摘 要：學習型的高中數(shù)學教師需要理論的引導，“數(shù)學三個世界”理論通俗易懂，且與學生的學習心理描述高度吻合，因而可以成為高中數(shù)學教學的指導理論. 三個世界是指具體世界、符號世界、形式世界. 實際教學中需要引導學生順利逐步進入每一個世界，從而完成思維的轉(zhuǎn)換，實現(xiàn)高中數(shù)學的有效教學.

關(guān)鍵詞：數(shù)學三個世界理論；高中數(shù)學；數(shù)學教學

高中數(shù)學教學實踐可以選擇兩個指導道路：一是經(jīng)驗型的道路，即教師通過自身不斷的教學實踐去總結(jié)反思，以尋找到一套適合于自己的教學的樸素理論，這種理論往往只有教者自己清楚，甚至有時候教者自己也不清楚自己受自己的理論支配，只知道小到某個具體的教學細節(jié)，大到某個具體的教學階段應該做什么事情；二是學習型的道路，在這條道路上教師往往會通過不斷地吸納教學理論來指導自己的實踐，從而讓自己的教學能夠在符合科學規(guī)范的基礎(chǔ)上運行. 相比較而言，前者需要付出的學習成本不大，只要努力實踐就行，而后者既需要實踐，又需要學習，但很顯然，后者可以行走得更遠.

筆者在教學中除了不斷實踐之外，也在不斷地學習. 在學習的過程中接觸到了“數(shù)學三個世界”的理論，感覺這一理論相對通俗易懂，對學生的數(shù)學學習過程也有著較強的指導意義. 于是在教學中不斷將其與自身的實踐結(jié)合起來，從而收獲了一些理解與認識，現(xiàn)將自己的學習與思考進行一個總結(jié)，以期對高中數(shù)學同行能夠起到拋磚引玉的作用.

[?] “數(shù)學三個世界理論”簡介

根據(jù)國內(nèi)數(shù)學教學研究者的觀點，由英國學者大衛(wèi)·托爾提出的“數(shù)學三個世界理論”是基于建構(gòu)主義學習理論的，其中又融合了認知發(fā)展心理學、信息科學等理論. 盡管國內(nèi)教學界尤其是數(shù)學教學界對建構(gòu)主義持有不同觀點，但從教學實踐的角度來看，我們還是發(fā)現(xiàn)這一理論對于學生的學習過程具有較為明確的指導意義.

“數(shù)學三個世界”理論認為，學生的學習分為具體世界、符號世界和形式世界三種世界. 那么，這三種世界如何理解呢？筆者結(jié)合高中數(shù)學教學的實例進行一個簡單的解讀.

具體世界又叫具體化世界.這是數(shù)學學習的初級階段，是學生邁向數(shù)學大門的學習起點. 在這個階段，學生對數(shù)學世界的感知是具象化的，是事物化的，譬如學生在學習“集合”時，教材（人教版高中數(shù)學必修1）給出了8個例子，其中“我國從1991-2003年的13年內(nèi)發(fā)射的所有的人造衛(wèi)星”“2004年1月1日之前與中華人民共和國建立外交關(guān)系的所有國家”等，都是學生可以具體感知的事物對象，這個對象與數(shù)學沒有直接的關(guān)系，而與學生的感性世界有關(guān). 此時，學生所感知到的是具體的、形象的具象事物.

符號世界又叫符號化世界. 符號顯然是對具體事物抽象的結(jié)果，抽象的對象當然是具體世界. 專家認為，符號世界是學生的思維從“解決數(shù)學問題”向“進行數(shù)學思考”的轉(zhuǎn)換過程，從經(jīng)驗的角度來看，這一判斷顯然是正確的. 如果注意分析，學生將上述“集合”知識教學中所舉的例子轉(zhuǎn)換成具體的集合（包括元素）概念與符號的過程. 需要指出的是，概念與符號原本就是抽象的結(jié)果，當學生將“研究對象統(tǒng)稱為元素”“把一些元素組成的整體叫做集合”記憶熟練時，實際上也就完成了從具體世界向符號世界轉(zhuǎn)化的過程.

形式世界也叫形式化世界. 形式世界是在數(shù)學學習過程中對符號世界再抽象的結(jié)果. 用專業(yè)的術(shù)語叫做“形式化定義”或“形式化公理”，這是兩個相對抽象的概念，轉(zhuǎn)換成經(jīng)驗語言就是將數(shù)學概念熟練化之后，成為一種基本的數(shù)學語言. 高中數(shù)學的內(nèi)容無疑是抽象的，沒有經(jīng)過高中數(shù)學學習的人肯定是聽不懂高中數(shù)學哪怕是最基本的概念的，這實際上就是因為他們沒有進入形式世界，無法理解這個世界的語言.

需要強調(diào)的是，這三個世界與學生的學習階段有關(guān)系但又不是唯一對應的關(guān)系，并不是說學生在小學階段所學的數(shù)學就是具體世界，而到了高中甚至是大學就是形式世界，事實上在高中數(shù)學學習階段這三個世界也都是存在的.

[?] 學習心理角度的“三個世界”

研究這三個理論，筆者發(fā)現(xiàn)其與學習心理角度的一些基本理論有重疊的地方，而這種不同理論指向同一個學習過程的描述，恰恰驗證了“數(shù)學三個世界理論”的合理性與正確性. 在對學生的學習心理進行研究的過程中，有人發(fā)現(xiàn)學生的學習需要經(jīng)過動作、圖象和符號三個階段，而這三個階段與“數(shù)學三個世界”理論存在著一定的吻合之處，下面舉例說明.

