題根

在課本中找到了其題根題源,特別是對(duì)一階遞推數(shù)列和二階遞推數(shù)列問(wèn)題做以分析,尋找其規(guī)律,揭示其本質(zhì).1.平凡見(jiàn)奇生面開(kāi)——真題呈現(xiàn)【例1】(2020·全國(guó)Ⅲ卷理·17)設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=3,an+1=3an-4n.計(jì)算a2,a3,猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明.2.源頭活水清如許——課本尋根陳景潤(rùn)先生曾談起數(shù)學(xué)解題時(shí)說(shuō):“題有千變,貴在有根”.以題根為源展開(kāi)探究,旨在找到破題方向,抓住解題思維入口,通過(guò)變式拓展理解解題“大道至簡(jiǎn)”的解題模式,理解數(shù)學(xué)

遐老師曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：題根是一道具有生長(zhǎng)性的題. 題根將學(xué)生救出“題海深淵”，提高解題效率，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)[1]. 數(shù)列作為高考中必考的知識(shí)點(diǎn). 涉及的相關(guān)題型變化多端，計(jì)算紛繁復(fù)雜，但看似雜亂無(wú)章的問(wèn)題背后，事實(shí)上有通法可尋. 古人云：“萬(wàn)變不離其宗.”由于題根是題目的根基，因此研究題根對(duì)解題而言顯得尤為重要.1 原題呈現(xiàn)已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3,S9,S6成等差數(shù)列，求證：a2,a8,a5成等差數(shù)列.思路1：化歸思想、方程思想.分析：由于涉及

題、高考題命題的題根,給出一種高效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法,敬請(qǐng)同行指正.下面以競(jìng)賽題為例談?wù)劥瞬坏仁降膽?yīng)用,追本溯源,以期拋磚引玉,凸顯回歸題根的重要性.一、求值二、求最值1.求整式的最值例3(2018年河北省預(yù)賽題)若實(shí)數(shù)x,y,z滿(mǎn)足x2+y2+z2=3,x+2y-2z=4,則zmax+zmin=______.例4(2018年天津市預(yù)賽題)[3]實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x2+y2=20,則xy+8x+y的最大值為_(kāi)_____.2.求無(wú)理函數(shù)的最值3.求分式的最值4.求三

遐老師曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：題根是一道具有生長(zhǎng)性的題. 題根將學(xué)生救出“題海深淵”，提高解題效率，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)[1]. 數(shù)列作為高考中必考的知識(shí)點(diǎn). 涉及的相關(guān)題型變化多端，計(jì)算紛繁復(fù)雜，但看似雜亂無(wú)章的問(wèn)題背后，事實(shí)上有通法可尋. 古人云：“萬(wàn)變不離其宗.”由于題根是題目的根基，因此研究題根對(duì)解題而言顯得尤為重要.1 原題呈現(xiàn)已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3,S9,S6成等差數(shù)列，求證：a2,a8,a5成等差數(shù)列.思路1：化歸思想、方程思想.分析：由于涉及

原理（以下統(tǒng)稱(chēng)“題根”），用以觸及中等生、學(xué)困生的最近發(fā)展區(qū)，再慢慢呈現(xiàn)題目變化的過(guò)程，以一條清晰的主線(xiàn)串聯(lián)這些概念或原理，“進(jìn)”到原題中解決問(wèn)題，凸顯以小見(jiàn)大.題根需具有生長(zhǎng)性、滲透性，抓住了題根即找到了知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn).因此，小專(zhuān)題復(fù)習(xí)的設(shè)計(jì)會(huì)直接影響學(xué)生解題技能的提升、知識(shí)體系的建構(gòu)和思維的激發(fā).二、如何開(kāi)展小專(zhuān)題復(fù)習(xí)1.串聯(lián)知識(shí)，完善建構(gòu)“以退為進(jìn)”需將問(wèn)題退到題根，再由題根按一定的思維主線(xiàn)過(guò)渡到原題，這個(gè)過(guò)程中需設(shè)計(jì)“了解、理解、掌握”三個(gè)層次的題目

型題目的來(lái)源稱(chēng)作題根.在新課標(biāo)背景下，2019年人教A版新教材投入使用.挖掘新教材中的題根，以題根展開(kāi)教學(xué)，來(lái)尋找解題思維入口；通過(guò)題根的變式拓展探求不同思路，幫助學(xué)生理解問(wèn)題內(nèi)涵和總結(jié)歸納，對(duì)提升學(xué)生思維有著重要意義.解三角形是高考中必考的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，它在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，還考查了數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法.本文以2019年出版的人教A版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)的一道課后習(xí)題為題根，對(duì)解三角形的題根教學(xué)進(jìn)行相關(guān)探討.一、挖掘題根，夯實(shí)思維基礎(chǔ)

