摘 要：高中數(shù)學的概念課如何更精彩，更有效？關(guān)鍵在于問題的設(shè)置與處理，本文以《任意角》的教學設(shè)計為例，提出了“問題要有明確的指向性、要有開放性、要在學生的最近發(fā)展區(qū)上設(shè)置、要給每一個學生都參與探究的機會”的觀點.

關(guān)鍵詞：任意角；問題設(shè)置；指向性；開放性

在高中數(shù)學的課堂教學中，概念課占據(jù)著相當大的比例，而學生對數(shù)學概念的掌握程度在一定意義上決定學生數(shù)學能力的高低. 那么如何讓我們的數(shù)學概念課堂更精彩、更有效？筆者認為概念課堂更應(yīng)注意問題的設(shè)置，充分彰顯問題魅力. 那么我們該問什么、怎么問？筆者做了一次嘗試，希望能拋磚引玉.

[?] 教學設(shè)計

教學目標：

1. 理解任意角及象限角的概念；

2. 掌握所有與α角終邊相同的角（包括α角）的表示方法.

教學重點：

任意角的概念，終邊相同的角的表示方法.

教學難點：

終邊相同的角的表示方法.

設(shè)計理念：

本節(jié)課是對角的概念的推廣，由于學生對角的定義（靜態(tài)、動態(tài)）在初中已經(jīng)有所了解，但不夠嚴謹，因此我們的教學側(cè)重點應(yīng)是如何嚴謹又細膩地探究角的動態(tài)定義，引入正角、負角、零角的定義，象限角的概念，終邊相同的角的表示方法. 本節(jié)課要幫助學生樹立運動變化的觀點，理解靜是相對的，動是絕對的，并由此深刻理解推廣后的角的概念. 通過問題設(shè)置，讓學生從特殊到一般，歸納出終邊相同的角的表示方法，理解終邊相同的角的概念，并能給予表示.

教學過程：

問題情境：

數(shù)學學習中我們遇到過很多數(shù)學名稱，如點、線段、射線、角、三角形等等.

問題1 當你看到“角”這一數(shù)學名稱時，想到什么？

靜態(tài)定義：有公共端點的兩條射線圍成的幾何圖形叫做角，公共端點叫做角的頂點，射線叫做角的邊. 角包括了銳角、直角、鈍角、平角，還可能是周角，范圍為0°<α≤360°.

動態(tài)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.

設(shè)計意圖：選擇開放性問題導入，意圖在于讓每一個學生都覺得有話可講，從而讓學生參與到課堂中來；通過問題1，教師可以更清楚地了解學生對角這一概念的理解水平，便于教學的進一步實施.

下面我們做個游戲，需要兩個同學參與：現(xiàn)在我給你們下個口令，請你們按照口令完成動作，1. “向右轉(zhuǎn)90°”；2. “向左轉(zhuǎn)540°”.

問題2 上述游戲中出現(xiàn)了540°角，不在我們以前研究的范圍0°<α≤360°內(nèi). 那么在生活中還有沒有不在0°<α≤360°這一范圍內(nèi)的角，你能說出一些嗎？

設(shè)計意圖：問題2的意圖是增強學生對角的感性認識，很自然感受到角的概念需要推廣的必要性.

板塊一、角的概念的推廣

展示微視頻

問題3

（1）微視頻中我們通過什么方式獲取角？你能從旋轉(zhuǎn)的角度描述一下如何能夠得到一個角？

旋轉(zhuǎn)角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形. 射線的端點稱為角的頂點，射線旋轉(zhuǎn)開始的位置叫做角的始邊，旋轉(zhuǎn)終止位置叫做角的終邊. （動態(tài)定義）

（2）你認為逆時針旋轉(zhuǎn)60°和順時針旋轉(zhuǎn)60°一樣么？

不一樣，旋轉(zhuǎn)的方向?qū)怯杏绊?，逆時針旋轉(zhuǎn)和順時針旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生兩個具有相反意義的量.

（3）逆時針旋轉(zhuǎn)和順時針旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生兩個具有相反意義的量，我們怎么區(qū)分？你學過類似的兩種具有相反意義的量嗎？當時我們是如何處理的？你能解決這個問題嗎？

規(guī)定：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；

按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角.

如果射線沒有發(fā)生任何旋轉(zhuǎn)，那么構(gòu)成零角.

這樣就把角的概念推廣到任意角，包含正角、負角和零角.

設(shè)計意圖：通過微視頻中手表分針的轉(zhuǎn)動展示和問題串，進一步細化角的旋轉(zhuǎn)定義，讓學生認識到在旋轉(zhuǎn)中心確定的前提上，決定旋轉(zhuǎn)的是旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)的量，讓學生對角的理解逐步從感性到理性. 類比正數(shù)、負數(shù)的規(guī)定（數(shù)軸），引導學生得出正角、負角的定義，讓數(shù)學概念的呈現(xiàn)自然流暢.

知識運用：請你作出60°、-150°、420°角（作一張圖）.

設(shè)計意圖：讓學生進一步熟悉角，感悟角的旋轉(zhuǎn)定義，尤其是旋轉(zhuǎn)方向.體會到角的旋轉(zhuǎn)定義的幾何語言，體現(xiàn)“做中學”的教學理念.

板塊二、象限角和軸線角

展示不同學生作的60°角，

問題4 為什么都是60°，差異卻如此大？這就給我們研究角帶來了困難，你能解決這個問題么？（討論）

作圖時由于頂點和始邊的位置不同，導致差異. 統(tǒng)一頂點和始邊的位置，將角放入平面直角坐標系研究.

以角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸正半軸，建立平面直角坐標系.

角的終邊（除端點外）在第幾象限，就說這個角是第幾象限角.

