基于拓?fù)鋬?yōu)化的薄板加筋方法研究

鐘煥杰，金海波

(南京航空航天大學(xué)飛行器先進(jìn)設(shè)計(jì)技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京 210016)

薄板加筋結(jié)構(gòu)因其跨度大、質(zhì)量輕、結(jié)構(gòu)效率高等特點(diǎn)被廣泛應(yīng)用在航空航天、船舶、汽車(chē)等工業(yè)領(lǐng)域，這種結(jié)構(gòu)一般都是由薄板和相應(yīng)的加強(qiáng)筋組成的。對(duì)薄板結(jié)構(gòu)進(jìn)行加筋處理，能夠以不增加結(jié)構(gòu)質(zhì)量為前提而改善結(jié)構(gòu)的相關(guān)性能，加筋處理已成為提高薄板結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的主要方法之一。

薄板加筋結(jié)構(gòu)可以通過(guò)改變筋條的截面形式、筋條間距以及筋條和薄板自身的尺寸來(lái)滿(mǎn)足工程實(shí)際對(duì)加筋板結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性等多方面的要求。常規(guī)的加筋板優(yōu)化設(shè)計(jì)，可以先按滿(mǎn)應(yīng)力設(shè)計(jì)計(jì)算出相應(yīng)載荷下的等效蒙皮厚度，然后選取一定的加筋比和厚度比對(duì)該等效板進(jìn)行穩(wěn)定性設(shè)計(jì)。

拓?fù)鋬?yōu)化方法將結(jié)構(gòu)的拓?fù)洳季肿鳛橹饕脑O(shè)計(jì)變量，通常要求在一定的設(shè)計(jì)空間內(nèi)尋找出最優(yōu)的材料分布形式，在滿(mǎn)足結(jié)構(gòu)相關(guān)力學(xué)性能的前提下使結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小化［1］。如果將拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法跟薄板加筋優(yōu)化設(shè)計(jì)聯(lián)系起來(lái)，可以將薄板中的筋條布局設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為薄板中材料的分布問(wèn)題。本文主要對(duì)常規(guī)的薄板加筋設(shè)計(jì)提出一個(gè)合理的優(yōu)化流程，然后將拓?fù)鋬?yōu)化方法應(yīng)用于薄板加筋設(shè)計(jì)中，實(shí)現(xiàn)以拓?fù)鋬?yōu)化指導(dǎo)薄板加筋。

1 常規(guī)的薄板加筋設(shè)計(jì)

1.1 蒙皮和筋條的優(yōu)化設(shè)計(jì)

在薄板加筋結(jié)構(gòu)中，如果筋條間距較大，筋條較高，容易出現(xiàn)蒙皮局部屈曲和筋條腹板局部屈曲;如果筋條間距較小，筋條數(shù)量多、高度小，則容易出現(xiàn)加筋板結(jié)構(gòu)的總體屈曲。因此，合理地協(xié)調(diào)筋條和蒙皮之間的材料配置及其相關(guān)的尺寸參數(shù)就顯得尤為重要［2］。

對(duì)一塊在軸壓載荷下四邊簡(jiǎn)支的長(zhǎng)方形薄板進(jìn)行加筋時(shí)，首先根據(jù)滿(mǎn)應(yīng)力設(shè)計(jì)計(jì)算出該薄板的等效蒙皮厚度T:

式中:F為矩形薄板的軸壓載荷;［σ］為材料許用應(yīng)力;W表示矩形薄板的寬度。

將橫截面中筋條跟蒙皮的截面積之比定義為加筋比K1，將筋條跟蒙皮的厚度之比定義為厚度比K2，可表示為:

式中:Sst和Ssk分別表示筋條和蒙皮的橫截面積;tst和tsk分別表示筋條和蒙皮的厚度。本文中的筋條采用矩形筋條，筋條高度為h，則筋條和蒙皮的橫截面積可表示為:

式中:N表示加筋板結(jié)構(gòu)中的筋條個(gè)數(shù)。這樣，就將等效蒙皮的材料按加筋比分配給了筋條和蒙皮，材料分配前后橫截面面積應(yīng)該是相等的，則:

聯(lián)立公式(2)、(3)、(4)，得蒙皮厚度為:

由薄板屈曲理論可知薄板屈曲理論公式如下［3］:

式中:σcr為薄板臨界屈曲應(yīng)力;E為材料彈性模量;b為薄板受壓邊寬度;t為薄板厚度;系數(shù)k的取值受載荷形式、四邊支持情況以及薄板長(zhǎng)寬比等影響。對(duì)載荷形式為壓縮載荷、四邊簡(jiǎn)支且長(zhǎng)寬比大于1的薄板而言，k=4。由于加筋板筋條間的蒙皮受筋條的支持，致使其四邊支持情況處于簡(jiǎn)支跟固支之間，引入一個(gè)筋條支持系數(shù)的概念kr，則系數(shù)k=4kr，其中kr取值跟加筋板結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，在此取值為1.4。

此時(shí)，由式(6)可知，為了保證加筋板蒙皮局部屈曲臨界應(yīng)力與材料許用應(yīng)力相同，筋條間距w的計(jì)算公式可表示為:

通過(guò)筋條間距w可得矩形薄板的加筋個(gè)數(shù)N:

式中必須對(duì)N進(jìn)行向上取整。

最后，聯(lián)立式子(2)、(3)、(4)，可得筋條高度:

至此，則計(jì)算出了滿(mǎn)足蒙皮局部屈曲要求的加筋板截面所有參數(shù)。

1.2 肋間距的優(yōu)化設(shè)計(jì)

對(duì)于總體屈曲要求，可根據(jù)加筋板總體屈曲理論公式來(lái)優(yōu)化肋間距從而滿(mǎn)足其總體屈曲要求，總體屈曲公式如下:

式中:Ncr為臨界屈曲載荷;l為肋間距;Dcom為加筋板軸向彎曲剛度系數(shù)。加筋板軸向彎曲剛度系數(shù)計(jì)算公式如下:

式中:Δzc為蒙皮塊截面的中心面到組合截面形心軸之間的距離;Ist為每一根筋條相對(duì)于組合截面形心軸的慣性矩。通過(guò)肋間距l(xiāng)可求得矩形薄板的加肋個(gè)數(shù)M:

至此，則對(duì)長(zhǎng)寬比固定的受軸壓載荷的四邊簡(jiǎn)支矩形薄板進(jìn)行了強(qiáng)度和穩(wěn)定性設(shè)計(jì)。

1.3 穩(wěn)定性設(shè)計(jì)流程

上面兩小節(jié)主要討論了如何在加筋比K1和厚度比K2確定的前提下，設(shè)計(jì)出滿(mǎn)足蒙皮局部屈曲和總體屈曲要求的加筋板結(jié)構(gòu)。但是，在設(shè)計(jì)之初加筋比和厚度比的選取具有一定的隨意性，一般由于設(shè)計(jì)人員根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)選取。本文則提出一個(gè)設(shè)計(jì)流程，即對(duì)于一塊長(zhǎng)寬比不變的等效厚度蒙皮而言，加筋比K1和厚度比K2可在一定的范圍內(nèi)取值，然后根據(jù)相關(guān)的加筋比和厚度比進(jìn)行薄板加筋設(shè)計(jì)，完成一次設(shè)計(jì)之后，更新加筋比和厚度比，直到更新完所有取值。優(yōu)化流程圖如圖1所示。