學(xué)生進(jìn)行合理的“題根”模式教學(xué)，幫助學(xué)生正確找到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的技巧，從而有效促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)得到明顯提升.一、題根教學(xué)法的概述“詞根”這個(gè)詞最初是在英語(yǔ)教學(xué)中產(chǎn)生的，其含義比較固定，掌握了詞根，就能迅速記住英語(yǔ)詞匯.而高中數(shù)學(xué)習(xí)題的題干則是由幾個(gè)已知的條件和最后的結(jié)論構(gòu)成的，這些已知的條件，也就是數(shù)學(xué)問(wèn)題的“題根”.很多數(shù)學(xué)練習(xí)看似不同，其實(shí)都使用了同類(lèi)的解題方式.我們把課本上的例題、習(xí)題，或一系列的變形、擴(kuò)展、提煉，最后可以被廣泛地運(yùn)用于解題的結(jié)論，統(tǒng)

出在課本中的題源題根，并以往年高考題或者名校聯(lián)考試題為例加以運(yùn)用，深刻理解同構(gòu)法的高妙.關(guān)鍵詞：真題;同構(gòu);課本;題根中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）16-0035-05高考題源于課本，高于課本，然而教材中許多被人忽視的例題靜靜地散發(fā)著自己的魅力.同構(gòu)法在函數(shù)、圓錐曲線(xiàn)和數(shù)列等模塊中相繼顯現(xiàn)，并被大家接受和認(rèn)可，然而同構(gòu)法并不是新的方法，其思想就隱藏在課本之中.1 真題呈現(xiàn)題目（2021年高考甲卷數(shù)學(xué)（理）20題）

代的要求，筆者將題根引入課堂，借助題根突破重難點(diǎn)題型，引導(dǎo)學(xué)生圍繞題根開(kāi)展探究活動(dòng)等，取得了不錯(cuò)的效果.1 題根簡(jiǎn)介黃坪和尹得好老師在《高中數(shù)學(xué)題根》一書(shū)的封面上有一句話(huà)“記單詞想詞根，解難題找題根”，這給了題根一個(gè)形象的類(lèi)比.他們還對(duì)題根進(jìn)行了描述性的定義，認(rèn)為題根是一個(gè)題族的根祖，一個(gè)題系中的根基，一個(gè)題群中的代表.抓到了一個(gè)題根，就等于抓到了這個(gè)題族，這個(gè)題群，這個(gè)題系.上述的描述性定義可以借助集合論的語(yǔ)言進(jìn)行抽象.題根是某個(gè)問(wèn)題的根源，是一類(lèi)問(wèn)題的

教學(xué)中一種常見(jiàn)的題根圖形，其本質(zhì)是在一條直線(xiàn)上有三個(gè)相等的角．在初一階段，學(xué)生初識(shí)全等三角形時(shí)，常見(jiàn)三直角的頂點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，隨著難虔的增加，這三個(gè)直角可能是相等的銳角或鈍角，全等形進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為相似形．有些試題，“一線(xiàn)三等角”直接躍然紙上，讓人一望而知．有些試題，“一線(xiàn)三等角”隱藏于復(fù)雜圖形之后，需要抽絲剝繭或添加輔助線(xiàn)構(gòu)建而知．無(wú)論“顯”或“隱”，均需要學(xué)生在掌握基本的題根圖形后，能夠熟練辨析這其中的“變”或“不變”，從而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)“一線(xiàn)三等角”的識(shí)別能

角度對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的題根進(jìn)行探索，將問(wèn)題串聯(lián)起來(lái)，由點(diǎn)及面，找到它們的本質(zhì)聯(lián)系?！娟P(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史;題根;題組式教學(xué);高考2017版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出“數(shù)學(xué)文化應(yīng)融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)。在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)有意識(shí)地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值?！苯┠旮呖紡?qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，而其中大多數(shù)內(nèi)容是以數(shù)學(xué)史為載體。數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的歷程，它詮釋了數(shù)學(xué)科學(xué)從簡(jiǎn)單到復(fù)

必須加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的題根教學(xué)，使其掌握高中數(shù)學(xué)的解題技巧.【關(guān)鍵詞】題根;高中數(shù)學(xué);樣例教學(xué)【基金項(xiàng)目】本文是福建省2019年度泉州市基礎(chǔ)教育課程教學(xué)研究課題《高中數(shù)學(xué)題根教學(xué)實(shí)踐研究》（編號(hào)：QJYKT2019-156）的研究成果之一前 言與傳統(tǒng)應(yīng)試教育方法不同，通過(guò)樣例加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的題根教學(xué)，是為了更好地讓學(xué)生學(xué)會(huì)融會(huì)貫通的解題方法.也就是說(shuō)，當(dāng)學(xué)生掌握一組題目的題根所在之后，學(xué)生能夠針對(duì)這類(lèi)題目實(shí)現(xiàn)舉一反三的思考，進(jìn)而提升解題能力.高中數(shù)學(xué)是比較抽象和難懂

