摘 要：新課程教學(xué)需要加強課堂教學(xué)效率，這是教學(xué)第一位的變革，因此以根本為本的教學(xué)方式成為課堂教學(xué)的典型. 本文以一堂向量復(fù)習(xí)教學(xué)的根本為研究對象，從根本教學(xué)的實踐和思考中獲得收獲.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；教學(xué)；自主學(xué)習(xí)

前年羅增儒教授在“中國數(shù)理化基礎(chǔ)教育白皮書”發(fā)布會上作了一個“中國高考之我見”的發(fā)言，其間，提到一點看法是“高考改革，應(yīng)該消滅‘一年復(fù)習(xí)’”. 作為一線教師，筆者雖不承認(rèn)高三這一年是無效勞動，但也不得不承認(rèn)，有些時候自己確實讓學(xué)生做了很多不需要做的題，上了很多低產(chǎn)出的課. 羅教授提出了根本教學(xué)才是最核心和最簡潔的教學(xué)方式，“根本教學(xué)法”的探索意在令教師樹立“題根+生本”的課程意識，貫徹“授之以漁”的宗旨，提高課堂的教學(xué)質(zhì)量，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，達到高質(zhì)高效的目的，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān). 筆者抱著學(xué)習(xí)先行者與反思自身的態(tài)度聽取了相關(guān)的實踐展示課，深有所感，提筆成文，難免寡陋，敬請諒解.

依照根本教學(xué)法“題根+生本”的核心理念，以及展示課的觀感，筆者認(rèn)為它的課堂教學(xué)是以教師整理的題根學(xué)案為依托、以學(xué)生思考為主體展開教學(xué)活動的教師引領(lǐng)下的學(xué)生探索與研學(xué). 這樣的形式，對教師這個角色是一種挑戰(zhàn)，如果教師執(zhí)著于帶領(lǐng)學(xué)生的思考進入自己的設(shè)計而不關(guān)注學(xué)生思維發(fā)展的線索，將無異于滿堂灌，又回到傳統(tǒng)教學(xué)的老路上. 筆者認(rèn)為教師在進行課堂教學(xué)進程設(shè)計時應(yīng)注意以下兩點：

1. “尋根問蒂”需自然生發(fā)、順勢而為

對 “題根”的追問，事實上就是對某類共性問題解題策略的探求，目的是為了提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，促進思維的發(fā)展，但如果這樣的追問不是自然生發(fā)的，那么學(xué)生也只能是囫圇吞棗，嘗不出其中滋味.

以兩節(jié)“向量恒等式”的學(xué)案課為例，課例1從上課伊始就“回歸課本”，要學(xué)生證明已知向量a，b為非零向量時有a⊥b?

a+b

=

a-b

，感覺有些突兀，為什么要證明此結(jié)論？目的是什么？讓學(xué)生有些摸不著頭腦. “回歸”應(yīng)當(dāng)是從外顯的問題回歸到問題的本質(zhì)，這一點從課例2中得到了體現(xiàn)：首先提出一個啟動問題“在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則·=__________.”

然后學(xué)生思考后提出兩種解法，一是根據(jù)問題結(jié)論的普適性，通過特例“正三角形”得出答案；二是利用平面向量基本定理將未知向量用已知向量進行分解的一般化處理方法.

教師在對這兩種方法做出評價，肯定了學(xué)生的思考后，提問有沒有更好的方法. 在學(xué)生思考不得其所時，給出“平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和”的證明過程，啟發(fā)學(xué)生通過自主閱讀，從該命題證明

a+b

2+

a-b

2的過程中來尋找啟動問題的原型a·b的處理方式，由學(xué)生來推導(dǎo)得到a·b=[（a+b）2-（a-b）2]，最終將其應(yīng)用于啟動問題，起到了最大限度簡化的作用，使學(xué)生初步認(rèn)識到了該恒等式的價值所在. 這個過程是指向問題解決的需要而引發(fā)的，是相對自然的.

這樣的教學(xué)設(shè)計本身也是一種示范，示范如何思考、如何優(yōu)化解題、如何從根本上提升思維能力，示范反思的重要性，久而久之，便能促使學(xué)生自然養(yǎng)成反思的習(xí)慣.

