齒輪測量中心測頭球心位置的標(biāo)定

李偉

（沈陽飛機工業(yè)（集團(tuán)）有限公司，沈陽110034）

0 引言

隨著現(xiàn)代制造技術(shù)的不斷發(fā)展，對于加工精度和加工效率的要求越來越高，數(shù)字化閉環(huán)制造是提高加工精度和加工效率的重要手段，而實現(xiàn)數(shù)字化閉環(huán)制造的關(guān)鍵環(huán)節(jié)就是對被加工工件進(jìn)行精確的測量［1］。對于齒輪制造業(yè)而言，為了實現(xiàn)數(shù)字化閉環(huán)制造，需要利用齒輪測量中心或三坐標(biāo)測量機測量出實際加工齒面相對于理論齒面的偏差，然后再將偏差反饋給設(shè)計分析軟件，計算出實現(xiàn)偏差修正的參數(shù)，進(jìn)而實現(xiàn)數(shù)字化閉環(huán)制造。為了提高齒輪測量的精度，本文針對采用電感式一維測頭的齒輪測量中心，運用最小二乘法，根據(jù)采集到的標(biāo)準(zhǔn)球球面上點的空間坐標(biāo)，擬合出標(biāo)準(zhǔn)球球心的坐標(biāo)，并將測球球心在機器坐標(biāo)系中的位置轉(zhuǎn)換到測量坐標(biāo)系，實現(xiàn)了對測頭球心位置的標(biāo)定。

1 標(biāo)準(zhǔn)球球心坐標(biāo)的計算

在標(biāo)定測球球心坐標(biāo)的過程中，需要利用標(biāo)準(zhǔn)球間接地確立測量坐標(biāo)原點的位置，從而計算出測球球心相對于測量坐標(biāo)系的位置。計算標(biāo)準(zhǔn)球球心坐標(biāo)，實際上是將采集到的一系列的標(biāo)準(zhǔn)球球面上的點運用最小二乘法進(jìn)行擬合，最終計算出標(biāo)準(zhǔn)球球心在機器坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。采集點的位置的選擇以及采集點數(shù)量會影響擬合精度進(jìn)而影響測量結(jié)果。采集點的位置和采集點數(shù)量的設(shè)置，如圖1和圖2所示。

在確定測球球心到被測工件定位基準(zhǔn)面的距離時，只需保證Z方向的精度，因此采用圖1所示的摸球策略。為確定標(biāo)準(zhǔn)球球心在機器坐標(biāo)系中的R、T、Z三個方向的坐標(biāo)，此時需要同時保證三個方向的精度，因此采取圖2所示的摸球策略。本文所用的測頭是一維測頭，測頭只能在一個方向上受力，采用圖1所示的摸球策略時應(yīng)調(diào)整測頭使其在Z方向受力，采用圖2所示的摸球策略時應(yīng)調(diào)整測頭使其在T方向受力。

圖1 摸球策略一

圖2 摸球策略二

設(shè)所采用的標(biāo)準(zhǔn)球球心在機器坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（A，B，C），標(biāo)準(zhǔn)球半徑為r，則標(biāo)準(zhǔn)球球面的方程可以寫成如下形式：

令 a=-2A，b=-2B，c=-2C，d=A2+B2+C2-r2，則標(biāo)準(zhǔn)球球面圓的方程可寫成

根據(jù)實際采集到的標(biāo)準(zhǔn)球球面上的n（n=7，14）個采樣點Pi（xi，yi，zi）的坐標(biāo)值，利用最小二乘法擬合出被測標(biāo)準(zhǔn)球的球心坐標(biāo)和半徑。由式（2）可知，標(biāo)準(zhǔn)球球面被測點Pi（xi，yi，zi）的殘差為

由式（4）可知，L（a，b，c，d）大于或等于零。因此，該函數(shù)必然存在大于或等于零的極小值，它的極大值為無窮大。將函數(shù) L（a，b，c，d）分別對參數(shù) a、b、c、d 求偏導(dǎo)數(shù)，令偏導(dǎo)數(shù)等于零就可求出該函數(shù)的極值點。將式（4）分別對a、b、c，d 求偏導(dǎo)數(shù)得