題目的源頭，即“題根”，揭開(kāi)籠罩在這些題目上面的面紗，讓學(xué)生尋根解題，不再盲目。關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);等差數(shù)列;等比數(shù)列;題根教學(xué)數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，同時(shí)作為高考熱考考點(diǎn)之一，會(huì)結(jié)合數(shù)學(xué)文化以不同的“面貌”走到考生面前，但考察的核心內(nèi)容并未改變，從而達(dá)到提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生的綜合能力?？疾榈念}目普遍呈現(xiàn)為中等題目，但對(duì)于南疆大部分學(xué)生還是很有挑戰(zhàn)性，所以決定將數(shù)列的考察類(lèi)型進(jìn)行整理，形成體系化的內(nèi)容，讓學(xué)生在看到題目以后明

4.1.2加強(qiáng)對(duì)題根的研究與開(kāi)發(fā)不少高考導(dǎo)數(shù)壓軸題是以教材中的結(jié)論或試題為背景進(jìn)行再創(chuàng)造而成的.這些具有“生長(zhǎng)性”的試題或結(jié)論就是題根.教師應(yīng)當(dāng)挖掘這些題根的知識(shí)背景及其所蘊(yùn)含的思想方法，在此基礎(chǔ)上開(kāi)發(fā)新的試題并形成題組.通過(guò)不同的考查形式，讓學(xué)生對(duì)這一題根有全面深入地理解.4.2開(kāi)展“回歸教材”的解題活動(dòng)有目的有組織的數(shù)學(xué)活動(dòng)能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)和解題能力.因而，在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)有意地創(chuàng)設(shè)情境，開(kāi)展“回歸教材”的解題活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生回

2|=p2.四、題根基因探索揭開(kāi)試題神秘的“面紗”,抓住考題和題根之間的內(nèi)在聯(lián)系.試題生長(zhǎng)點(diǎn)是基于圓錐曲線(xiàn)的通性性質(zhì)，是許多高考試題的題源題根.水有源，故其流不窮；木有根，故其生不窮.很多考題本質(zhì)是題根穿上華麗的“外衣”，帶上神秘的“面紗”，抓住考題和題根之間的內(nèi)在聯(lián)系，解題時(shí)才能“莫為浮云遮望眼”，善于“撥開(kāi)迷霧”見(jiàn)“真顏”，才能從茫茫題海中走出來(lái)，可謂茫茫題海，尋根是岸.教學(xué)中，我們應(yīng)將具有探究?jī)r(jià)值的題根挖掘出來(lái),也可進(jìn)行問(wèn)題情境的設(shè)置，讓學(xué)生在探究中

衍生的題目稱(chēng)為“題根”．那么如何尋找“題根”呢？將源于課本的題目進(jìn)行提煉與升華形成結(jié)論，然后再將其廣泛應(yīng)用于解題實(shí)踐中，這便是尋覓“題根”的不二法門(mén)了.這一過(guò)程意義非凡，因?yàn)槊Ｃｎ}海中很多題目表面不同，但實(shí)質(zhì)一樣(可歸結(jié)于同一個(gè)“題根”)．一個(gè)“題根”加工而成的結(jié)論，其功效不亞于教材中的一個(gè)定理.[1]筆者從一個(gè)重要的不等式出發(fā)，探源溯流，給出其在北大夏令營(yíng)測(cè)試中的應(yīng)用.可以利用數(shù)學(xué)歸納法獲得證明，過(guò)程略.下面以北大夏令營(yíng)測(cè)試題為例談?wù)劥瞬坏仁降膽?yīng)用，追本

,貴在有根”.以題根方式展開(kāi)教學(xué),旨在抓住解題思維入口,通過(guò)題根的變式拓展探求不同的解法,幫助學(xué)生理解問(wèn)題內(nèi)涵,總結(jié)歸納解題.本文以一道競(jìng)賽題為例,探源溯流,給出一類(lèi)競(jìng)賽題、高考題命題的題根,探索一種高效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法,敬請(qǐng)同行指正.[1]題根(2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南省預(yù)賽題)[2]已知a、b>0且a≠b.評(píng)注第(1)問(wèn)為對(duì)數(shù)平均不等式，在近幾年的競(jìng)賽、高考中應(yīng)用非常廣泛，可簡(jiǎn)化問(wèn)題解答過(guò)程，開(kāi)辟了不等式證明的新路.下面舉例說(shuō)明該題根在競(jìng)賽、高考題