在“函數(shù)”概念的學習過程中，學生需要對具體的融合進行加工，譬如教材所舉的炮彈發(fā)射的高度隨時間變化的例子，學生在加工這一事例時，需要結(jié)合其他學科所學的相關(guān)知識，去構(gòu)建出炮彈軌跡的表象，從而為自己的形象思維提供一個有效的對象，這實際上就是動作加工——加工的是想象中的動作表象，而得到的其實就是與數(shù)學相關(guān)的具體世界的內(nèi)容；但動作加工的對象是短暫的，隨后學生的思維中就會出現(xiàn)炮彈斜拋的軌跡，而這實際上就意味著學生的思維進入圖象加工階段，相對于想象表象而言這是抽象的結(jié)果，隨后還會由斜拋運動反映出相應的表達式，如h=v0t+

t2，顯然這屬于符號世界；待到教師結(jié)合函數(shù)概念，跟學生學習了函數(shù)的定義之后，就需要經(jīng)過一個熟練化的過程，待到函數(shù)概念熟悉之后，就進入了符號加工階段，實際上也就是進入了形式化世界.

細心的同行可能發(fā)現(xiàn)，在“數(shù)學三個世界”及認知學習心理的三階段中均有“符號”這一關(guān)鍵詞，但所處的階段并不相同. 事實上這是一種正?，F(xiàn)象，在不同的理論當中同一個概念的含義不一樣是正常的，這也提醒我們在學習教學理論的時候，不能只看概念然后去自己建構(gòu)意義，而應當根據(jù)作者的意圖去理解概念的含義.

[?] “三個世界”理論下的教學實踐

有了對“三個世界”理論的理解，再來思考如何利用其指導教學實踐的問題. 筆者以為，用一個理論指導教學實踐應當首先體現(xiàn)在教學設(shè)計的過程中. 筆者在設(shè)計函數(shù)概念教學時，就結(jié)合教材上的事例進行了這樣的設(shè)計：

其一，豐富學生的加工事例. 除了上面提到的炮彈實例之外，教材還提供了南極上空臭氧空洞的面積隨著時間的變化而變化的關(guān)系. 筆者以為這一實例雖然緊扣發(fā)展需要，但卻顯得不近學生，因此這一事例可以延后呈現(xiàn)，在此之前再加上一些事例，譬如人的身高與年齡階段之間的關(guān)系等，學生對事例越熟悉，那其所生成的具體化世界就越合理.

其二，引導學生進行數(shù)學抽象. 數(shù)學抽象從數(shù)學的角度來看，是一個建立數(shù)學模型并用數(shù)學工具進行解釋的過程，從“三個世界”理論的角度來看，就是一個形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)換的過程，要想讓學生“數(shù)學地思考”，就需要將與數(shù)學無關(guān)的因素進行抽象，譬如上面事例中就需要將對炮彈運動軌跡的語言描述轉(zhuǎn)換成符號描述，“已知高度和運動時間的斜拋運動”轉(zhuǎn)換成“h=v0t+

t2”時，就完成了這種轉(zhuǎn)換，從而學生的思維也就進入了符號化世界.

其三，引導學生進行“數(shù)學化思考”. “數(shù)學化思考”與“數(shù)學地思考”有質(zhì)的區(qū)別，“化”字帶有直覺性、習慣性的意思，是學生將生疏的數(shù)學知識熟練化、直覺化的過程. 筆者跟學生強調(diào)，運用“函數(shù)”這一概念的時候，不要過多地思考其中的非空數(shù)集或?qū)P(guān)系等關(guān)鍵詞，用函數(shù)概念的時候就要將它當成自己的名字一樣去熟知它，只有需要用函數(shù)概念進行具體分析的時候才需要考慮其定義. 只有經(jīng)過這樣的過程，學生的思維才會從邏輯思維轉(zhuǎn)換成直覺思維，從而讓學生進入形式世界.

這樣的教學設(shè)計所導致的教學實踐，就是學生在學習過程中可以按照“三個世界”完成三個步驟的學習. 這三個步驟環(huán)環(huán)相扣，同時又遵循了學生的認知發(fā)展規(guī)律，只要操作得當，學生就會取得比較好的收獲. 更重要的是，這樣的教學過程可以讓學生的學習形成一種具體的習慣，從而可以化解學生學習策略上的困難.

[?] 用“三個世界”理論指導反思

教學反思是成長為學習型教師的必然環(huán)節(jié)，教學反思不是一個簡單的回顧教學的過程，而應當是通過一定的理論學習與運用，將自己的實踐與理論進行對比，以理論指導更好的教學設(shè)計與教學實踐的過程.

“數(shù)學三個世界理論”作為一種通俗易懂的數(shù)學教學理論，其對教學反思的作用是明顯的，就筆者的實踐而言，觀察學生在學習過程中的具體表現(xiàn)，并思考其與教學預設(shè)之間的距離，可以讓理論與實踐之間更好地銜接. 比如說筆者就發(fā)現(xiàn)部分學生在進入符號世界時會出現(xiàn)困難，起初筆者以為是理論存在問題，后來才發(fā)現(xiàn)原來是這部分學生的抽象思維能力較弱的原因，而一旦教師通過指導，幫助他們完成數(shù)學抽象，他們就能順利地進入符號化世界.

總之，“數(shù)學三個世界”理論對于高中數(shù)學教學來說是有著強烈的指導作用的，充分地將其與教學實踐結(jié)合起來，可以促進有效教學的順利生成.