張方照，柴艷菊，柴 華，丁磊香

用嶺估計(jì)克服最小二乘姿態(tài)法中的病態(tài)性

張方照1，2，3，柴艷菊1，2，柴 華1，2，丁磊香1，2，3

(1.中國(guó)科學(xué)院 測(cè)量與地球物理研究所，武漢 430077；2.大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430077； 3.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

針對(duì)最小二乘多天線(xiàn)姿態(tài)解算中某些歷元的法方程存在嚴(yán)重病態(tài)性，導(dǎo)致姿態(tài)估計(jì)結(jié)果異常(尤其是俯仰角和橫滾角)的問(wèn)題，本文采用了常用的嶺估計(jì)方法克服其病態(tài)性。首先根據(jù)法方程系數(shù)陣的條件數(shù)判斷該歷元的法方程是否存在病態(tài)性，如果條件數(shù)小于1 000，采用最小二乘法估計(jì)姿態(tài)參數(shù)，否則，利用L曲線(xiàn)法確定嶺參數(shù)，并利用嶺估計(jì)解算姿態(tài)參數(shù)。最后，以高精度慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(陀螺漂移0.005°/h)輸出的姿態(tài)結(jié)果作為基準(zhǔn)，得出嶺估計(jì)方法解算的姿態(tài)角的外符合精度為：方位角0.1°，俯仰角0.16°，翻滾角0.39°。這一精度與基線(xiàn)解算正確情況下的理論姿態(tài)精度相當(dāng)，這說(shuō)明嶺估計(jì)方法比較好的克服了法方程的病態(tài)性。

最小二乘姿態(tài)估計(jì)；姿態(tài)測(cè)量；病態(tài)性；嶺估計(jì)法

0 引言

多天線(xiàn)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(global navigation satellite system，GNSS)能為用戶(hù)提供連續(xù)精確的位置、速度、姿態(tài)等導(dǎo)航信息，已成為導(dǎo)航、測(cè)繪等領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)，尤其是多天線(xiàn)測(cè)姿方法的研究[1-4]。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了大量的研究，根據(jù)天線(xiàn)布設(shè)的不同，提出了多種多天線(xiàn)姿態(tài)解算方法，其中最常用的有直接姿態(tài)解算法和最小二乘姿態(tài)解算法[5-8]。由于最小二乘姿態(tài)解法能充分利用多天線(xiàn)基線(xiàn)解算信息，姿態(tài)精度理論上要優(yōu)于直接解算。但是，通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，最小二乘姿態(tài)結(jié)果只有航向角估計(jì)精度有明顯改善，俯仰角和橫滾角結(jié)果改善不明顯，有些歷元甚至?xí)儾?。分析原因如下?)最小二乘姿態(tài)估計(jì)中某些歷元法方程存在病態(tài)性；2)俯仰角和橫滾角受垂直方向基線(xiàn)分量的影響，而GNSS基線(xiàn)垂直方向的分量精度比水平方向精度差，病態(tài)性問(wèn)題會(huì)使基線(xiàn)誤差放大，導(dǎo)致俯仰角和橫滾角姿態(tài)解算結(jié)果錯(cuò)誤。針對(duì)最小二乘中病態(tài)問(wèn)題，以往也有不少學(xué)者進(jìn)行過(guò)研究，提出了多種解決方法，如數(shù)學(xué)上采用的嶺估計(jì)方法[9-13]，大地測(cè)量中附加先驗(yàn)信息約束的選權(quán)擬合法[14-15]。為了克服最小二乘姿態(tài)解算中的病態(tài)性問(wèn)題，本文采用比較常用的嶺估計(jì)方法改善其病態(tài)性。首先根據(jù)法方程的條件數(shù)判斷系數(shù)陣是否存在病態(tài)性，如果不存在(cond(N)<1 000)，采用最小二乘法估計(jì)姿態(tài)參數(shù)，否則，利用L曲線(xiàn)法確定嶺參數(shù)，并利用嶺估計(jì)解算姿態(tài)參數(shù)。試驗(yàn)結(jié)果表明，嶺估計(jì)方法對(duì)改善由病態(tài)性引起的姿態(tài)估計(jì)異常問(wèn)題效果比較明顯。