圖1 加筋設(shè)計(jì)流程

接下來(lái)，利用Maple軟件對(duì)上述優(yōu)化流程進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)，對(duì)2 000mm×1 000mm的矩形薄板結(jié)構(gòu)進(jìn)行加筋優(yōu)化設(shè)計(jì)，加筋板四邊簡(jiǎn)支，軸向壓縮載荷F=1.5×106N，材料為鋁合金材料，彈性模量E=70GPa，泊松比 μ =0.3，密度 ρ=2.7E －9 t/mm3，許用應(yīng)力［σ］ =300MPa，將加筋比 K1和厚度比 K2的取值范圍分別設(shè)置為0.4～1.0和1.1 ～1.8，計(jì)算步長(zhǎng)都為 0.1，這樣就有 56 次計(jì)算得到56組計(jì)算結(jié)果。在56組計(jì)算結(jié)果中，為了避免筋條局部失穩(wěn)，濾掉筋條高度大于40mm的計(jì)算結(jié)果，選出肋個(gè)數(shù)最少且在筋條個(gè)數(shù)和肋個(gè)數(shù)取整時(shí)誤差較小的一組結(jié)果。

1.4 加筋板的有限元驗(yàn)證

根據(jù)1.3節(jié)的優(yōu)化設(shè)計(jì)流程，對(duì)2 000mm×1 000mm的軸壓四邊簡(jiǎn)支矩形薄板進(jìn)行矩形筋條的加筋設(shè)計(jì)，得到一組最優(yōu)結(jié)果為:

加筋比K1=0.7

厚度比K2=1.8

蒙皮厚度Ssk=2.94mm

筋條厚度Sst=5.29mm

筋條高度h=35.35mm

筋條間距w=100.86mm

肋間距l(xiāng)=505.35mm

取整后筋條個(gè)數(shù)N=11個(gè)

取整后肋個(gè)數(shù)M=3個(gè)

理論局部屈曲因子f局=1.03

理論總體屈曲因子f總=1.05

將上述結(jié)構(gòu)參數(shù)在有限元軟件Hyperworks中進(jìn)行有限元建模［4］，為了避免薄板兩端加載時(shí)的應(yīng)力集中問(wèn)題，對(duì)模型兩端分別建立500mm×1 000mm的過(guò)渡段，建模時(shí)利用二維殼單元模擬蒙皮結(jié)構(gòu)，一維梁?jiǎn)卧M筋條，對(duì)于肋的模擬則通過(guò)在加筋板結(jié)構(gòu)的肋位置添加相關(guān)約束來(lái)實(shí)現(xiàn)，并且對(duì)筋條進(jìn)行0.5h的偏置處理，整個(gè)有限元模型如圖2所示。

圖2 常規(guī)加筋有限元模型

結(jié)構(gòu)有限元分析應(yīng)力云圖和一階屈曲圖如圖3，4 所示。

圖3 常規(guī)加筋應(yīng)力云圖

圖4 常規(guī)加筋一階屈曲圖

對(duì)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力云圖及一階屈曲圖分析可知，雖然在結(jié)構(gòu)的兩端添加了過(guò)渡段，卻仍然無(wú)法完全避免兩端的應(yīng)力集中問(wèn)題，但是結(jié)構(gòu)整體上的應(yīng)力還是保持在300MPa左右，由于加筋板兩端的應(yīng)力集中，導(dǎo)致在其兩端首先出現(xiàn)蒙皮局部屈曲，加筋板的首階蒙皮局部屈曲因子為1.03，首階總體屈曲因子為1.04，對(duì)比優(yōu)化設(shè)計(jì)的理論屈曲因子，可視為該有限元建模設(shè)計(jì)驗(yàn)證了1.3節(jié)加筋板優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的可行性。

2 拓?fù)鋬?yōu)化薄板加筋設(shè)計(jì)