是源于下列問(wèn)題：題根已知x＞0，y＞0，x+y=1，求的最小值．這道題是一個(gè)“題根”，對(duì)應(yīng)的“乘1法”是眾多方法中用起來(lái)比較利索的方法，只要條件和目標(biāo)的結(jié)構(gòu)符合這樣的要求，就可以“套用”，系數(shù)不為1也是如此．例已知正數(shù)x，y滿(mǎn)足的最小值為_(kāi)______．分析一注意到互為倒數(shù)關(guān)系，湊一湊的倒數(shù)以及它們的關(guān)系，將條件向目標(biāo)方向配湊．解法一由題意得分析二反過(guò)來(lái)想，將目標(biāo)向條件看齊，對(duì)這種形式分離常數(shù)，出現(xiàn)后，對(duì)化整式后因式分解，形成基本模式．解法二由題設(shè)可得（x

問(wèn)題.【關(guān)鍵詞】題根;基本不等式;絕對(duì)值函數(shù)根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》教學(xué)建議，筆者認(rèn)為，教學(xué)中若教師能夠遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，注重題根教學(xué)，不僅能使學(xué)生較好地學(xué)會(huì)做題、領(lǐng)悟解題，還能達(dá)到舉一反三、融會(huì)貫通的效果.下面舉兩個(gè)題根教學(xué)的案例來(lái)說(shuō)明.題根1 已知正數(shù)a，b滿(mǎn)足ab=a+b，求a+b的最小值.分析 這是一道很經(jīng)典的題目，大多數(shù)學(xué)生都能做出來(lái)，常見(jiàn)的有以下幾種做法.解法1 利用基本不等式處理，ab=a+b≥2ab，得ab≥4.解法2 由ab=a+b

習(xí)成績(jī)1.3 向題根轉(zhuǎn)化策略向題根轉(zhuǎn)化作為化歸思想中很有效的方法之一，值得我們大家學(xué)習(xí)。它就是需要在無(wú)數(shù)的題目中找到母題，然后把母題做會(huì)，做對(duì)。通過(guò)這種方法，我們就可以把很多的相似的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，最后進(jìn)行解答。反反復(fù)復(fù)，這樣就能夠最終提高學(xué)習(xí)成績(jī)。就好比如我們?cè)趯W(xué)習(xí)英語(yǔ)的單詞的時(shí)候，有一些英語(yǔ)單詞都會(huì)有它所對(duì)應(yīng)的單詞“詞根”，“詞綴”，只有我們把上面的方法掌握好才能夠提高成績(jī)。類(lèi)比過(guò)來(lái)，數(shù)學(xué)也有題根，它就是構(gòu)成一道數(shù)學(xué)題的條件和問(wèn)題，平時(shí)要學(xué)會(huì)多總結(jié)，多歸納

.1 注重挖掘“題根”，加強(qiáng)同類(lèi)題目之間的關(guān)聯(lián)。試題設(shè)計(jì)，通常先有一個(gè)“題根”，“題根”可來(lái)源于典型試題，也可來(lái)源于教材，從形式上看，“題根”本身也是一個(gè)數(shù)學(xué)題目.既然考題是由“題根”演變而來(lái)，那么解答時(shí)的關(guān)鍵就是要能找到“題根”，并且找出它們之間的關(guān)聯(lián).鄭毓信教授曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)時(shí)，不是求全，重要的是求聯(lián)”，這里的“聯(lián)”就是關(guān)聯(lián)、聯(lián)系之意.不少中考試題來(lái)源于教材，根植于教材，但又高于教材.因此我們?cè)谌粘＝虒W(xué)過(guò)程中要重視研究教材，善于發(fā)現(xiàn)“題根”，挖

這個(gè)過(guò)程就是探究題根的過(guò)程.在平時(shí)的教學(xué)中，我們要善于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一些具有生長(zhǎng)性的好題進(jìn)行題根探究，因?yàn)橐粋€(gè)題根可以繁衍出很多題目，并且一些問(wèn)題的巧妙解法和通法都是在題根的導(dǎo)向下獲得的.例如前文的?？荚囶}第(2)問(wèn)的解答過(guò)程和結(jié)論1和結(jié)論2的證明過(guò)程都體現(xiàn)了破解圓錐曲線(xiàn)定值問(wèn)題的基本思路:定點(diǎn)問(wèn)題必然是在變化中所表現(xiàn)出來(lái)的不變的量，那么就可以用變化的量表示問(wèn)題中的直線(xiàn)方程、數(shù)量積等，其不受變換的量所影響的一個(gè)值即為定點(diǎn)，化解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是引進(jìn)參數(shù)表示直線(xiàn)方

