李新潮,郭藝奪,張永順

(空軍工程大學導彈學院,陜西三原 713800)

0 引言

超分辨DOA估計中,信源數估計是一個重要問題,眾多性能優(yōu)良的高分辨DOA估計算法大都是以預知信源數為前提的[1-3],一般做法是先估計信源數,再進行DOA估計。當估計的信源數與真實信源數不一致時,空間譜曲線的峰值個數與實際信源數不相同,此時會對信源方位的估計產生嚴重影響[4](如偏離真實信源方向等)。

在信源數估計算法[5-6]中,Akaike信息論準則(A IC)和最小描述長度準則(MDL)是較為有效的,其基本思想是對于給定的觀測樣本集合及可能的模型集合,通過最大化平均對數似然函數或最小化相應準則來確定信源數。然而實際應用中,只能得到有限采樣快拍數據,當快拍數據很少時,其估計性能下降,錯誤概率相應增加,從而導致DOA估計的失敗。文獻[7]中提出了一種未知信源數的高分辨DOA估計算法,并通過理論分析證明了其估計性能接近MUSIC算法。然而其理論分析是建立在噪聲特征值相等或基本相等的基礎上的,這就要求有很大的快拍數。如果快拍數較小,那么噪聲特征值將變得分散,即不再像快拍數很大條件下聚集在噪聲功率附近,這將導致該算法的失效。

本文提出了一種基于協方差矩陣對角加載的未知信源數的超分辨的DOA估計算法。該算法不需要預知信源數及特征值分解,具有較小的運算量。此外,該算法通過對協方差矩陣進行對角加載,可以平滑小快拍數時噪聲特征值分散程度,因此該算法更適用于快拍數較少的情況。理論分析及仿真結果表明:該算法的統(tǒng)計估計性能接近于MUSIC算法。

1 信號模型

對于L元均勻線陣,設陣列遠場中在以線陣軸線法線為參考的θk(k=1,2,…,M)方向處有M個窄帶點源sk(t)以平面波入射(波長為λ0),選取陣列的第一個陣元為參考陣元,則陣列在t時刻的接收數據可表示為:

式中,X(t)為陣列接收的L×1快拍數據矢量;S(t)為入射信號的M×1復幅度矢量;N(t)為L×1陣列噪聲矢量;A(θ)為L×M陣列流形矩陣,為方便起見,以下記為A。

假定信號源之間,信號源和噪聲之間都是統(tǒng)計獨立的,則陣列的數據協方差矩陣為:

式中,RS=E[S(t)SH(t)]為信源協方差矩陣,σ2為噪聲功率,I為相應階次的單位矩陣,上標H代表矩陣共軛轉置。將陣列協方差矩陣R進行特征分解得:

式中,E S、E N分別為信號子空間和噪聲子空間,∧S、∧N為相應的特征值?？梢园l(fā)現,陣列協方差矩陣R的特征值具有如下分布:

實際中數據協方差矩陣是通過N次快拍數據估計得到的,即:

因此,其對應得特征值分布如下:

2 本文算法及算法分析比較

2.1 算法描述

實際中由于采樣快拍數較小使得數據協方差矩陣的噪聲特征值發(fā)散,導致各種信源數判定準則失效,進一步導致DOA估計的不準甚至失效。因此,考慮先對小特征值進行某種修正,使修正后的小特征值近似相等,然后再進行DOA估計。對角加載技術[8]可以對噪聲特征值進行某種修正,使得修正后的小特征值發(fā)散程度降低,并限制在1附近,而對信號對應的大特征值影響不大。對數據協方差矩陣R進行對角加載

式中,R d為對角加載后的協方差矩陣,I為單位陣,γ為加載量。設R d的特征值為ωi(i=1,…,L),而R的特征值為λi(i=1,…,L),由于γ僅僅影響了矩陣R的特征值而不影響其特征向量,所以有:

對角加載相當于向陣列“注入”功率為γ的空間白噪聲,從而起到平滑小特征值的作用,由于對角加載后的小特征值都分布在1附近,使得平滑后的小特征值近似相等,即有

成立。結合式(3)、式(9)并將其結果寫成矩陣形式可得:

聯合式(8)、式(9)和式(10),可得:

此時DOA估計對應的空間譜函數為:

2.2 加載量λDL選擇及其對算法的影響

由于加載量γ的物理意義是向陣列中功率為γ的空間白噪聲,加載量的選擇必須既可有效地平滑噪聲項所對應的小特征值,又不能影響信號項所對應的大特征值。若加載量太小則不能有效平滑小特征值;若加載量太大,不僅會影響小特征值還會影響大特征值,使得信號與噪聲項所對應的特征值的差別變小,使DOA估計算法的性能下降。因此必須選擇合適的加載量才能獲得較好的效果,但是確定加載量的理論最優(yōu)值比較困難,只能定性地給出一個合適的加載量,通?？扇?