式（6）中的 E、F、G、H、I、J、K、M、N 可由被測點的坐標(biāo)Pi（xi，yi，zi）及被測點的數(shù)量n計算得到。解三元一次方程組式（6）可得到 a、b、c的值，將得到的 a、b、c的值帶入到式（5）的第4個式子中，可求出參數(shù)d的值，則標(biāo)準(zhǔn)球球心坐標(biāo)及半徑為：

2 測球球心位置的標(biāo)定

根據(jù)齒輪測量中心的測量原理，測量齒輪齒形誤差時，測球球心的運動軌跡是由輸入的齒面理論數(shù)據(jù)來決定的［2-4］。因此，要想測球球心按照給定的理論數(shù)據(jù)進(jìn)行測量，必須將測量坐標(biāo)系、機器坐標(biāo)系和工件坐標(biāo)系統(tǒng)一。

圖3 測頭中心位置標(biāo)定

2.1 旋轉(zhuǎn)工作臺中心的坐標(biāo)計算

本文采用的測頭為瑞士TESA電感式一維測頭，測量過程中，測頭只能在一個方向受力，因此，在測量不同的工件或不同的項目時，需要適當(dāng)改變測頭受力方向或調(diào)整測頭安裝位置，而每調(diào)整一次測頭，都需要對其中心坐標(biāo)進(jìn)行標(biāo)定。由于被測工件是安裝在旋轉(zhuǎn)工作臺上的，此時，旋轉(zhuǎn)工作臺的回轉(zhuǎn)軸線基準(zhǔn)不能用來標(biāo)定測球球心的位置。本文采用的辦法是：用固定于旋轉(zhuǎn)工作臺的標(biāo)準(zhǔn)球來標(biāo)定測球球心在測量坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。測頭中心位置的標(biāo)定，實際上是確立測量坐標(biāo)系原點的過程。如圖3所示，A，B兩點分別為標(biāo)準(zhǔn)球球心繞Z軸旋轉(zhuǎn)θ角度前后的位置，其矢量分別為Ra、Rb；O點為機器坐標(biāo)系原點；O′點為轉(zhuǎn)臺中心線在RT平面中的位置，其矢量為RO′。

設(shè)O′點以及A、B兩點在機器坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為（x0，y0，z0），（x1，y1，z0），（x2，y2，z0）。由圖中幾何關(guān)系可知，|O′A|=|O′B|，則有

上述方程中的 x1、y1、x2、y2、z0為 A、B 兩點的坐標(biāo)，即標(biāo)準(zhǔn)球球心在機器坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，已由最小二乘法求得，θ的值由圓光柵記錄下來。x0、y0為旋轉(zhuǎn)工作臺的中心在R、Z平面中的坐標(biāo)值，為未知數(shù)。解上述方程組即可求出x0、y0的值，從而求出旋轉(zhuǎn)工作臺在機器坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

2.2 測量坐標(biāo)系的建立

以錐齒輪齒形誤差測量為例來說明測量坐標(biāo)系的建立方法。錐齒輪的輪齒坐標(biāo)系的原點設(shè)定在齒輪的軸交錯點上［5-6］。因此，需要將機器坐標(biāo)系的原點轉(zhuǎn)換到齒輪的軸交錯點上，并將輪齒坐標(biāo)系作為最后的測量坐標(biāo)系。設(shè)標(biāo)準(zhǔn)球球心與被測齒輪安裝基準(zhǔn)面之間在Z軸方向的距離為d1，安裝距為d。齒輪的軸交錯點在齒輪軸線上，而齒輪軸線與旋轉(zhuǎn)工作臺的軸線是重合的。因此，齒輪軸交錯點在機器坐標(biāo)系中的坐標(biāo)應(yīng)為（x0，y0，z0+d1+d）。設(shè)測球球心在機器坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（x′、y′、z′），那么測球球心以齒輪軸交錯點為原點時的空間坐標(biāo)為

式（7）就是測球球心的坐標(biāo)從機器坐標(biāo)系向測量坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換公式。

3 結(jié)論

1）運用空間矢量運算和最小二乘法建立了測頭標(biāo)定的數(shù)學(xué)模型。2）利用最小二乘法擬合了標(biāo)準(zhǔn)球球心，計算并得到了標(biāo)準(zhǔn)球球心在機器坐標(biāo)系中的位置。3）運用空間矢量運算，建立了將測球球心的坐標(biāo)從機器坐標(biāo)系向測量坐標(biāo)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換的方法。

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