自變量，集合A叫做函數(shù)的定義域，f（x）叫做與自變量x對應(yīng)的函數(shù)值，全體函數(shù)值的集合{f（x）x∈A}叫做函數(shù)的值域，函數(shù)的值域一般記作集合C，顯然C?B.

例如：1. 在上面所舉的例子①中，若取集合A={0，1，-1}，集合B={0，1，3}，對應(yīng)關(guān)系f：y=x2，x∈A，y∈B時，則該多對一對應(yīng)f：A→B就是從集合A到集合B的函數(shù).

2. 在上面所舉的例子②中，若取A={1，2，3}，B={2，4，6}，對應(yīng)關(guān)系f：y=2x，x∈A，y∈B時，則該一一對應(yīng)f：A→B就是從集合A到集合B的函數(shù)；或者若取集合A={1，2，3}，B={2，4，6，7}，對應(yīng)關(guān)系f：y=2x，x∈A，y∈B時，則該一對一對應(yīng)f：A→B也是從集合A到集合B的函數(shù).

（三）在編寫高中數(shù)學(xué)教材函數(shù)定義這一節(jié)的教學(xué)內(nèi)容時，筆者認(rèn)為完全可以刪掉映射這一部分內(nèi)容，只給出對應(yīng)和函數(shù)的定義即可；也可以在學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義之后，在對應(yīng)分類結(jié)果的基礎(chǔ)上給出映射如下的定義：我們把從集合A到集合B的對一對應(yīng)叫做從集合A到集合B的映射，記作映射f：A→B.

例如：1. 設(shè)集合A={上，下}，集合B={南，北}， 對應(yīng)關(guān)系f為：上對應(yīng)南，下對應(yīng)北，則把這個對應(yīng)叫做從集合A到集合B的映射.

2. 在上面對應(yīng)分類結(jié)果所舉的四個例子中，例子①多對一對應(yīng)、例子②一對一對應(yīng)都是從集合A到集合B的映射.

（四）由上面新給出的對應(yīng)、映射、函數(shù)的定義可以得到這三個概念之間的關(guān)系為：

用集合論的觀點看這三個概念之間的關(guān)系為：{函數(shù)}?{映射}?{對應(yīng)}.

[?] 改革后的函數(shù)定義在實踐和理論中的重要意義

（一）突破了多年來高中數(shù)學(xué)函數(shù)概念教學(xué)的這一難點. 本文中經(jīng)過改革后的函數(shù)定義認(rèn)為：函數(shù)實質(zhì)上它是從非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的對一對應(yīng). 在新課程的教改實驗中，筆者通過對授課班級學(xué)生的調(diào)查得知：這種從對應(yīng)分類結(jié)果為出發(fā)點的函數(shù)定義巧妙的解決了函數(shù)概念抽象不好理解的現(xiàn)象，學(xué)生對改進(jìn)后的函數(shù)定義在認(rèn)識上能夠做到思之有據(jù)、言之有物；在理解上感到容易了許多、輕松了許多，改革后的函數(shù)定義巧妙地突破了多年來高中數(shù)學(xué)函數(shù)概念教學(xué)的這一難點.

（二）體現(xiàn)了“返璞歸真”，努力揭示了數(shù)學(xué)本質(zhì)：數(shù)學(xué)應(yīng)該面向全體學(xué)生的新課程理念. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》指出：“形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項基本要求，但是不能只限于形式化的表達(dá)，要強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，否則會將生動活潑的數(shù)學(xué)思維活動淹沒在形式化的海洋里.” “高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì).” 本文中函數(shù)的定義舍棄了映射這一非本質(zhì)的概念，努力揭示出函數(shù)定義的實質(zhì)就是從非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的對一對應(yīng)，使學(xué)生既可以從特殊例子中感知、深化理解函數(shù)的概念，又可以從理論高度比較容易地掌握函數(shù)概念的實質(zhì)以及對應(yīng)、映射、函數(shù)這三個概念之間的聯(lián)系和區(qū)別. 建立在對一對應(yīng)這一概念基礎(chǔ)之上的函數(shù)概念，具體而不抽象，更切近于生活，更切近于學(xué)生的認(rèn)識水平，體現(xiàn)了“返璞歸真”，努力揭示了數(shù)學(xué)本質(zhì)：數(shù)學(xué)應(yīng)該面向全體學(xué)生的新課程理念.

總之，筆者認(rèn)為，高中數(shù)學(xué)教材中函數(shù)的定義可以改革為：“若A、B都是非空的數(shù)集，則把集合A到集合B的對一對應(yīng)f：A→B叫做從集合A到集合B的函數(shù)，記作函數(shù)f：A→B或函數(shù)y=f（x），x∈A，y∈B. 習(xí)慣上我們稱y是x的函數(shù).” 改進(jìn)后的函數(shù)定義是建立在對一對應(yīng)概念這塊基石之上的，具體而不抽象，更貼近于學(xué)生的認(rèn)識水平，便于學(xué)生接受，巧妙地突破了多年來高中數(shù)學(xué)函數(shù)概念教學(xué)的這一難點；體現(xiàn)了“返璞歸真”，努力揭示了數(shù)學(xué)本質(zhì)：數(shù)學(xué)應(yīng)該面向全體學(xué)生的新課程理念. 這說明函數(shù)它和其他知識一樣，產(chǎn)生于人類社會實踐的需要，是從大量的實踐現(xiàn)象中抽象出來的，它為人類的實踐而服務(wù)；同時它本身也需要在實踐中不斷發(fā)展、完善，以便為人類更好的服務(wù).