.1 注重挖掘“題根”，加強(qiáng)同類(lèi)題目之間的關(guān)聯(lián)。試題設(shè)計(jì)，通常先有一個(gè)“題根”，“題根”可來(lái)源于典型試題，也可來(lái)源于教材，從形式上看，“題根”本身也是一個(gè)數(shù)學(xué)題目.既然考題是由“題根”演變而來(lái)，那么解答時(shí)的關(guān)鍵就是要能找到“題根”，并且找出它們之間的關(guān)聯(lián).鄭毓信教授曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)時(shí)，不是求全，重要的是求聯(lián)”，這里的“聯(lián)”就是關(guān)聯(lián)、聯(lián)系之意.不少中考試題來(lái)源于教材，根植于教材，但又高于教材.因此我們?cè)谌粘＝虒W(xué)過(guò)程中要重視研究教材，善于發(fā)現(xiàn)“題根”，挖

衍生的題目稱(chēng)為“題根”．那么如何尋找“題根”呢？將源于課本的題目進(jìn)行提煉與升華形成結(jié)論，然后再將其廣泛應(yīng)用于解題實(shí)踐中，這便是尋覓“題根”的不二法門(mén)了.這一過(guò)程意義非凡，因?yàn)槊Ｃｎ}海中很多題目表面不同，但實(shí)質(zhì)一樣(可歸結(jié)于同一個(gè)“題根”)．一個(gè)“題根”加工而成的結(jié)論，其功效不亞于教材中的一個(gè)定理.筆者從一個(gè)重要的不等式出發(fā)，探源溯流得到競(jìng)賽題、高考題命題的題根，并給出一種高效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，敬請(qǐng)同行指正.[1]下面以近期競(jìng)賽試題和數(shù)學(xué)通訊問(wèn)題征解為例談?wù)劥?/div>

中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2019年2期2019-03-08

常值變參型特征與題根：該題型在(a+b)n的底數(shù)a，b 的位置引入?yún)⒆兞?，并求參變量的值。在解答時(shí)，如果視參變量為常量，那么原問(wèn)題化歸于二項(xiàng)式定理的基礎(chǔ)知識(shí)。列關(guān)于參變量的等式，解之即可。例1已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中含x3項(xiàng)的系數(shù)為160，則實(shí)數(shù)a 的值為_(kāi)___。解析1：因?yàn)橐箈2，兩項(xiàng)之積得到x3，則應(yīng)給x2與分別分配3 次方，所以根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)公式得·160，解得a=-2。正確答案為-2。解析2：依題意得得r=3，所以解得a=-2。正確答案

經(jīng)典染色問(wèn)題（見(jiàn)題根）.題（2）是一個(gè)傳球問(wèn)題，和題（1）能否聯(lián)系起來(lái)呢？亦即是要找到題中的“點(diǎn)”和“顏色”，若我們將甲、乙、丙看作“點(diǎn)”，傳球方式看成在染色，發(fā)現(xiàn)難以轉(zhuǎn)化，因?yàn)闊o(wú)法理解相鄰異色.而本題中隱藏條件“自己不能傳給自己”疑似和“相鄰兩點(diǎn)不同色”相關(guān)，因此我們可以試著將傳給誰(shuí)看成染什么色，把5次傳球看作5個(gè)“點(diǎn)”，問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為：用紅、黃、藍(lán)三種顏色給P，A，B，C，D5個(gè)點(diǎn)染色，每個(gè)點(diǎn)染一種顏色，相鄰兩點(diǎn)不同色，其中點(diǎn)D只能染紅色，P，A，B，C

思想的可行性1.題根的價(jià)值和意義 題根是相對(duì)于題海而提出的，在高中教學(xué)方式方法中題海戰(zhàn)術(shù)是不可避免的，但是題海戰(zhàn)術(shù)卻扼殺了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，將學(xué)生變成了純粹的解題工具和奴隸.高中數(shù)學(xué)作為高中階段的一門(mén)重點(diǎn)課程，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的程度和知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用能力的高低，主要在分析問(wèn)題、解決實(shí)際問(wèn)題中體現(xiàn)出來(lái).高中是加強(qiáng)對(duì)學(xué)生猜想能力、推理能力、歸納能力的培養(yǎng)，對(duì)于促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)的提高具有積極的意義。首先，題根可以是一道題，一道具有生長(zhǎng)性的題.我們所

