☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué)申月

淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中題根式教學(xué)法

☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué)申月

關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)高效性和有效性的實(shí)施是一個(gè)永恒的討論主題，在傳統(tǒng)教學(xué)中的變式教學(xué)是發(fā)揮教學(xué)高效性的典型教學(xué)模式·在新課程實(shí)施過程中，變式教學(xué)顯得有些力不從心，究其原因主要是變式教學(xué)是一種以問題形態(tài)為主的題型變化教學(xué)，隨著新穎題型的不斷出現(xiàn)，變式教學(xué)對(duì)于題型的歸納就顯得越來越臃腫，教學(xué)效率相對(duì)較低，無法從本質(zhì)上讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)相關(guān)的核心知識(shí)·陜西師大羅增儒教授在談起新課程下的解題教學(xué)時(shí)，用“題根式教學(xué)”來描述當(dāng)下的解題教學(xué)的高效：我認(rèn)為變式教學(xué)稍顯過時(shí)，因?yàn)樽兪降臄?shù)據(jù)庫顯得相當(dāng)龐大，而有限的中學(xué)教學(xué)課時(shí)是難以實(shí)現(xiàn)的，既要適應(yīng)新課程又要能取得應(yīng)試解題的成績，以題根式教學(xué)為主流的新型教學(xué)方式漸漸開展起來，它的好處是以數(shù)學(xué)最本質(zhì)最核心的知識(shí)去取得一系列問題的思維引導(dǎo)，其用處相對(duì)于傳統(tǒng)的變式教學(xué)而言來得更為廣泛些·

筆者認(rèn)為上述話語中，羅教授將新課程課時(shí)稍顯緊張和如何繼續(xù)保持應(yīng)試成績做出了一個(gè)比較適合當(dāng)下的平衡點(diǎn)，而且用題根式教學(xué)替代變式教學(xué)，主要在教學(xué)中面向數(shù)學(xué)核心知識(shí)的教學(xué)，并且以尋找問題最本質(zhì)反映的數(shù)學(xué)知識(shí)，即題根為首要解決方向，對(duì)知識(shí)進(jìn)行合理的發(fā)散學(xué)習(xí)和整合學(xué)習(xí)，使其成為數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)或解題教學(xué)的一種高效、有效方式·

一、題根式教學(xué)的設(shè)計(jì)

題根式教學(xué)是一種濃縮式的教學(xué)，它勢必要求教師在教學(xué)過程中以比較合理的設(shè)計(jì)和精心的準(zhǔn)備，將所選問題以某種反饋機(jī)制進(jìn)行展示，考慮到現(xiàn)行教輔資料往往達(dá)不到這種教學(xué)要求，因此需要教師對(duì)問題進(jìn)行改編或原創(chuàng)，達(dá)到符合教學(xué)目的的要求·題根來源何處？筆者認(rèn)為：題根就是來源于教材中的最基本的數(shù)學(xué)例題或數(shù)學(xué)公式、定理等·來看一個(gè)筆者自身編譯的案例·

案例1（蘇教版必修5第三章第二節(jié)習(xí)題）解關(guān)于x的不等式：2x2-3x-2＞0·

設(shè)計(jì)意圖：通過這個(gè)題根，來探究三個(gè)“二次”的關(guān)系·

思考一：改變二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)·我們把二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)變?yōu)樨?fù)號(hào)·

設(shè)計(jì)1：解關(guān)于x的不等式：-2x2-3x-2＞0·

設(shè)計(jì)意圖：在解這個(gè)不等式時(shí)，先把二次項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)，特別注意要改變不等式的方向，解出不等式的解集·

思考二：可以通過引入?yún)?shù)，變?yōu)楹瑓?shù)的二次不等式·

（2）當(dāng)Δ=0，即a=±4時(shí)，若a=4，不等式的解集為｛x|x≠1｝，若a=-4，不等式的解集為｛x|x≠-1｝·

（3）當(dāng)Δ＜0，即-4＜a＜4時(shí)，對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖像都在x軸上方，所有的x都成立，所以解集為R·

設(shè)計(jì)意圖：本題中一次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)，這時(shí)就要討論Δ·首先計(jì)算Δ=a2-16·通過對(duì)Δ的討論來解決問題·

第二種情況，當(dāng)a=0時(shí)，不等式化簡為2x-2＞0，所以不等式的解集為｛x|x＞1｝·

設(shè)計(jì)意圖：這時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)·首先可以分解因式得到，（ax+2）（x-1）＞0·當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論·

總結(jié)：通過設(shè)計(jì)2和設(shè)計(jì)3，我們知道，解含參數(shù)的二次不等式的分類討論，分類的層次是分三層：

第一個(gè)層次是根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)來分類，分a＞0，a=0，a＜0·