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“善于‘退’，足夠地‘退’，退到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅”. 那么，筆者想說：“退要有方向地退，不能漫無目的，退在碰壁處，需迂回前進，退時有條不紊，自然胸有成竹.”

2. “枝舒葉展”需扎實根基、灌溉到位

高三復(fù)習(xí)課不應(yīng)該是習(xí)題的簡單堆砌，也不應(yīng)該為了講一個題組而將相近的題生拉硬拽成一個題組. 習(xí)題的講評或練習(xí)應(yīng)當(dāng)為基本概念和基本規(guī)律的體現(xiàn)而服務(wù)，通過這組題，復(fù)習(xí)了哪些基礎(chǔ)知識，利用了哪些基本規(guī)律，體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想，應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)方法，解題原型是什么，題根落在何處？只有這樣，才能使課堂效果更好、效率更高、效益更大.

仍以兩節(jié)“向量恒等式”的學(xué)案課為例，在 “尋根”結(jié)束后，應(yīng)當(dāng)首先夯實根基，再由題根展開應(yīng)用. 由于“恒等式”應(yīng)用的向量問題多以三角形為背景，而結(jié)論本身來源于平行四邊形，因此需要在具體問題中將其進行等價變形.

課例1在無任何應(yīng)用背景之下，直接讓學(xué)生思考a·b=[（a+b）2-（a-b）2]的幾何意義，明顯感覺到學(xué)生有些不知所措，“它本來就是平行四邊形里推出的結(jié)論，怎么還有別的幾何意義？”造成之后的“根”繁葉茂環(huán)節(jié)有生搬硬套之嫌.

課例2在此處未做停留，立即將問題帶入下一題：P是棱長為2的正方體上一動點，AB是正方體內(nèi)切球的任意一條直徑，則·的取值范圍是________. 其背景是立體幾何，一下子拔高了難度，且教師畫完圖立即提問學(xué)生，學(xué)生基本沒有思考的時間，當(dāng)然無法做出反饋.

其實，課例2的啟動問題背景就是三角形，教師可以在此稍做停頓，讓學(xué)生利用題設(shè)條件“M是BC的中點”首先對“恒等式”進行簡化，得到三角形中的等價形式：

·=[（+）2-（-）2]=

-

=2-2（M為BC中點），并比較之前學(xué)生利用平面向量基本定理將未知向量用已知向量進行分解的解法二：

·=（+）·（+）=（+）·（-）=2-2.

那么，學(xué)生對于這兩種解法的本質(zhì)聯(lián)系就一目了然了.

接著給出一個相對簡單、相近的例題，比如：在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D、E是線段BC上兩點，且DE=BC，則·的取值范圍是_______. 在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)進行鞏固，即學(xué)即用，使學(xué)生進一步看到“恒等式”的應(yīng)用價值，從而引出學(xué)生繼續(xù)深入學(xué)習(xí)的熱情.

然后給出兩個變式：

變式1：在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=60°，C為弧上的動點，AB與OC交于點P，則·的最小值是________.

變式2：已知a·b=0，向量c滿足（c-a）·（c-b）=0，

a-b

=5，

a-c

=3，則a·c的最大值為________.

難度逐次遞進，但與啟動問題同根同源. 通過習(xí)題的巧妙編排，使學(xué)生不斷地思考，在思考中鞏固、深化、提高. 其次，個人認(rèn)為“根本教學(xué)法”必需的一個步驟是學(xué)生的自我總結(jié)，應(yīng)當(dāng)穿插在各個環(huán)節(jié)之后，每上一個臺階，就需要摁下暫停鍵，讓學(xué)生有時間反思整理.

我們知道只有將碎片化的解題經(jīng)驗進行組織加工，使之處于有序狀態(tài)，建立有序合理的結(jié)構(gòu)，找到條件與結(jié)論的紐帶，才能在解題中從整體上去把握，促進解題策略的形成和知識成分的系統(tǒng)化.

