摘 要：本文筆者選取了一道求無(wú)理函數(shù)值域的題目，展示了較為豐富的解法，對(duì)不同的解法進(jìn)行了一些闡述；與此同時(shí)，通過(guò)一些類(lèi)題的解法賞析，橫向、縱向加深對(duì)解法的“普適性”認(rèn)知.

關(guān)鍵詞：數(shù)量積幾何意義；線性規(guī)劃；三角換元；構(gòu)造法；導(dǎo)數(shù)法；普適性

求已知函數(shù)值域的題目，是函數(shù)章節(jié)中的重要內(nèi)容之一. 值域問(wèn)題也常出現(xiàn)在解析幾何、三角、向量、不等式等綜合題中，我們必須引起高度重視. 求值域的方法也有很多，比如觀察法、換元法、分離常數(shù)法、反解法、判別式法、利用基本不等式、利用函數(shù)單調(diào)性等基本方法. 本文就一道無(wú)理函數(shù)值域的求解方法說(shuō)開(kāi)，借此加深對(duì)通性通法的認(rèn)知.

引例 求函數(shù)y=4+3的值域.

方法1：用向量的數(shù)量積幾何意義求解，數(shù)量積的取值范圍即為函數(shù)的值域.

點(diǎn)評(píng)：本法是由函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到向量的數(shù)量積的，從題干中抽出一定一動(dòng)的兩向量作數(shù)量積. 將兩個(gè)無(wú)理根式作為動(dòng)向量的橫、縱坐標(biāo)，由于兩個(gè)無(wú)理根式的平方和是定值9，故動(dòng)向量的模為定值3，但動(dòng)向量與已知向量的夾角是變化的，所以?shī)A角范圍是關(guān)鍵，在從圖形中我們可以很直觀地得到夾角的取值范圍. 本法也反映了數(shù)形結(jié)合的思想，向量作為一種工具，在“數(shù)”與“形”之間架起了一座橋梁.

方法2：用線性規(guī)劃知識(shí)求解，目標(biāo)函數(shù)的取值范圍即為函數(shù)的值域.

（2）（3）的結(jié)論很顯然，而（4）相當(dāng)于將（1）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)變化得來(lái)，值域可由（1）得來(lái).

點(diǎn)評(píng)：筆者用導(dǎo)數(shù)法來(lái)證明，彰顯了它的強(qiáng)大的工具功能，它是一個(gè)普適性很強(qiáng)的方法. 本結(jié)論也可以用方法4來(lái)證明，限于篇幅，不再累述，讀者有興趣可以試一試.