第二個(gè)層次是根據(jù)Δ來討論，分Δ＞0，Δ=0，Δ＜0·

第三個(gè)層次是根據(jù)根的大小來分類，分x1=x2，x1＞x2，x1＜x2·

思考三：逆向思維，給出不等式的解集，求參數(shù)的范圍·

設(shè)計(jì)4：已知不等式ax2-（a-2）x-2＞0的解集為

設(shè)計(jì)5：已知不等式ax2-（a-2）x-2＞0的解集為不等式2x2-（a+1）x-a＞0的解集·

通過設(shè)計(jì)4解出a=2代入不等式可以解出該不等式·

設(shè)計(jì)6：已知不等式ax2-ax-2＜0的解集為R，求a的取值范圍·

設(shè)計(jì)意圖：解決這個(gè)問題的時(shí)候需要注意，這個(gè)不等式的二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)，我們要繼續(xù)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，當(dāng)a=0時(shí)，-2＜0恒成立，這個(gè)一定不能忘·當(dāng)a≠0，這個(gè)不等式就是二次不等式，這時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)為二次函數(shù)，圖像都在x軸下方，需要a＜0，Δ＜0·以上我們通過這個(gè)二次不等式的題根入手，來解決三個(gè)“二次”之間的關(guān)系，通過這樣的題根教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)三個(gè)二次問題進(jìn)行了高效的挖掘和提升，值得注意的是本案例中設(shè)計(jì)5、設(shè)計(jì)6都是為適應(yīng)題根而進(jìn)行的創(chuàng)編，從另一個(gè)方面也提高了教師自身專業(yè)化的編題能力，一舉兩得·

二、題根式教學(xué)的創(chuàng)編

題根式教學(xué)需要在教材原型中找到合適的典型問題，但是與典型問題相關(guān)的試題有時(shí)顯得相對(duì)匱乏，此時(shí)筆者認(rèn)為需要在教師認(rèn)知角度的精準(zhǔn)前提下，對(duì)問題進(jìn)行符合學(xué)情特點(diǎn)的創(chuàng)編，這種創(chuàng)編是既符合考情又符合學(xué)情，是有效和高效的·通過對(duì)近三年高考試題的統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)內(nèi)容主要考查二次函數(shù)與一元二次方程及一元二次不等式的綜合應(yīng)用·重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化及分類討論思想在解題中的應(yīng)用·尤其是新課程改革后，函數(shù)中以二次函數(shù)的圖像為載體，利用數(shù)形結(jié)合的思想，解決二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，以及與此有關(guān)的參數(shù)范圍的問題成為重點(diǎn)和熱點(diǎn)·學(xué)生對(duì)分類討論思想的掌握一直是比較薄弱的·通過對(duì)題根的講解和分析，使學(xué)生對(duì)二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題的解題思路、解題過程有所了解，并結(jié)合課堂練習(xí)加以鞏固，在課后能夠做一些更為深入的探究·

分析：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決此問題的關(guān)鍵是考慮定義域所在的區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖像，就可以發(fā)現(xiàn)分（1）a＜b＜1；（2）a＜1＜b；（3）1＜a＜b三種情況討論·

對(duì)題根的歸納總結(jié)：解決此題的關(guān)鍵在于要注意二次函數(shù)的對(duì)稱軸所在的位置對(duì)函數(shù)最值的影響·解二次函數(shù)求最值問題，首先采用配方法，將二次函數(shù)化為y= a（x-m）2+n（a≠0）的形式，得頂點(diǎn)（m，n）或?qū)ΨQ軸方程x= m，分三個(gè)類型：①頂點(diǎn)固定，區(qū)間固定；②頂點(diǎn)含參數(shù)，區(qū)間固定；③頂點(diǎn)固定，區(qū)間變動(dòng)·此例即為對(duì)稱軸固定，區(qū)間變動(dòng)的一個(gè)典型例題·

設(shè)計(jì)說明：這兩題依然是對(duì)a，b分a＜b＜1、a＜1＜b、1＜a＜b三種情況討論·而且在創(chuàng)編1的解題過程中發(fā)現(xiàn)，這樣的a，b是不存在的·在創(chuàng)編2的解題過程中，當(dāng)a=-2，b= 0時(shí)是符合條件的·