2.1 穩(wěn)定性約束的基板拓?fù)鋬?yōu)化

在常規(guī)的薄板加筋方法中，筋條的形式和尺寸參數(shù)一般都是相同的，筋條的分布一般也都是沿軸向均勻分布，這樣就對(duì)加筋板限制了一些設(shè)計(jì)變量，如筋條在加筋板中的拓?fù)湫问郊懊扛顥l獨(dú)立的尺寸參數(shù)。將薄板加筋結(jié)構(gòu)中的筋條布局設(shè)計(jì)跟拓?fù)鋬?yōu)化方法聯(lián)系起來(lái)，可使結(jié)構(gòu)中筋條的布局設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基板中材料分布的問(wèn)題，即在帶有最小厚度限制的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果中根據(jù)材料分布的痕跡來(lái)加筋，得到結(jié)構(gòu)效率高的加筋板結(jié)構(gòu)。

下面對(duì)一塊2 000mm×1 000mm的軸壓四邊簡(jiǎn)支矩形基板進(jìn)行穩(wěn)定性約束的拓?fù)鋬?yōu)化，基板厚度設(shè)置為50mm，為了避免應(yīng)力集中的問(wèn)題，對(duì)基板兩端分別建立500mm×1 000mm的過(guò)渡段，模型中板殼結(jié)構(gòu)均用二維單元模擬，網(wǎng)格尺寸為20mm，有限元模型如圖5所示。

圖5 拓?fù)鋬?yōu)化基板有限元模型

對(duì)上述有限元模型進(jìn)行以設(shè)計(jì)區(qū)域體積最小為目標(biāo)、薄板屈曲因子大于1.00為約束條件的拓?fù)鋬?yōu)化，并設(shè)置基板最小厚度為30mm，其中中間矩形基板為設(shè)計(jì)區(qū)域，設(shè)計(jì)區(qū)域的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖6所示。

圖6 基板的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

2.2 基于拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的薄板加筋效果

由圖6可知，深色區(qū)域的薄板厚度為3mm，淺色區(qū)域的薄板厚度為50mm，介于深色和淺色之間的區(qū)域厚度在3～50mm之間。至此，可根據(jù)材料分布的痕跡來(lái)對(duì)薄板進(jìn)行加筋，這樣就把薄板筋條分布的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了基板中材料分布的問(wèn)題。根據(jù)2.1節(jié)的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，對(duì)本文1節(jié)中的薄板進(jìn)行指導(dǎo)加筋，由于拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果中的材料分布痕跡密度各不相同，可設(shè)置5類(lèi)截面形式相同但截面尺寸不同的筋條，筋條截面形式為矩形，加筋結(jié)果如圖7所示。

圖7 拓?fù)鋬?yōu)化加筋有限元模型

2.3 拓?fù)浼咏罱Y(jié)果的二級(jí)尺寸優(yōu)化

在2.2節(jié)中，根據(jù)基板拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果，對(duì)薄板進(jìn)行了筋條布局的設(shè)計(jì)，完成了拓?fù)鋬?yōu)化方法指導(dǎo)薄板加筋的過(guò)程，并對(duì)其中的筋條按尺寸大小分成了5類(lèi)。接下來(lái)根據(jù)該加筋結(jié)果，對(duì)薄板結(jié)構(gòu)進(jìn)行尺寸優(yōu)化，在保證結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的前提下，優(yōu)化蒙皮及各類(lèi)筋條的相關(guān)尺寸，使得結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小。

在尺寸優(yōu)化過(guò)程中，目標(biāo)函數(shù)為結(jié)構(gòu)體積最小，約束條件為薄板屈曲因子大于1.00，設(shè)計(jì)變量分別是蒙皮厚度tsk0、5類(lèi)筋條厚度tsti及高度hi，其中i=1，2，…，5。該尺寸優(yōu)化過(guò)程中設(shè)計(jì)變量的初始值、上下限以及優(yōu)化結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 拓?fù)鋬?yōu)化加筋結(jié)構(gòu)中的尺寸優(yōu)化結(jié)果