吳春勝一、尋根仔細(xì)閱讀這三個(gè)題目，可以發(fā)現(xiàn)，都是在給定條件下求目標(biāo)式的最值，題（l）給出的條件是一個(gè)定義在區(qū)間[0，2π]上的函數(shù)f（x），需要求f（x）的最大值，我們可以通過(guò)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)f（x），令導(dǎo)函數(shù)f（x）=O得到極值點(diǎn)，進(jìn)而得到最大值，但此法較繁雜，計(jì)算量很大，題（2）和題（3）的條件都是給出一個(gè)二元二次式的值，所不同的是，題（2）求一個(gè)二元一次式的最大值，而題（3）求一個(gè)二元二次式的最小值，很多同學(xué)在做題（2）和題（3）這類(lèi)題的時(shí)候，總是東邊

相同的本源，即“題根”，本文就是通過(guò)探究一個(gè)圓的最值問(wèn)題的求解，來(lái)說(shuō)明這個(gè)“題根”的精彩應(yīng)用與拓展.2 題根2.1 問(wèn)題圖1(蘇課版九年級(jí)上冊(cè)教科書(shū)補(bǔ)充習(xí)題)如圖1，P是⊙O外的一定點(diǎn)，試探求點(diǎn)P與圓上點(diǎn)的最小距離與最大距離.2.2 解析這個(gè)問(wèn)題的本源是兩點(diǎn)之間的距離，其中，一個(gè)點(diǎn)是圓外的一個(gè)定點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn).從變與不變的哲學(xué)辯證關(guān)系入手，我們發(fā)現(xiàn)，這里有兩個(gè)定點(diǎn)，分別是點(diǎn)P點(diǎn)O，無(wú)論這個(gè)動(dòng)點(diǎn)在圓上如何運(yùn)動(dòng)，這兩個(gè)點(diǎn)的位置始終是不變的，再?gòu)奶厥馀c

沈磊【摘要】題根，顧名思義即為題目的根基，它是一個(gè)題目的根本基礎(chǔ)，是同一個(gè)類(lèi)型題的代表.培養(yǎng)學(xué)生的舉一反三的辯證思考能力，最重要的就是要培養(yǎng)學(xué)生挖掘題目題根的能力，從而引導(dǎo)學(xué)生辯證地解題，提高解題能力，完善數(shù)學(xué)思維，拓展知識(shí).初中二次函數(shù)教學(xué)中，題根教學(xué)法的運(yùn)用至關(guān)重要，是引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)二次函數(shù)的關(guān)鍵途徑.【關(guān)鍵詞】題根；辯證思考能力；初中二次函數(shù)教學(xué)題根在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中是一個(gè)關(guān)鍵因素.如何引導(dǎo)學(xué)生迅速?gòu)念}目當(dāng)中抓到關(guān)鍵點(diǎn)，進(jìn)而找到題目的題根，迅速而高效地

的教學(xué)片斷來(lái)描述題根教學(xué)模式在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的有效應(yīng)用。關(guān)鍵詞：高三；復(fù)習(xí)課；題根題根不是一個(gè)概念、不是結(jié)論，而是一個(gè)問(wèn)題。它是一個(gè)題族的根祖，一個(gè)題系中的根基，一個(gè)題群中的代表。高三階段，需要大量的習(xí)題來(lái)鞏固和加深對(duì)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)的理解和應(yīng)用。題根教學(xué)模式有利于學(xué)生有效的將高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行系統(tǒng)化、理論化的歸類(lèi)；有利于學(xué)生對(duì)零散的高中數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有效的加工處理，使其更加具有規(guī)律化；有利于學(xué)生對(duì)同一類(lèi)型的題目進(jìn)行模式化。在高三的復(fù)習(xí)中我嘗試用題根教學(xué)的模式嘗

需要找到它們的“題根”,從而順利轉(zhuǎn)化為某些經(jīng)典模型進(jìn)行解題。題根1：(拿賀卡模型)有4位同學(xué)每人寫(xiě)一張賀卡放在一起,然后每人拿一張賀卡,要求每人都不拿自己的賀卡,所有拿法總數(shù)是____。解析：假設(shè)有甲、乙、丙、丁4人各寫(xiě)一張賀卡,甲先去拿一個(gè)賀卡,有3種方法,假設(shè)甲拿的是乙寫(xiě)的賀卡,接下來(lái)讓乙去拿,乙此時(shí)也有3種方法,剩下兩人中必定有一人自己寫(xiě)的賀卡還沒(méi)有發(fā)出去,這樣兩人只有1種拿法,總的拿法為3×3×1×1=9(種),故答案為9。例1 如圖1,用四種不同