1 最小二乘姿態(tài)解算模型

假設(shè)載體上布設(shè)了n+1個(gè)天線(xiàn)，主天線(xiàn)和其他天線(xiàn)形成n條基線(xiàn)，根據(jù)載體系和當(dāng)?shù)厮较抵g的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

(1)

V=AX-L權(quán)陣P

(2)

通過(guò)對(duì)式(2)得到的最小二乘姿態(tài)解算結(jié)果分析，某些歷元姿態(tài)估計(jì)結(jié)果明顯存在異常。通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，存在姿態(tài)估計(jì)異常的歷元法方程的條件數(shù)一般比較大，即法方程存在病態(tài)性。由于式(2)中觀測(cè)值受初始化姿態(tài)、基線(xiàn)解算誤差、載體系中基線(xiàn)量測(cè)誤差的綜合影響，病態(tài)性會(huì)對(duì)觀測(cè)誤差產(chǎn)生放大，導(dǎo)致姿態(tài)估計(jì)異常。采用嶺估計(jì)改善其病態(tài)性。

2 嶺估計(jì)模型

由式(2)得最小二乘法姿態(tài)估計(jì)為：

(3)

如果法方程條件數(shù)cond(ATPA)>1000，采用L曲線(xiàn)法確定嶺參數(shù)k，參考文獻(xiàn)[12,14]給出了解算的詳細(xì)步驟。則嶺估計(jì)模型為：

X=(ATPA+kI)-1ATPL

(4)

式(4)中，I為3階單位陣。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

為了驗(yàn)證采用嶺估計(jì)改善多天線(xiàn)最小二乘姿態(tài)解算中的病態(tài)性效果，利用一套車(chē)載三天線(xiàn)GNSS實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)(4號(hào)天線(xiàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差，沒(méi)有采用)，接收機(jī)類(lèi)型為NovAtel，數(shù)據(jù)采樣率為1Hz，安裝位置如圖1。其中天線(xiàn)1為主天線(xiàn)，1、2天線(xiàn)連線(xiàn)與車(chē)輛主軸方向一致，數(shù)據(jù)采集于2013-12-06的武漢。為了能對(duì)多天線(xiàn)姿態(tài)結(jié)果進(jìn)行精度分析，車(chē)上還安裝了一臺(tái)高精度慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(inertialnavigationsystem，INS)，陀螺漂移為0.005°/h。

圖1 多天線(xiàn)安裝位置簡(jiǎn)圖

3.2 姿態(tài)解算結(jié)果分析

為了進(jìn)行比較，采用如下處理方案：方案一，最小二乘姿態(tài)估計(jì)法；方案二，嶺估計(jì)姿態(tài)估計(jì)法。將兩種方法得到的姿態(tài)結(jié)果分別與高精度INS的姿態(tài)進(jìn)行比較，見(jiàn)圖2，X軸是GPS時(shí)(GPStime，GPST)，Y軸指的是姿態(tài)角。以高精度INS的姿態(tài)作為參考值，兩種方案得到的姿態(tài)誤差見(jiàn)圖3，其統(tǒng)計(jì)結(jié)果列于表1。

圖2 最小二乘法、嶺估計(jì)法與高精度INS姿態(tài)結(jié)果對(duì)比

圖3 最小二乘法、嶺估計(jì)法姿態(tài)誤差對(duì)比

從圖2可知，最小二乘得到的姿態(tài)結(jié)果中，有些歷元的俯仰角和橫滾角比較差，以法方程存在病態(tài)性的第455 320時(shí)刻為例，對(duì)兩種方案估計(jì)姿態(tài)參數(shù)的中間結(jié)果進(jìn)行分析：

