摘 要：基于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)提高的高中數(shù)學(xué)教學(xué)需要高度重視數(shù)學(xué)意識的培養(yǎng). 數(shù)學(xué)意識是學(xué)生形成數(shù)學(xué)知識、生成數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，關(guān)鍵在于認(rèn)識到數(shù)學(xué)意識必須形成于數(shù)學(xué)知識生成的過程，因而在數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視數(shù)學(xué)知識的生成，重視其中的學(xué)生思維細(xì)節(jié). 數(shù)學(xué)意識要通過變式訓(xùn)練來來促進(jìn)生成，通過生活運(yùn)用來固化.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)意識；培養(yǎng)

數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，如果將建筑當(dāng)成學(xué)習(xí)的隱喻的話，那數(shù)學(xué)在人的發(fā)展中的作用，就類似于地基或墻體在建筑中的作用——盡管重要卻不外顯. 這句話顯然也需要反過來理解：雖不外顯卻很重要. 當(dāng)然，沒有人會反對數(shù)學(xué)的重要性，但在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，這種重要性如何體現(xiàn)卻值得教師認(rèn)真研究. 在實(shí)際教學(xué)中筆者感覺到數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性、重要性，與實(shí)際教學(xué)之間存在著一定的背離情形. 應(yīng)試教育環(huán)境下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，更多地成為學(xué)生提升解題能力的核心，一切圍繞應(yīng)試轉(zhuǎn)的教學(xué)現(xiàn)狀使得高中數(shù)學(xué)教學(xué)的許多營養(yǎng)流失比較嚴(yán)重，數(shù)學(xué)意識則是其中之一.

筆者所理解的數(shù)學(xué)意識，是指學(xué)生在遇到實(shí)際問題時能夠數(shù)學(xué)地看待問題，能夠數(shù)學(xué)地思考問題，能夠建構(gòu)出適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型并分析之. 事實(shí)證明，經(jīng)過數(shù)學(xué)化的過程，再復(fù)雜的事物也都能表現(xiàn)出其美麗的一面，很多看似與數(shù)學(xué)無關(guān)的事物背后，也常常隱藏著數(shù)學(xué)規(guī)律，譬如納什借助于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)演變出來的博弈論，竟然成為經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要理論之一，并由此獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎，這不能不說是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作用的充分體現(xiàn). 納什演變出博弈論的過程我們不得而知，但有一點(diǎn)可以肯定的是，數(shù)學(xué)意識一定幫了他不少大忙. 那么，高中數(shù)學(xué)教學(xué)如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識呢？筆者結(jié)合蘇教版高中數(shù)學(xué)必修五的“不等關(guān)系、不等式”的教學(xué)，談?wù)勛约旱囊恍┎怀墒斓南敕?

[?] 數(shù)學(xué)意識是源于數(shù)學(xué)的意識

從心理的角度來看，數(shù)學(xué)意識是數(shù)學(xué)的一種. 意識是什么？意識是影響人生活行為但卻不外顯的心理因素. 同樣一個瀑布，詩人看到就想到賦詩，而學(xué)物理的則想到能量的轉(zhuǎn)化與利用，數(shù)學(xué)家則會考慮其高度以及是否可以用數(shù)學(xué)關(guān)系描述其運(yùn)動，這就是不同的意識所產(chǎn)生的結(jié)果. 從這個角度來看，數(shù)學(xué)意識顯然就是指基于數(shù)學(xué)、源于數(shù)學(xué)的意識.

在“不等關(guān)系”的教學(xué)中，有兩個關(guān)鍵概念：一是不等關(guān)系；二是不等式. 從“不等關(guān)系”到“不等式”，看起來是一個簡單的變化，在數(shù)學(xué)教師看來也是一個自然且簡單的由前者過渡到后者的關(guān)系. 既然是自然而然的過程，自然就不需要花費(fèi)太多的精神力氣了. 那么事實(shí)是不是如此呢？筆者以為，這兩個知識點(diǎn)之間實(shí)際上卻包含著豐富的內(nèi)容：

其一，“不等關(guān)系”與“不等式”存在的背景不同. 前者存在于生活，在生活中有著豐富的不等關(guān)系. 事實(shí)上，相對于等量關(guān)系而言，生活中更多的是不等關(guān)系. 教材上所舉的例子則更具挑戰(zhàn)性，以第一個例子為例：某博物館的門票為每位10元，20人以上（含20人）團(tuán)體票8折優(yōu)惠. 那么，不足20人時，應(yīng)該選擇什么樣的購票策略. 顯然，這是一個源自于生活的例子，不等關(guān)系蘊(yùn)涵其中.

其二，后者是前者的數(shù)學(xué)化體. 不等式存在于數(shù)學(xué)，將不等關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá)出來即為不等式. 從不等關(guān)系過渡到不等式，需要的是學(xué)生的不等關(guān)系數(shù)學(xué)化的意識，這就是數(shù)學(xué)意識的存在場所.

