摘 要：課前預設好的教學流程常因為學生的思維“不聽話”而被打亂. 如果你有足夠的耐心和一個平靜的心態(tài)，順著學生的思路走下去，積極引導學生進行探索，讓學生在探索過程中學會修正和反思，你會發(fā)現(xiàn)學生的思維是多么鮮活、多么可貴！

關鍵詞：圓錐曲線；數(shù)學活動；自主探究

在課堂教學中，幾乎每一位老師都有這樣的經(jīng)歷：課前預設好的教學流程常因為學生的思維“不聽話”而被打亂. 如果你有足夠的耐心和一個平靜的心態(tài)，順著學生的思路走下去，積極引導學生進行探索，讓學生在探索過程中學會修正和反思，你會發(fā)現(xiàn)學生的思維是多么鮮活、多么可貴！此時，教師不是唯一主角，從某種意義來說，只是“現(xiàn)在直播的導演”，學生成了教學活動的中心和主體. 筆者在一次教學活動中，沒有完成計劃中的教學任務，而是與學生進行了一次“意外探究之旅”，一起與大家分享，以饗讀者.

題目 過拋物線y2=2x的焦點的一條直線和此拋物線相交，兩個交點的縱坐標為y1，y2，求證：y1·y2=-1.

該題方法自然、思路清晰，學生較快可以完成. 對于這樣一個問題學生在解決前腦子里就會產(chǎn)生天生的“好奇心”. 有了這種“好奇心”，教師就可以放手讓學生自己去探究他想要知道的這些問題.

學生1：直線雖然過定點，但斜率在變化，兩交點坐標自然在變化，那么兩交點縱坐標的積怎么會是常數(shù)呢？這個常數(shù)與拋物線有關系嗎？

學生的問題出乎筆者的意料，于是筆者決定放棄原來的教學計劃，和學生一起來進行探究. 對學生的問題給予肯定，并讓該學生自己推導猜想是否正確.

學生2：我通過計算得到：x1·x2=，但橫坐標的和都不是常數(shù). 同時知道這個常數(shù)與拋物線是有關系的.

于是，師生可以共同歸納出以下結論：

結論1：過拋物線y2=2px的焦點的一條直線和此拋物線相交，兩個交點的縱坐標為y1，y2，求證：y1·y2=-p2，x1·x2=.

筆者心里暗喜，結論1可以說是意外收獲，于是乘勝追擊，讓學生的思維走上進一步反思的軌道，拋出以下問題.

教師：在結論1中直線是過焦點的，這種特殊性對結論有什么影響？想想還有什么問題值得我們關注與反思？

教師：過x軸上的任一定點（a，0）的直線與拋物線y2=2px交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），y1·y2和x1·x2是否也都為常數(shù)呢？

問題一提出，學生都積極動腦，筆者也走下講臺和學生一起討論. 注意到有個學生的思路比較正確，筆者就將他的解答過程投影，并與大家分享.

學生3：可設過定點（a，0）的直線方程為：x=ty+a，

代入y2=2px得，y2-2pty-2pa=0，

可知只要方程存在兩解，則有y1·y2=-2pa，也容易得到x1·x2=a2.

筆者很滿意學生2的回答，并進行了表揚，這是一個很好的問題.

教師：本質是原題條件與結論的一般化推廣，探究的問題結論既正確也優(yōu)美，于是可得到如下結論.

結論2：過x軸上的任一定點（a，0）的直線與拋物線y2=2px交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），則有y1·y2=-2pa，x1·x2=a2.

為了讓這樣的良好氛圍不被打斷，讓學生的思考能夠得以延續(xù)，于是筆者拋出下面的問題.

教師：斜率為定值k0的直線與拋物線y2=2px交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），y1·y2和x1·x2是否也為常數(shù)呢？

學生4：設直線方程為y=k0x+b，代入y2=2px消x可得：k0y2-2py+2pb=0，

顯然y1·y2=與變量b有關，不是常數(shù)，但可以發(fā)現(xiàn)y1+y2=卻是定值.

教師：此時x1+x2與x1·x2會是常數(shù)嗎？

經(jīng)歷眾多的挫折后終于得到了一個好結果，學生喜出望外. 學生很快計算出x1+x2與x1·x2，發(fā)現(xiàn)它們也都不是常數(shù). 看來經(jīng)歷這么多反思與探究只有下列結論是成立的.

結論3：斜率為定值k0的直線與拋物線y2=2px交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），則有y1+y2=.

對上述探究的思維基本告一段落，于是筆者引導學生再回頭審思結論2.

教師：如果把結論2中的定點（a，0）確定為（2p，0），那么結論將變?yōu)椋簓1·y2= -4p2，x1·x2=4p2，顯然這是一對相反數(shù)，這意味著什么呢？

一串聯(lián)想會在學生腦子中生成，這時有學生想到：

學生5：=-1，即kOA·kOB=-1?OA⊥OB.