系數(shù)矩陣：

觀測(cè)值：L=[0.000 000 0.006 769 -0.000 000

-0.010 068 0.015 198 0.000 000]；

特征值：[3.899 749 0.635 441 0.001 711]；

最小二乘法方程條件數(shù)：2 279；

嶺參數(shù)：0.12；

采用嶺估計(jì)得到的法方程條件數(shù)：33；

最小二乘姿態(tài)參數(shù)估值/(°)：41.670 660 -1.756 508 2.655 618；

嶺估計(jì)姿態(tài)參數(shù)估值/(°)：41.652 939 -1.030 263 1.718 671；

高精度INS計(jì)算的姿態(tài)角/(°)：41.215 534 -0.985 409 1.637 409；

由計(jì)算的中間結(jié)果可知，第455 320時(shí)刻，最小二乘法方程條件數(shù)大于1 000，系數(shù)陣存在病態(tài)性，姿態(tài)解算結(jié)果與高精度INS姿態(tài)結(jié)果相差比較大。用L曲線(xiàn)法確定嶺參數(shù)，并利用嶺估計(jì)解算姿態(tài)參數(shù)，結(jié)果得到了明顯改善。

表1 姿態(tài)誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果/(°)

如圖3和表1的統(tǒng)計(jì)結(jié)果所示，將最小二乘和嶺估計(jì)方法的姿態(tài)估計(jì)結(jié)果分別與高精度INS(陀螺漂移0.005°/h)輸出的姿態(tài)結(jié)果作比較，可知最小二乘解算的俯仰角和橫滾角的均方根誤差、最大值和最小值明顯異常，即病態(tài)性問(wèn)題導(dǎo)致最小二乘解算異常；經(jīng)嶺估計(jì)方法處理后，最小二乘解算存在的病態(tài)性問(wèn)題得到明顯改善。嶺估計(jì)法姿態(tài)角的外符合精度：方位角為0.1°，俯仰角為0.16°，翻滾角為0.39°。試驗(yàn)結(jié)果表明，嶺估計(jì)方法對(duì)改善由病態(tài)性引起的姿態(tài)估計(jì)異常問(wèn)題效果比較明顯。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文采用常用的嶺估計(jì)方法克服最小二乘多天線(xiàn)姿態(tài)解算中某些歷元法方程存在病態(tài)性的問(wèn)題。結(jié)合一套車(chē)載三天線(xiàn)GNSS實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)最小二乘和嶺估計(jì)解算的姿態(tài)結(jié)果進(jìn)行比較分析，并分別與高精度INS(陀螺漂移0.005°/h)輸出的姿態(tài)結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果表明，嶺估計(jì)方法可以明顯改善最小二乘解算存在的病態(tài)性問(wèn)題，特別是，俯仰角和橫滾角。得到的外符合精度為：方位角為0.1°，俯仰角為0.16°，翻滾角為0.39°。

對(duì)引起最小二乘多天線(xiàn)姿態(tài)解算中的病態(tài)性問(wèn)題的機(jī)制還需要進(jìn)行深入研究，以便探索更好的方法來(lái)解決這一問(wèn)題，從而進(jìn)一步提高多天線(xiàn)姿態(tài)的精度。

[1] FATHI Y D.INS、GPS and Photogrammetry Integration for Vector Gravimetry Estimation[D].Ohio State：University of Ohio State，1998.

[2] 孫紅星.差分GPS/INS組合定位定姿及其在MMS中的應(yīng)用[D].武漢：武漢大學(xué)，2004.

[3] 劉根友，歐吉坤.GPS單歷元定向和測(cè)姿算法及其精度分析[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2003，28(6)：732-735.

[4] 陳楊，唐艷，周偉，等.三天線(xiàn)GPS姿態(tài)解算誤差分析[J].全球定位系統(tǒng)，2012，37(3)：16-18.

[5] LU Gang.Development of a GPS Multi-antenna System for Attitude Determination[D].Calgary：University of Calgary，1995.

[6] 劉若普.GPS三維測(cè)量技術(shù)研究[D].上海：上海交通大學(xué)，2008.