尺寸優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)滿(mǎn)足屈曲因子大于1.00的設(shè)計(jì)要求，且每類(lèi)筋條尺寸的大小能夠跟拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果中材料痕跡的疏密相吻合，加筋板總質(zhì)量為3.29E－2t，結(jié)構(gòu)有限元分析應(yīng)力云圖和一階屈曲圖如圖8，9所示。

圖8 拓?fù)鋬?yōu)化加筋應(yīng)力云圖

圖9 拓?fù)鋬?yōu)化加筋一階屈曲圖

對(duì)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力云圖及一階屈曲圖分析可知，雖然在結(jié)構(gòu)的兩端添加了過(guò)渡段，還是無(wú)法完全避免兩端的應(yīng)力集中問(wèn)題，但是結(jié)構(gòu)整體上的應(yīng)力還是保持在220MPa左右，由于該加筋板結(jié)構(gòu)沒(méi)有進(jìn)行加肋，導(dǎo)致其容易首先發(fā)生總體屈曲，加筋板的首階總體屈曲因子為1.00，首階蒙皮局部屈曲因子為1.01，滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求。

3 兩種加筋方法的對(duì)比

本文中通過(guò)兩種加筋方法得到的加筋板結(jié)構(gòu)都能夠滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求。常規(guī)的加筋方法通過(guò)等效蒙皮的滿(mǎn)應(yīng)力設(shè)計(jì)，使蒙皮和筋條的平均應(yīng)力控制在300MPa左右，保證了材料的利用率，但是為了滿(mǎn)足總體屈曲要求，在該結(jié)構(gòu)中還需要進(jìn)行加肋，每個(gè)肋高度假設(shè)為薄板寬度的1/4，考慮到連接件等因素，肋板的平均厚度假設(shè)為蒙皮厚度的1.5倍，3個(gè)肋總質(zhì)量為8.93E－3t，再加上等效厚度蒙皮的質(zhì)量2.7E－2t，整個(gè)結(jié)構(gòu)總質(zhì)量是3.59E－2t。

拓?fù)鋬?yōu)化指導(dǎo)加筋的方法中，由于不需要進(jìn)行加肋，就使得肋材料可以分一部分到蒙皮/筋條結(jié)構(gòu)中去，對(duì)筋條布局完成以后的加筋板結(jié)構(gòu)進(jìn)行尺寸優(yōu)化，能夠得到滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求的加筋板結(jié)構(gòu)，并且蒙皮和筋條的平均應(yīng)力在220MPa左右，為滿(mǎn)足總體屈曲的要求，導(dǎo)致筋條高度相對(duì)比較高，因此要注意筋條失穩(wěn)的問(wèn)題，整個(gè)加筋板結(jié)構(gòu)總質(zhì)量是3.29E －2t。

4 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于常規(guī)加筋方法而言，其設(shè)計(jì)思路清晰，加筋流程簡(jiǎn)單，但是對(duì)加筋比K1和厚度比K2的選取具有一定的隨意性，依賴(lài)于設(shè)計(jì)人員的工程經(jīng)驗(yàn)，本文通過(guò)編程實(shí)現(xiàn)最優(yōu)加筋比和厚度比的選取。

通過(guò)對(duì)基板的拓?fù)鋬?yōu)化，在一定程度上能夠得到合理的加筋痕跡，將筋條布局設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基板材料分布問(wèn)題，設(shè)計(jì)變量更加多樣化。

為了保證加筋板的總體屈曲要求，常規(guī)加筋方法通常需要加肋，容易導(dǎo)致材料的浪費(fèi)，拓?fù)鋬?yōu)化指導(dǎo)加筋的方法不需要加肋，但筋條高度較高，容易產(chǎn)生筋條失穩(wěn)。

本文中分別通過(guò)兩種加筋方法得到的加筋板結(jié)構(gòu)，相對(duì)于常規(guī)加筋方法，拓?fù)鋬?yōu)化指導(dǎo)加筋的方法達(dá)到了減重8.4%的效果。

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