這點，課例2做了，但比較滯后，是在做完立體幾何與解析幾何中的拓展問題后才留時間給學(xué)生小結(jié)的，學(xué)生歸納了幾點“恒等式”使用的適用條件：共起點的向量求數(shù)量積的值或范圍，在已知三角形中有一邊確定或其范圍一定. 總結(jié)得很不錯，但完全可以在變式訓(xùn)練結(jié)束，“開枝散葉”環(huán)節(jié)之前就進行，因為人腦對事物規(guī)律的概括總是逐步完成的. 及時的總結(jié)后，學(xué)生可以在后續(xù)問題中對此進一步鞏固，達到當(dāng)堂理解的效率最大化.

[?] 根本教學(xué)設(shè)計的建議

有句廣告詞叫“有舍才有得”.高三的解題教學(xué)，不是教師展示解題能力的舞臺，應(yīng)當(dāng)是學(xué)生迸發(fā)思考的天地，沒有學(xué)生呼應(yīng)，再好的方法也只能是欣賞，有了學(xué)生的參與，課堂才能成為一股活泉.在“題根+生本”的核心理念下，教師首先要依照對題根的追問——理解——應(yīng)用——拓展設(shè)計好每個課時的主線，明確教學(xué)的目標(biāo)，適度地引導(dǎo)學(xué)生圍繞這個主旨來展開交流，不要指望一節(jié)課能面面俱到. 其次，要確保課堂活動的主體是學(xué)生，聽從學(xué)生思考的節(jié)奏來把握教學(xué)的進程，不能將教師的設(shè)計強加在學(xué)生思考之上. 唯有如此，學(xué)生才能在課后的自省中悟到教師教學(xué)設(shè)計的用心所在，而感到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有回味的.

近幾年的數(shù)學(xué)高考，以能力立意命題，都強調(diào)寬角度、多視點地考查數(shù)學(xué)素質(zhì)，考查數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展. 如何引導(dǎo)學(xué)生在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的過程中抓住根本，合理利用時間，提高學(xué)習(xí)效率，除了我們平時一直談?wù)摰牟豢珊鲆曊n本，不可忽視“雙基”，不可忽視數(shù)學(xué)思想方法的滲透總結(jié)，不可忽視《考試大綱》，不可忽視對學(xué)生養(yǎng)成規(guī)范、準(zhǔn)確、快速的解題習(xí)慣等等，更應(yīng)充分利用習(xí)題這一載體，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力進而提高他們分析、解決問題的能力. “根本教學(xué)法”的探索正是為了適應(yīng)這樣的教學(xué)發(fā)展需求應(yīng)運而生的. 然而“題根+生本”核心理念對教師和學(xué)生在教學(xué)觀念和數(shù)學(xué)素養(yǎng)上都提出了一個挑戰(zhàn)：如何讓教師放得下，讓學(xué)生放得開.

首先，根本教學(xué)法希望打造的是“先學(xué)后教，以學(xué)定教，少教多學(xué)，師生互動”的課堂， 讓學(xué)生從被動的聽眾變成課堂活動的主角，做到“題根分析學(xué)生講、題根生長學(xué)生提、樹狀網(wǎng)絡(luò)學(xué)生織、問題探討師生議”，那么教師首先要轉(zhuǎn)變觀念，走下神壇，傾聽學(xué)生，調(diào)整好角色，做好領(lǐng)路人，課例2中，教師的親和力使教師在與學(xué)生的交流互動中建立了信任，呈現(xiàn)了一個活潑的生本課堂. 其次，在題根學(xué)案的教學(xué)設(shè)計上要明確：學(xué)案的作用是提綱挈領(lǐng)，指明教學(xué)線索，推進學(xué)生的思考，體現(xiàn)思維發(fā)展的過程性，這點，課例3“離心率”做得很好，重梯度、重關(guān)聯(lián)、重過程，因此教學(xué)預(yù)期基本在課堂上都圓滿完成了. 再次，教師更需提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，積累教學(xué)智慧，善于捕捉不時出現(xiàn)的“陰錯陽差、節(jié)外生枝、靈光一閃”的“意外風(fēng)景”. 這些動態(tài)生成的資源雖不在我們預(yù)設(shè)的視線之內(nèi)，卻是學(xué)生智慧的火花，是一筆寶貴的財富，需要我們用自己的一雙慧眼去給予更多關(guān)注，學(xué)生得到了更多的理解，才更愿意跟隨教師，更愿意親近數(shù)學(xué).