[7] 田湘.GPS多基線(xiàn)姿態(tài)系統(tǒng)研究與實(shí)現(xiàn)[D].南京：南京航空航天大學(xué)，2007.

[8] DAI Zhen， KNEDLIK S，LOFFELD O.A MATLAB Toolbox for Attitude Determination with GPS Multi-antenna Systems[J].GPS Solution，2009，13(3)：241-248.

[9] 陳希孺，王松桂.近代回歸分析——原理方法及應(yīng)用[M].合肥：安徽教育出版社，1987.

[10]王松桂.線(xiàn)性模型的理論及其應(yīng)用[M].合肥：安徽教育出版社，1987.

[11]HOERL A E，KENNARD R W.Ridge Regression：Biased Estimation for Non-orthogonal Problems[J].Technometrics，1970，12(1)：55-67.

[12]王振杰，歐吉坤.用L-曲線(xiàn)法確定嶺估計(jì)中的嶺參數(shù)[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2004，29(3)：235-238.

[13]黃維彬.近代平差理論及其應(yīng)用[M].北京：解放軍出版社，1992.

[14]王振杰.大地測(cè)量中不適定問(wèn)題的正則化解法研究[D].武漢：中國(guó)科學(xué)院測(cè)量與地球物理研究所，2003.

[15]歐吉坤.測(cè)量平差中不適定問(wèn)題解的統(tǒng)一表達(dá)與選權(quán)擬合法[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2004，33(4)：283-288.

Improving the Ill-posed Problems of the Least Squares Attitude Estimation with GNSS Multi-antennas Using Ridge Estimation

ZHANGFang-zhao1，2，3，CHAIYan-ju1，2，CHAIHua1，2，DingLei-xiang1，2，3

(1.Institute of Geodesy and Geophysics，Chinese Academy of Sciences，Wuhan 430077，China； 2.State Key Laboratory of Geodesy and Earth’s Dynamics，Wuhan 430077，China； 3.University of Chinese Academy of Sciences，Beijing 100049，China)

The normal matrix of the Least Squares(LS)is ill-posed in some epochs for GNSS multi-antenna attitude estimation，which lead to the abnormal attitude estimates，especially the pitch angle and the roll angle.In this paper，the common Ridge Estimation (RE) is used to overcome the ill-posed problems.Firstly，if the normal matrix of the epoch is ill-posed is judged according to the condition number of the normal equation coefficient matrix.If the condition number is less than 1 000，the attitude parameters are estimated using the LS，otherwise，the ridge parameter is determined using the L curve method and the attitude parameters are estimated using the RE.At last，the attitude of the high precision INS(Gyro drift is 0.005 degree in per hour)is taken as the reference，the attitude precision of RE is as follows：the yaw is 0.1 degree，the pitch is 0.16 degree and the roll is 0.39 degree.The attitude precision of the RE method is equivalent to the theoretical precision derived from the accurate baseline，so the ill-posed problem is effectively improved.

least squares attitude estimation；attitude determination；ill-posed；ridge estimation method

張方照，柴艷菊，柴華，等.用嶺估計(jì)克服最小二乘姿態(tài)法中的病態(tài)性[J].導(dǎo)航定位學(xué)報(bào),2015,3(3):85-88.(ZHANGFang-zhao,CHAIYan-ju,CHAIHua,etal.ImprovingtheIll-posedProblemsoftheLeastSquaresAttitudeEstimationwithGNSSMulti-antennasUsingRidgeEstimation[J].JournalofNavigationandPositioning,2015,3(3):85-88.)DOI:10.16547/j.cnki.10-1096.20150317.

2015-05-18

張方照(1987—)，女，山東菏澤人，碩士生，主要從事GNSS多天線(xiàn)姿態(tài)測(cè)量工作。

國(guó)家自然科學(xué)基金( 41174031、41374043、41231064)，中科院124項(xiàng)目(Y309441046)。

柴艷菊(1970—)，女，河南商丘人，副研究員，主要從事GNSS精密定位及GNSS/INS組合導(dǎo)航方面的研究。

P

A

2095-4999(2015)-03-0085-04