其三，數(shù)學(xué)化源于數(shù)學(xué)意識. 對于學(xué)生而言，怎樣才能順利地將不等關(guān)系變成不等式呢？這不是一個輕松的話題，因?yàn)樵趯?shí)際教學(xué)中我們看到的更多的現(xiàn)象是，當(dāng)學(xué)生遇到類似于購票策略的問題時，他們往往無法將這一問題與不等式聯(lián)系起來，這恰恰說明了學(xué)生不等意識即數(shù)學(xué)意識的缺失.

由此也可以確定，數(shù)學(xué)意識是基于生活而源于數(shù)學(xué)的，只有帶著數(shù)學(xué)意識去看待生活中的事物，才有可能敏銳地尋找到生活事物數(shù)學(xué)化的描述方式. 那么，在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)意識是怎樣形成的呢？是不是可以坐等呢？教學(xué)實(shí)踐表明，事實(shí)不是這樣的，學(xué)生數(shù)學(xué)意識的形成，關(guān)鍵在于教師.

[?] 數(shù)學(xué)意識的培養(yǎng)關(guān)鍵靠教師

在面對購票策略這一問題時，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維難點(diǎn)不在不等式的理解上，而在不等關(guān)系向不等式過渡的這一過程中. 也就是說當(dāng)不等式8×20≤10x出現(xiàn)后學(xué)生理解是沒有問題的，但這個不等式的生成卻是更難的. 這給高中數(shù)學(xué)教學(xué)敲響了一記警句：目前我們的高中學(xué)生并不缺乏數(shù)學(xué)自身的邏輯思維能力，但恰恰在數(shù)學(xué)地看待生活問題上存在不小的挑戰(zhàn)，而近年來的數(shù)學(xué)測試又有向生活轉(zhuǎn)化的趨勢，因此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識可謂是一個重要任務(wù).

在學(xué)生數(shù)學(xué)意識不夠明確時，顯然教師在其中應(yīng)當(dāng)發(fā)揮重要的作用. 而這一作用的發(fā)揮關(guān)鍵也沒有其他捷徑可走，只能通過變式訓(xùn)練來讓學(xué)生在比較鑒別中生成數(shù)學(xué)意識. 應(yīng)當(dāng)承認(rèn)，變式教學(xué)是中國教育尤其是中國數(shù)學(xué)教育的一大法寶，自從二十多年前變式教育為國內(nèi)某知名高中踐行之后，變式思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中就占有重要的地位. 有一點(diǎn)可能為大家所忽視的是，教材在建立不等關(guān)系的時候，引用了三個例子，除了上面的購票策略之外，還有雜志發(fā)行、維生素含量與成本關(guān)系兩個例子，在實(shí)際教學(xué)中這三個例子如何綜合運(yùn)用，直接關(guān)系到學(xué)生的數(shù)學(xué)意識能否有效生成. 筆者的處理方法是這樣的：先呈現(xiàn)購票策略的例子，在學(xué)生思維困難的時候，告訴學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的不等關(guān)系并列出不等式，是解決問題的關(guān)鍵所在. 事實(shí)證明，學(xué)生這個時候思維常常有瞬間被打開的感覺，當(dāng)他們意識到復(fù)雜的生活事例可以用簡單的數(shù)學(xué)關(guān)系來表達(dá)時，就是加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識的關(guān)鍵時刻.

筆者這樣跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)：購票策略這一問題，起初我們能夠發(fā)現(xiàn)其中存在著技巧問題，但無法發(fā)現(xiàn)如何尋找到這一技巧，而當(dāng)不等關(guān)系被發(fā)現(xiàn)，不等式列出來之后，就發(fā)現(xiàn)這一關(guān)系其實(shí)又是那么的簡單. 同學(xué)們想想，這其中的關(guān)鍵在哪里呢？

這是一個類似于元認(rèn)知策略的教學(xué)過程，既基于數(shù)學(xué)又不只是指向數(shù)學(xué)知識，更指向數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)意識. 學(xué)生在這一問題的驅(qū)動之下，思維會將購票策略的實(shí)例，與不等關(guān)系及不等式結(jié)合起來，并努力發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系. 而這一關(guān)系的構(gòu)建，恰恰是數(shù)學(xué)意識形成的關(guān)鍵.有了這一步之后，此處學(xué)生的數(shù)學(xué)意識就算被激活了.

從以上分析可以看出，教師采用什么樣的教學(xué)方式，直接影響著學(xué)生的數(shù)學(xué)意識形成的質(zhì)量. 如果教師過多講授，或者不提供給學(xué)生分析綜合的機(jī)會，那學(xué)生的數(shù)學(xué)意識生成就有困難. 相反，采用了變式的教學(xué)思路之后，學(xué)生的思維就有了加工數(shù)學(xué)實(shí)例與數(shù)學(xué)知識的關(guān)系，從而讓兩者產(chǎn)生聯(lián)系.