式中,tr[]表示取矩陣的跡,w為一常數,具體值可通過實驗獲得。

2.3 本文算法與文獻[7]中算法的分析比較

文獻[7]中提出了一種m-capon算法,該算法相當于利用m個Capon估計器級聯克服單個Capon估計器受瑞利限的制約,提高角度分辨力。下面將本文算法與文獻[7]中m-capon算法作分析比較。

理想情況下,即快拍數足夠大時,所有的噪聲特征值都基本相等,當m→∞時,本文算法和文獻[7]中的算法都最終收斂為MUSIC算法。非理想情況下,即快拍數很小,當m→∞時,由前面分析可知本文算法也最終將近似收斂為MUSIC算法;而文獻[7]中的算法由于噪聲特征值分散將最終收斂為Pisarenko算法,雖然其譜分辨力較MUSIC算法有所提高,但是其空間譜曲線容易產生偽峰,從而造成DOA估計的失敗。綜上所述,本文算法相比文獻[7]中的算法對快拍數具有更好的穩(wěn)定性,更適合于快拍數較小的場合。

3 計算機仿真結果

為了驗證算法的有效性,做以下的計算機仿真。仿真中使用8陣元的均勻線陣,陣元間距為半波長。本文算法的加載量由式(14)確定,指數m的取值為10。

3.1 算法的空間譜比較

假設空間以陣列法線方向為參考的-40°、5°和30°方位上有三個等功率的非相關信源,信噪比為20dB,文獻[7]的算法指數m的值取10。圖1(a)給出了快拍數為200時,本文算法、文獻[7]的算法和MUSIC算法的空間譜比較曲線;圖1(b)給出了快拍數為5時,本文算法、文獻[7]的算法和MUSIC算法的空間譜比較曲線。

圖1 快拍數不同時,各種算法的空間譜比較曲線

從圖1可以看出,本文提出的算法無論快拍數較大還是較小始終與MUSIC算法的空間譜曲線基本重合,而文獻[7]的算法在快拍數較大時亦能精確地估計出信號源的DOA,但是當快拍數較小時,該算法已出現偽峰,DOA估計失敗,這與前面的理論分析是一致的。

3.2 算法的統(tǒng)計性能比較

1)快拍數變化時,算法的統(tǒng)計性能比較

仿真中,針對空間中的10°和15°方位上有兩個等功率的非相關信源,信噪比為20dB,文獻[7]的算法指數m的值取5。圖2、3、4給出了快拍數由1按步長5變化到200時,算法的成功概率、估計偏差和估計均方根誤差的比較曲線。

由圖2、3、4可以看出在快拍數較小時,本文算法比文獻[7]的算法具有更好的統(tǒng)計性能,且與MUSIC算法性能相當;隨著快拍數的增大,三種算法性能逐漸接近。

2)指數m變化時,算法的統(tǒng)計性能比較

仿真中,針對空間中的10°和15°方位上有兩個等功率的非相關信源,信噪比為20dB,快拍數為100。圖5、6、7給出了指數m由1按步長2變化到50時,算法的成功概率、估計偏差和估計均方根誤差的比較曲線。

從圖5、6、7可以看出隨著指數m的增大,文獻[7]的算法的估計性能逐漸下降,這是因為快拍數的有限使得噪聲特征值不能完全相等,隨著m的增大,該算法逐步趨向于Pisarenko算法,從而使得空間譜出現偽峰,造成DOA估計的不準甚至失敗;相反,本文算法由于加載量對噪聲特征值的平滑作用使得算法的估計性能較為穩(wěn)定。因此,本文算法對m的取值具有更好的穩(wěn)定性,即可取的m值范圍更大。

4 結束語

本文提出了一種基于協方差矩陣對角加載的未知信源數的超分辨DOA估計算法,它具有以下優(yōu)點:

(1)與MUSIC算法相比,本文算法不需用其它信源數估計算法來預估計信源數,實現起來較為容易;并且其不需特征值分解,在一定程度上減少了計算量,而算法統(tǒng)計估計性能卻與MUSIC算法相近。

(2)在快拍數較小時,文獻[7]中的算法由于出現偽峰已基本失效,而本文算法仍具有很好的統(tǒng)計估計性能;且文獻[7]算法可取的指數m的值范圍較小,一旦取值過大也會出現偽峰,而本文算法取值范圍相對其來講要大得多。因此,本文算法對快拍數和指數m具有更好的穩(wěn)定性,更適合于快拍數較小的場合?！?/p>

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