使得（fx）的定義域、值域分別是［a，b］和［ka，kb］（k＞0），求出k的范圍（·此題的解題過程比較復(fù)雜，留給學(xué)生作為課后探究）

三、關(guān)于題根式教學(xué)的一些思考

近幾年的數(shù)學(xué)高考，以能力立意命題，都強(qiáng)調(diào)寬角度、多視點(diǎn)地考查數(shù)學(xué)素質(zhì)，考查數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展·如何引導(dǎo)學(xué)生在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的過程中抓住根本，合理利用時(shí)間，提高學(xué)習(xí)效率，除了我們平時(shí)一直談?wù)摰牟豢珊鲆曊n本，不可忽視“雙基”，不可忽視數(shù)學(xué)思想方法的滲透總結(jié)，不可忽視《考試大綱》，不可忽視對(duì)學(xué)生養(yǎng)成規(guī)范、準(zhǔn)確、快速的解題習(xí)慣等，更應(yīng)充分利用習(xí)題這一載體，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力進(jìn)而提高他們分析、解決問題的能力·“題根式教學(xué)法”的探索正是為了適應(yīng)這樣的教學(xué)發(fā)展需求應(yīng)運(yùn)而生的·然而“題根+生本”核心理念對(duì)教師和學(xué)生在教學(xué)觀念和數(shù)學(xué)素養(yǎng)上都提出了一個(gè)挑戰(zhàn)，如何讓教師放得下、讓學(xué)生放得開？

1·轉(zhuǎn)變觀念，提升素養(yǎng)

題根式教學(xué)法希望打造的是“先根后枝，以學(xué)定教，少教多試，師生互動(dòng)”的課堂，讓學(xué)生從被動(dòng)的聽眾變成課堂活動(dòng)的主角，做到“題根分析學(xué)生清、題根生長學(xué)生明、樹狀網(wǎng)絡(luò)學(xué)生織、問題探討師生議”，那么教師首先要轉(zhuǎn)變觀念，走下神壇，傾聽學(xué)生，調(diào)整好角色，做好領(lǐng)路人，本課例1中，教師的設(shè)計(jì)使教師在與學(xué)生的交流互動(dòng)中建立了信任，呈現(xiàn)了一個(gè)活潑的生本課堂·其次，在題根學(xué)案的教學(xué)設(shè)計(jì)上要明確：學(xué)案的作用是提綱挈領(lǐng)，指明教學(xué)線索，推進(jìn)學(xué)生的思考，體現(xiàn)思維發(fā)展的過程性，這點(diǎn)，案例1“三個(gè)二次”做得很好，重梯度、重關(guān)聯(lián)、重過程，因此教學(xué)預(yù)期基本在課堂上都圓滿完成了·再次，教師更需提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，積累教學(xué)智慧，善于捕捉不時(shí)出現(xiàn)的“陰錯(cuò)陽差、節(jié)外生枝、靈光一閃”的“意外風(fēng)景”·這些動(dòng)態(tài)生成的資源雖不在我們預(yù)設(shè)的視線之內(nèi)，卻是學(xué)生智慧的火花，是一筆寶貴的財(cái)富，需要我們用自己的一雙慧眼去給予更多關(guān)注，學(xué)生得到了更多的理解，才更愿意跟隨教師，更愿意親近數(shù)學(xué)·

2·一根多題，凸顯本質(zhì)

一節(jié)課緊緊圍繞一個(gè)題根展開教學(xué)，圍繞一個(gè)題根引領(lǐng)思維，通過“提出簡單問題—提煉典型方法—解決一類問題”的一條主線使得教學(xué)過程自然流暢，思路分析深入淺出，而且教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)方法內(nèi)涵的時(shí)機(jī)把握得適時(shí)，有歸納的基礎(chǔ)，同時(shí)又有拓展的空間，激發(fā)學(xué)生探究的熱情，而提煉和濃縮方法的精髓又是對(duì)方法本質(zhì)的有效詮釋，從自發(fā)運(yùn)用到自覺理解·如果費(fèi)老師再對(duì)此種方法取個(gè)名稱，筆者相信學(xué)生的印象會(huì)更加深刻，教學(xué)效果會(huì)更加明顯·本節(jié)課讓我們深深體會(huì)到數(shù)學(xué)變式教學(xué)的價(jià)值，它是培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，是課堂教學(xué)高效、有效的典型方式·正如華羅庚教授的名言：“數(shù)學(xué)是一個(gè)原則，無數(shù)內(nèi)容；一個(gè)方法，到處有用”，在教學(xué)階段，堅(jiān)持引領(lǐng)學(xué)生有意識(shí)地去歸納方法，通過“刨根”，歸納出一類問題一種方法，一題多根，將問題鏈與思維鏈巧妙結(jié)合，逐步引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)對(duì)方法的認(rèn)識(shí)，對(duì)方法的體驗(yàn)，循序漸進(jìn)地理解方法的本質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)量變到質(zhì)變的升華，“魚漁”兼得！

1·楊玉東，范文貴·高中數(shù)學(xué)新課程理念與實(shí)施［M］·?？冢汉Ｄ铣霭嫔?，2009·

2·柴賢亭·數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題設(shè)計(jì)［J］·教學(xué)與管理，2013（10）·

3·黃文·淺談中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的適度形式化［J］·中小學(xué)數(shù)學(xué)，2012（5）·F