【摘 要】解析幾何離不開幾何本身的一般規(guī)律，只要我們細(xì)心觀察，不斷總結(jié)，找到探究性、開放性問題的幾何背景，結(jié)合從特殊到一般的解題思想方法，就能使同一類問題得以順利解決，真正達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果。

【關(guān)鍵詞】解析幾何 舉一反三 觸類旁通

【中圖分類號】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）04-0149-01

復(fù)習(xí)時要注意不能簡單地反復(fù)練習(xí)，而應(yīng)多從例題解法的探索、思路的總結(jié)、規(guī)律的應(yīng)用等方面入手，從例題的典型性中體會到數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，從而達(dá)到知識的系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，并通過模擬習(xí)題學(xué)會舉一反三、觸類旁通，做到以例題輻射整體，實(shí)現(xiàn)由課本內(nèi)到課本外的突破。

2014年福建省高考（理科）數(shù)

學(xué)題：已知雙曲線E：

（a>0，b>0）的兩條漸近線分別

為l1：y=2x，l2：y=-2x。（1）求

雙曲線E的離心率；（2）如圖1，O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，動直線l分別交直線

l1、l2于A、B兩點(diǎn)（A、B分別在

第一、第四象限），且△OAB的面

積恒為8，試探究：是否存在總與直線l有且只有一個公共點(diǎn)的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程，若不存在，說明理由。

一 說立意背景

過雙曲線的一條漸近線上任一點(diǎn)A引與A同側(cè)該雙曲線切線交另一支漸近線于點(diǎn)B，則△OAB的面積恒為定值。

本題“以動直線l分別交直線l1、l2于A、B兩點(diǎn)，且△OAB的面積恒為定值，探究是否存在雙曲線E？”該問題是背景的逆向思考，由此可以預(yù)測雙曲線E是必存在的?？忌谔骄壳€的存在性的同時，不僅要求熟練地運(yùn)用代數(shù)方法研究雙曲線的幾何性質(zhì)，還要求利用特殊與一般的解題思想進(jìn)行預(yù)設(shè)方程，在考查運(yùn)算能力的同時，突出考查了學(xué)生的探究能力，對其轉(zhuǎn)化與化歸能力也提出了更高的要求，試題充分彰顯了新課程的新理念。

二 說解答

（1）略。（2）由（1）知，設(shè)方程為 ，設(shè)

直線l與x軸相交于點(diǎn)C，當(dāng)l⊥x軸時，若直線l與E有且只

有一個公共點(diǎn)，則|OC|=a，|AB|=4a，所以 |OC|·|AB|=8，

因此 a·4a=8，解得a=2，所以方程為 。

當(dāng)直線l不與x軸垂直時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，依題意得k>2或k<-2。

則C（ ，0），記A（x1，y1），B（x2，y2），由S△OAB=

|OC|·|y1-y2|得： ，則△=4k2m2+

4（4-k2）（m2+16）=-16（4k2-16-m2）=0。即直線l

與E有且只有一個公共點(diǎn)。因此，存在雙曲線 。

三 說思維

教學(xué)中注意充分挖掘題目中隱含的幾何關(guān)系，理解出題者出題意圖及幾何背景，引導(dǎo)學(xué)生通過考查極端位置，探索出“定的”是多少，然后再進(jìn)行一般性證明或計(jì)算。相同的考題在2012年全國數(shù)學(xué)福建理工卷也出現(xiàn)。

如圖2，橢圓E：

（a>b>0）的左焦點(diǎn)為F1，右

焦點(diǎn)為F2，離心率e= 。過F1

的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且

△ABF2的周長為8。（1）求橢圓

E的方程；（2）設(shè)動直線l：y=

kx+m與橢圓E有且只有一個公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q。試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

背景1：已知橢圓的一個焦點(diǎn)F及相應(yīng)準(zhǔn)線l，若點(diǎn)P是橢圓上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)F作PF的垂線交直線l于點(diǎn)Q，則直線PQ與橢圓相切，且P為切點(diǎn)。

背景2：已知橢圓的一個焦點(diǎn)F及相應(yīng)準(zhǔn)線l，過準(zhǔn)線l上任意一點(diǎn)Q，作橢圓的兩條切線PQ、RQ，切點(diǎn)分別為P、R，則直線PR過橢圓的焦點(diǎn)F。

該問題是背景1的逆向思考，可以預(yù)見定點(diǎn)就是橢圓的右焦點(diǎn)M（1，0）。試題沒有直接要求考生證明PM⊥MQ，而以開放題型出現(xiàn)，要求考生探究定點(diǎn)的存在性，本例題與今年解析幾何試題有異曲同工之妙。

總之，解析幾何離不開幾何本身的一般規(guī)律，只要我們細(xì)心觀察，不斷總結(jié)，找到探究性、開放性問題的幾何背景，結(jié)合從特殊到一般的解題思想方法，就能使同一類問題得以順利解決，真正達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果。

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〔責(zé)任編輯：林勁〕