高中數(shù)學(xué)；教學(xué)；題根；探究一、前言伴隨世界范圍內(nèi)的科技不斷進(jìn)步，我國(guó)科學(xué)教育工作也在緊跟世界科技發(fā)展的潮流，頒布并實(shí)施了新課程標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革做出了明確指示。與此同時(shí)，教師隊(duì)伍水平的不斷提高，嘗試了許多新的教學(xué)方法，教學(xué)理念也得到了長(zhǎng)足發(fā)展。在高中數(shù)學(xué)改革過(guò)程中始終堅(jiān)持以學(xué)生為主體，不斷提高學(xué)生的學(xué)習(xí)水平以及各項(xiàng)綜合素質(zhì)。二、現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)教學(xué)有效性理解最新頒布實(shí)施的新課程改革中再次對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)有效性做出了更高層次的要求，部分高中老師對(duì)其中高中數(shù)

復(fù)習(xí)教學(xué)；高三；題根；題海眾所周知，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)不是無(wú)目的的重復(fù)做題，也不是僅僅依賴(lài)大量訓(xùn)練達(dá)到目的的.但是上述方式卻依舊在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)獲得了教師教學(xué)的首肯，原因何在？從華東師大心理學(xué)教授孟慧對(duì)于教師教學(xué)方式的調(diào)查研究來(lái)看，發(fā)現(xiàn)了三個(gè)根本的因素：第一，慣性的作用.孟教授將其歸結(jié)為教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)過(guò)度，造成了經(jīng)驗(yàn)性的慣性. 考慮到新一輪課程改革實(shí)施不過(guò)數(shù)十年，而現(xiàn)在的教師卻完全在應(yīng)試教學(xué)模式下成長(zhǎng)起來(lái)，其對(duì)于數(shù)學(xué)成績(jī)的提高的認(rèn)知基本停留在一種當(dāng)年自己學(xué)習(xí)的模

2)盧云輝●基于題根研究下的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題福建省廈門(mén)松柏中學(xué)( 361012)盧云輝●本文對(duì)基于題根研究下的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題進(jìn)行一些整理與歸納，便于讀者參考與借鑒．一、基于重要習(xí)題研究下的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題人教A版選修2-2第32頁(yè)B組第1大題第3小題，證明不等式:ex>1+x(x≠0).在此基礎(chǔ)上拓展的習(xí)題: 當(dāng)x>-1時(shí)，有x>-1 時(shí)，有x>ln( 1 + x) ; 當(dāng)x>0 時(shí)，有x-x>lnx．二、基于重要結(jié)論研究下的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題變式(1) 已知0變

探索圓錐曲線(xiàn)試題題根的教學(xué)案例江蘇省海門(mén)中學(xué)證大校區(qū)(226100)黃衛(wèi)平對(duì)于一個(gè)試題，削弱其條件，加強(qiáng)其結(jié)論，追根溯源得到一個(gè)更加普遍性意義的結(jié)論，這就是這個(gè)試題的題根．如果我們對(duì)一個(gè)試題疑似它有一個(gè)有價(jià)值的題根，就應(yīng)該大膽進(jìn)行猜測(cè)，探索論證其正確性．研究試題的題根，對(duì)教師而言，能夠有效提升專(zhuān)業(yè)業(yè)務(wù)素質(zhì)，對(duì)命制試卷具有題庫(kù)作用；對(duì)學(xué)生而言，培養(yǎng)研究探索精神和推理論證能力大有益處．在圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中，利用幾何畫(huà)板研究問(wèn)題的一般性，探索結(jié)論的正確性具有特殊的優(yōu)

探索圓錐曲線(xiàn)試題題根的教學(xué)案例江蘇省海門(mén)中學(xué)證大校區(qū)黃衛(wèi)平(郵編：226100)對(duì)于一個(gè)試題，削弱其條件，加強(qiáng)其結(jié)論，追根溯源得到一個(gè)更加普遍性意義的結(jié)論，這就是這個(gè)試題的題根．如果我們對(duì)一個(gè)試題疑似它有一個(gè)有價(jià)值的題根，就應(yīng)該大膽進(jìn)行猜測(cè)，探索論證其正確性．研究試題的題根，對(duì)教師而言，能夠有效提升業(yè)務(wù)素質(zhì)，對(duì)命制試卷具有題庫(kù)作用；對(duì)學(xué)生而言，培養(yǎng)研究探索精神和推理論證能力大有益處．在圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中，利用幾何畫(huà)板研究問(wèn)題的一般性，探索結(jié)論的正確性具有特殊的

順利解題.4.向題根轉(zhuǎn)化向題根轉(zhuǎn)化是化歸思想中非常重要的一個(gè)解決思維、解決策略.所謂題根就是一道題目的條件和問(wèn)題.在高中階段，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，會(huì)做大量的習(xí)題，大量的習(xí)題有時(shí)候會(huì)讓學(xué)生摸不著頭緒，但是只要將向題根轉(zhuǎn)化這一思想貫穿于其中就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中有很多不同的問(wèn)題，其實(shí)最基本的知識(shí)點(diǎn)是相同的，因此，與此道題目相近的題目也就都可以得到解決.函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中也是一樣，在解答函數(shù)相關(guān)題目時(shí)，如果遇到難以解決的問(wèn)題，便可以先將其向題根轉(zhuǎn)化.細(xì)數(shù)高中階段所學(xué)函數(shù)知識(shí)，