一個漂亮的結論就此形成：

結論4：過x軸上的任一定點（2p，0）的直線與拋物線y2=2px交于A，B兩點，則有OA⊥OB. （其實這就是課本選修2-1第73頁習題6的一般性結論）

顯然，學生的激情已經(jīng)被點燃，思維不斷被打開，如果筆者不繼續(xù)將這個問題深化下去，就錯過了一個提高學生思維的最佳契機，筆者又追問一個問題：“還可否有一般性的猜想？能否證明？”話音剛落，就有學生舉手了.

學生6：如果過原點O任作兩直線交拋物線y2=2px于A，B兩點，且OA⊥OB，則直線AB是否過定點P（2p，0）？

學生7：如果過拋物線y2=2px上任一點M作兩直線交拋物線于A，B兩點，且MA⊥MB，則直線AB是否過定點P（2p，0）？

學生8：已知橢圓+=1（a>b>0）的右頂點M，點A，B是橢圓上不同于M的兩點，如果MA⊥MB，則直線AB是否過x軸定點？

課堂上學生還提出了其他不同的猜想，筆者一方面要鼓勵學生大膽猜想，另一方面要防止學生不做探究妄下結論，要告誡學生切忌想當然，以此培養(yǎng)學生實事求是的科學態(tài)度，避免想當然的思維方式. 事實上，反思猜想1容易證明是正確的，但反思猜想2是不正確的，證明如下：

設A

，y1

，B

，y2

，M

，y0

，

則=

，y1-y0

，=

，y2-y0

，

由·=0得：y1y2+y0（y1+y2）+y+4p2=0， ①

設AB的方程為：x=ty+a，代入y2=2px得y2-2pty-2pa=0，

所以y1+y2=2pt，y1y2=-2pa，代入①式可得-a+ty0+x0+2p=0，

即：x0+2p=n（-y0）+a，

所以AB過定點（x0+2p，-y0）.

于是有下列結論成立：

結論5：過原點O任作兩直線交拋物線y2=2px于A，B兩點，且OA⊥OB，則直線AB過定點P（2p，0）.

結論6：過拋物線y2=2px上任一點M作兩直線交拋物線于A，B兩點，且MA⊥MB，則直線AB過定點（x0+2p，-y0）.

通過探究卻發(fā)現(xiàn)結論6不像我們預想的那么美好. 可能這時學生的情緒會從一開始想到反思問題時的興致高漲一下子跌到了低谷，思想上所承受的打擊肯定是很大的，這時教師要給學生以鼓勵，并告誡學生在科學探究道路上這種情況是經(jīng)常發(fā)生的，我們要經(jīng)得起打擊，受得起挫折. 此時，筆者引導學生回到學生8的猜想，這是一個很好的思維遷移.

教師：同學們，在橢圓中是否有類似的結論呢？猜想3是否成立？

學生又恢復了激情，埋頭計算起來，由于有一定的難度，故最后師生共同探究完成.

探究分析：設直線AB的方程為：x=my+t，

聯(lián)立x=my+t，

+

=1，消去x可得（a2+m2b2）y2+2mtb2y+b2（t2-a2）=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），由韋達定理知，y1+y2=-，y1y2=.

由題意有，·=0，即x1x2-a（x1+x2）+a2+y1y2=0. （*）

又x1+x2=m（y1+y2）+2t，x1x2=（my1+t）·（my2+t）=m2y1y2+mt（y1+y2）+t2，

分別代入（*）化簡得，b2t+ab2+a2t-a3=0，解得t=，

所以，直線AB恒過定點P

，0

.

于是，教師在黑板上寫出了如下結論.

結論7：已知橢圓+=1（a>b>0）的右頂點M，點A，B是橢圓上不同于M的兩點，如果MA⊥MB，則直線AB過定點P

，0

.

教師：其實，根據(jù)上面的推導過程易知雙曲線也有類似的結論，同學們可以課后證明如下結論.

結論8：已知雙曲線-=1（a，b>0）的右頂點M，點A，B是雙曲線上不同于M的兩點，如果MA⊥MB，則直線AB過定點P

，0

.

[?] 結束語

筆者有理由相信，經(jīng)歷了這種探究教學的整個過程，經(jīng)歷了成功與失望之后，學生在獲得知識的同時，得到更多的是在數(shù)學問題的探究解決過程中提高了自身提出問題的意識、發(fā)現(xiàn)問題的能力. 科學的推理能力和決策能力，這才是探究性教學的價值所在. 與此同時，筆者也在這節(jié)課中收獲頗豐，深深體會到今后要積極轉變教學方式，從傳統(tǒng)的知識傳授者轉向適應學生發(fā)展的促進者，轉向學生學習的組織者、引導者、參與者、指導者和欣賞者，從而把傳統(tǒng)文本主義的教學變成活動式教學，變學生被動參與為主動參與，變靜態(tài)課堂為動態(tài)課堂.