[?] 數(shù)學(xué)意識的生成關(guān)鍵靠訓(xùn)練

待學(xué)生的數(shù)學(xué)意識激活之后，變式過程中學(xué)生的訓(xùn)練就成為數(shù)學(xué)意識有效生成的關(guān)鍵. 在這個過程中同樣有教學(xué)細(xì)節(jié)需要關(guān)注，因?yàn)閷W(xué)生數(shù)學(xué)意識被激活之后如何培養(yǎng)還是一個問題.上面提到的除購票策略之外的兩個例子如何變式，這是本訓(xùn)練環(huán)節(jié)中的一個關(guān)鍵.筆者在其中做了兩點(diǎn)努力：

一是給學(xué)生提供雜志發(fā)行的例子，讓學(xué)生分析其與購票策略例子的區(qū)別. 事實(shí)表明，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)這兩個例子均存在著兩個關(guān)系：一是變量關(guān)系. 購票策略中購票人數(shù)與價格之間存在關(guān)系；雜志發(fā)行的價格與發(fā)行量之間存在關(guān)系. 二是不等關(guān)系，而這個關(guān)系又是建立在前者的基礎(chǔ)上的. 多個教學(xué)研究的實(shí)例均表明，學(xué)生經(jīng)過分析可以發(fā)現(xiàn)，從不等關(guān)系到不等式有兩個關(guān)鍵：不等關(guān)系詞；不等式.而這恰恰是不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型建立的兩個關(guān)鍵. 需要指出的是，這兩個關(guān)鍵既是數(shù)學(xué)模型的關(guān)系，也是不等關(guān)系中數(shù)學(xué)思維的模式.

二是給學(xué)生提供訓(xùn)練的機(jī)會. 基于上面的分析，可以讓學(xué)生對第三個例子進(jìn)行這種模式化的分析，譬如學(xué)生在分析維生素含量與價格的時候，不等關(guān)系詞可以這樣描述：食物X和Y的質(zhì)量分別設(shè)為x和y千克，那食物Z的質(zhì)量則可由總質(zhì)量減得；于是可以根據(jù)題意建立這樣的不等式關(guān)系：300x+500y+300（100-x-y）≥35000；700x+100y+300（100-x-y）≥40000.

在這樣的教學(xué)過程中，學(xué)生相當(dāng)于經(jīng)歷了一個舉二反一的過程，這對于相當(dāng)一部分學(xué)生來說，或許有些困難，但這不是關(guān)鍵，只要再加一些例子即可. 關(guān)鍵在于引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識到不等關(guān)系的發(fā)現(xiàn)對于解決問題所起的作用，認(rèn)識到不等關(guān)系模型建立的兩個關(guān)鍵因素. 通過變式訓(xùn)練形成良好的數(shù)學(xué)直覺，是生成數(shù)學(xué)意識的主要思維過程.

[?] 數(shù)學(xué)意識的固化關(guān)鍵靠生活

在應(yīng)試形態(tài)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，一般是不考慮學(xué)生將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到生活當(dāng)中的，純粹的數(shù)知識之間的推理讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維容易固定在數(shù)學(xué)知識之內(nèi). 而這對于數(shù)學(xué)意識的培養(yǎng)來說，可能是弊大于利. 筆者以為，數(shù)學(xué)意識在激活生成之后，面臨的臨門一腳的關(guān)鍵問題就是意識的固化問題.

如文章開頭說所，意識原本屬于心理學(xué)方面的內(nèi)容，因而意識的固化需要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，而意識的固化的規(guī)律，又在于學(xué)生對所形成意識的生活運(yùn)用. 不等關(guān)系的建立本身經(jīng)歷了從生活實(shí)例到數(shù)學(xué)的過程，但應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到那個生活實(shí)例是經(jīng)過抽象的，而反過來將不等關(guān)系運(yùn)用到生活當(dāng)中時，則是一個演繹的過程，是一個將生成的數(shù)學(xué)關(guān)系應(yīng)用到更加真實(shí)的生活情境中的過程.譬如有教師將酒駕實(shí)例中血液中酒精含量的不等關(guān)系，將某個路口中人流量的不等關(guān)系，真實(shí)地呈現(xiàn)在學(xué)生的面前，讓學(xué)生在分析的過程中，自覺地將不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型運(yùn)用到實(shí)例當(dāng)中去，在這個過程中學(xué)生的思維不僅瞄準(zhǔn)不等關(guān)系的結(jié)果，還瞄準(zhǔn)不等關(guān)系建立的過程，非常有利于學(xué)生數(shù)學(xué)意識的固化.

綜上所述，高中數(shù)學(xué)中要高度重視學(xué)生的數(shù)學(xué)意識培養(yǎng)，以切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).