如果角的終邊在坐標軸上，稱這個角為軸線角.

設(shè)計意圖：通過幾種不同情形的60°角的呈現(xiàn)，讓學生感受差異，發(fā)現(xiàn)問題，激發(fā)學生解決問題的欲望，為象限角的規(guī)定的出現(xiàn)設(shè)置鋪墊；討論題的意圖在于：讓學生探究產(chǎn)生差異的原因，統(tǒng)一標準，得出象限角的規(guī)定，讓學生真正參與到概念的探究過程中.

知識運用：

1. 下列命題中正確的是________.

①銳角是第一象限角；②第一象限角一定是銳角；③小于90°的角是銳角；④第一象限角一定不是負角

2. 判斷60°、-150°、420°、-300°角分別是第幾象限角？270°呢？

設(shè)計意圖：進一步熟悉象限角的概念，讓學生領(lǐng)會到當概念進行推廣后，某些原有的概念應(yīng)當有新的認識（如銳角）；承上啟下，為我們進一步研究“與α角終邊相同的角”埋下伏筆.

板塊三、與α角終邊相同的角

3. 判斷60°、-150°、420°、-300°角中哪些角的終邊相同？它們彼此之間有什么關(guān)系？

420°=60°+1×360°，

60°=60°+0×360°，

-300°=60°+（-1）×360°.

追問：與60°角終邊相同的角的還有么？你能寫出它的表達式嗎？你能不能得出一個一般性的結(jié)論？

還有，如780°；60°+k·360°（k∈Z）.

一般地，與角α終邊相同的角的集合為{β

β=α+k·360°，k∈Z}.

設(shè)計意圖：通過問題，引導學生自然而然地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納總結(jié)，體現(xiàn)從特殊到一般的認知規(guī)律.

概念辨析

判斷：

（1）和角α終邊相同的角的集合為{β

β=α+k·360°，k∈R}.

（2）和角α終邊相同的角的集合為{β

β=α+k·360°，k∈Z}，不包括α.

（3）和角α終邊相同的角的集合為{β

β=α+k·360°，k∈Z}中的α的取值范圍是0°≤α<360°.

（3）相等的角終邊相同，終邊相同的角相等.

設(shè)計意圖：概念辨析的意圖在于加深學生與角α終邊相同的角的理解，掌握與角α終邊相同的角的幾個特征：

（1）k∈Z；（2）包含α；（3）α為任意角；（4）相等的角終邊相同，終邊相同的角不一定相等，它們相差360°的整數(shù)倍.

知識運用：

1. 在0°到360°的范圍內(nèi)，找出與2015°終邊相同的角，并判斷它是哪個象限的角.

2. 第一象限角的集合為________.

設(shè)計意圖：讓學生進一步理解與角α終邊相同的角的概念，體會到我們運用終邊相同的角這一知識將任意角問題轉(zhuǎn)化到我們熟悉的0°到360°內(nèi)進一步研究的化歸思想.

課堂小結(jié)：

①這節(jié)課你學到了哪些知識？

②你會解決哪些問題？

③這節(jié)課涉及了哪些數(shù)學思想？

鞏固提升：

1. 終邊落在y軸上的角的集合怎么表示？

2. 若α是第三象限角，則是第幾象限角？

[?] 教后感悟

本節(jié)課是采用問題串模式授課的一次嘗試，筆者認為數(shù)學概念課堂要彰顯問題魅力的關(guān)鍵在于精心設(shè)計問題，那么如何設(shè)計出有效的問題，反思如下：

1. 問題要有明確的指向性

一個問題題設(shè)要簡潔、不應(yīng)存在歧義，問什么，學生要清清楚楚，否則必定會給師生交流帶來障礙，從而造成課堂資源的浪費. 問題必須具有明確的指向，學生只有理解問題，才能參與到問題的探究，才能在探究過程獲取成就感，才能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.

2. 問題要有開放性

只有開放的問題才能真正培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維，因此我們需要設(shè)計開放的問題，適應(yīng)不同層次的學生需求. 其次我們在問題的探究過程也需“開放”，要鼓勵學生質(zhì)疑，發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，倡導“提出問題比解決問題更重要”的理念. 對于問題的解答策略也應(yīng)“開放”， 不斷激勵學生對問題的差異化求解.

3. 問題要在學生的最近發(fā)展區(qū)上設(shè)置

問題探究的主體是學生，所以問題不應(yīng)有太大的跨度，要依據(jù)學生的認知特點，設(shè)計貼合學生發(fā)展需要的問題，并且在學生的最近發(fā)展區(qū)上設(shè)置問題，確保學生在現(xiàn)有知識的基礎(chǔ)上“跳一跳，能摘到‘果子’”. 如果概念的理解難度較大，不妨多設(shè)置幾個臺階，由淺入深地的設(shè)置幾個問題，構(gòu)建問題鏈，促使學生積極思考，逐步推進學生思維的發(fā)展，進而推動課堂的自由發(fā)展，達到培養(yǎng)學生積極探究、自主學習的能力的目標.

4. 問題要給每一個學生都參與探究的機會

我們的課堂一直強調(diào)面向全體，讓每個孩子都有收獲. 如果精心設(shè)計的問題，因為沒有足夠的時間給學生思考，那么問題的探究過程就只能成為教師或者幾個優(yōu)秀學生的演示，結(jié)果就可以預(yù)測到了. 給予學生足夠的思考時間，還可以在課堂上加入討論、小組協(xié)作等方式，給學生創(chuàng)設(shè)積極參與問題探究的環(huán)境，讓學生在探究中學會交流，在交流合作中解決問題、獲取知識，從而形成良好的思維品質(zhì).