萬(wàn)爾遐題根，是相對(duì)于題海而提出的。題海扼殺了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，將學(xué)生變成純粹的解題工具，每個(gè)學(xué)生都是題的奴隸。所以在題海里，學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)毫無(wú)興趣可言。他們耗盡精力，窮于應(yīng)付，卻收效甚微。題根則不同，它不要求學(xué)生解那么多的題。一門(mén)數(shù)學(xué)、物理或化學(xué)，題目成千上萬(wàn)，但細(xì)究起來(lái)，其題根卻是屈指可數(shù)的少數(shù)幾個(gè)，掌握好一個(gè)題根，就等于掌握了幾十，甚至上百道好題。所以，這絕對(duì)是一本萬(wàn)利的好事。那么，到底什么是題根？首先。題根可以是一道題。一道具有生長(zhǎng)性的題。在數(shù)學(xué)里，我們

題的生長(zhǎng)點(diǎn)——“題根”。因此，重視課本典型例習(xí)題的研究，用好、用活課本十分重要。下面以人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第十三章《軸對(duì)稱(chēng)》中一道例題來(lái)看這樣一類(lèi)試題。例題1：如圖1：△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E.求證：△ADE是等邊三角形（人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第80頁(yè)例4）。這個(gè)例題簡(jiǎn)單，很多老師認(rèn)為這只是幫助學(xué)生熟知等邊三角形的判定方法，也會(huì)引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法來(lái)說(shuō)明，但是這個(gè)題還有沒(méi)有可以拓展的空間呢？如果當(dāng)點(diǎn)D在邊AB所在直

須追根溯源.所謂題根，就是那些源于基礎(chǔ)，又高于基礎(chǔ)，提煉于解題實(shí)踐，又能廣泛應(yīng)用于解題實(shí)踐的結(jié)論、習(xí)題、例題、各類(lèi)試題.在平時(shí)的解題訓(xùn)練中，若能重視題根及其變式的應(yīng)用，總能達(dá)到舉一反三、跳出題海并提高解題能力的功效.本文以課本中的一個(gè)著名題根為例，結(jié)合今年的高考題和模擬題談?wù)勊捌渥兪降膽?yīng)用，現(xiàn)分析如下.1 課本題根及其應(yīng)用題根 （人教A版選修22教材第32頁(yè)習(xí)題B組第1大題第3小題）利用函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式ex>1+xx≠0.分析 要證明不等式，常見(jiàn)

萬(wàn)爾遐老師說(shuō)：“題根是題目的根基，它不是一個(gè)孤立的題目，也不是一堆題目中單一的個(gè)體，它是一個(gè)題族的根祖，一個(gè)題系中的根基，一個(gè)題群的代表.”所謂題根教學(xué)法是指在教學(xué)過(guò)程中，針對(duì)題根是一個(gè)“題族的根祖，題系的根基，題群的代表”這一特點(diǎn)，通過(guò)對(duì)題根所涉及的知識(shí)和解法來(lái)進(jìn)行研究拓展，從而引領(lǐng)學(xué)生來(lái)掌握題族的基礎(chǔ)知識(shí)，解決題族的基礎(chǔ)問(wèn)題的教學(xué)方法.進(jìn)入初三復(fù)習(xí)階段，可以說(shuō)時(shí)間對(duì)教師、學(xué)生都是十分寶貴的，因此教師的教學(xué)安排、課堂設(shè)計(jì)就顯得尤為重要.教師若能在教學(xué)中妙

15151)挖掘題根窺斑見(jiàn)豹 ——對(duì)杭州市下城區(qū)即興說(shuō)題題目的幾點(diǎn)思考●田海霞(鄞州區(qū)鄞江鎮(zhèn)中心初級(jí)中學(xué) 浙江寧波 315151)題根概念提出者萬(wàn)爾遐老師說(shuō)：題根是題目的根基，它不是一個(gè)孤立的題目，也不是一堆題目中單一的個(gè)體，它是一個(gè)題族的根祖，一個(gè)題系中的根基，一個(gè)題群的代表.在實(shí)踐中常常發(fā)現(xiàn)，千姿百態(tài)的數(shù)學(xué)題目猶如一棵樹(shù)上的枝枝葉葉，雖然看上去紛繁復(fù)雜，但是它們之間其實(shí)是息息相通的，它們都是從同一題根衍生變化而來(lái)，故在研究問(wèn)題時(shí)可以通過(guò)窺其題根而見(jiàn)其全