圖像Arnold變換中的準對稱性問題與半周期現(xiàn)象

李雄軍，廖日軍，李金龍，冼建標，徐健杰，黃 培，何小雨

深圳大學物理科學與技術學院，深圳 518060

圖像Arnold變換中的準對稱性問題與半周期現(xiàn)象

李雄軍，廖日軍，李金龍，冼建標，徐健杰，黃 培，何小雨

深圳大學物理科學與技術學院，深圳 518060

從廣義Arnold變換的周期性及標準Arnold變換與Fibonacci的關系出發(fā)，推導k步Arnold變換的一次性等效變換矩陣，特別是半周期處的一次性變換矩陣，并分析其特點，證明圖像經(jīng)廣義Arnold變換位置置亂后在置亂周期內呈現(xiàn)圖像置亂度的準對稱性，討論當置亂周期為偶數(shù)時的半周期現(xiàn)象和置亂周期為奇數(shù)時的各種不同情況.研究結果表明，無論置亂周期為奇數(shù)還是偶數(shù)，圖像亂度存在前半周期和后半周期的準對稱性;對偶數(shù)周期情況，標準Arnold變換下，在置亂次數(shù)等于周期的一半時，一次性置亂變換矩陣為單位矩陣的整數(shù)倍;半周期處置亂圖像更易呈現(xiàn)與原圖相似的結構或內容信息;對于某些維數(shù)的圖像，半周期處的一次性置亂變換為負的單位矩陣，此時圖像為原圖的水平加垂直鏡像圖像;廣義Arnold變換下，偶數(shù)置亂周期變換的半周期處的一次性變換矩陣可能是標準Arnold變換的結果，或在此基礎上疊加了一個位移量為圖像維數(shù)一半的水平或垂直平移，因而仍然存在較明顯的半周期現(xiàn)象.對于奇數(shù)周期，半周期現(xiàn)象雖然存在但一般不如偶數(shù)周期情況明顯，更不易出現(xiàn)鏡像或提前恢復原圖的情況.該研究可用于指導圖像加密預處理中置亂次數(shù)選擇和置亂亂度計算方法的評價與比較.

計算機應用;Arnold變換;準對稱性;置亂變換;置亂度;半周期現(xiàn)象;Fibonacci變換;圖像加密

Arnold變換因其簡捷、周期性和非線性［1-5］，一直是圖像加密、信息隱藏和數(shù)字版權保護中普遍采用的置亂技術之一［6-8］.由于置亂效果的好壞直接關系到后續(xù)加密或隱藏處理的加密性、隱蔽性及抗檢測性，因此，針對圖像置亂度評價和影響置亂效果的因素分析的研究具有重要意義.近年來，圖像亂度評價準則與置亂度計算方法引起了學者的廣泛關注［9-17］，而影響圖像置亂效果的因素分析并未受到足夠重視.實踐證明，Arnold置亂變換的效果不僅與原圖結構內容有關，且與置亂變換參數(shù)和置亂次數(shù)密切相關.如圖1所示，包括灰度圖像和二值圖像在內的圖像，經(jīng)標準Arnold變換位置置亂后，在整個變換周期內，其置亂圖像的亂度呈現(xiàn)前半周期和后半周期之間一定的對稱性 (非嚴格對稱，即準對稱性)，且在半周期處，置亂圖像與原圖有較大相似性.對有一定規(guī)則性且亂度較低的原圖，隨著變換次數(shù)增加，圖像亂度雖然有所波動，但總體趨勢是越來越亂，當置亂次數(shù)k接近半周期次數(shù)時，圖像亂度又明顯下降，甚至隱約可見原圖的信息;繼續(xù)置亂，圖像亂度又會增加并伴隨輕微波動，當置亂次數(shù)接近置亂周期次時亂度明顯下降，直到等于置亂周期時恢復為原圖.標準Arnold變換的這種俗稱“半周期”現(xiàn)象已被普遍察覺，并依圖像內容結構的不同和置亂變換周期的不同，出現(xiàn)明顯程度或強或弱的變化.那么，廣義Arnold變換是否具有與標準Arnold變換同樣的準對稱性和半周期現(xiàn)象?能否從數(shù)學上嚴格證明準對稱性呢?排除原圖對置亂圖像亂度的影響，圖像亂度與變換參數(shù)和置亂次數(shù)之間是否存在更明顯和直接的關系?當置亂周期為偶數(shù)或奇數(shù)時，半周期現(xiàn)象在明顯程度上有何不同?目前，這些問題都沒有很好的解釋，這也帶來了Arnold變換在亂度研究和圖像加密應用中的局限性:在圖像亂度研究領域，Arnold變換一個變換周期內的置亂圖像常常被用來定性測試某置亂度指標的合理性.但一般只限于標準Arnold變換，并且只考察圖像亂度大概趨勢的反映.由于半周期現(xiàn)象的明顯程度與所選原圖及置亂周期有關，使這樣的測試帶有一定主觀性和片面性.在圖像加密和信息隱藏領域，選擇置亂次數(shù)時人們往往會首先人為確定變換參數(shù) (最典型的是直接采用標準Arnold變換)，然后常用兩種方法確定置亂次數(shù):一是依據(jù)經(jīng)驗或對原圖進行置亂測試，依據(jù)視覺觀察結果來選擇，其缺點是此選擇存在一定主觀性和隨意性，且結果依賴于原圖，一旦原圖改變則必須重新測試;二是采用某種亂度指標隨時計算置亂圖像的置亂度來選擇置亂次數(shù).雖然這種方法能實現(xiàn)置亂過程中自動選擇亂度較高的置亂次數(shù)，但由于至今尚無一種普遍適用且與人類視覺效果吻合的圖像亂度評價方法，影響了結果的可靠性.

鑒于以上理論和應用兩方面的原因，本研究從Arnold變換及其與Fibonacci數(shù)列的關系入手，分置亂周期為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，來深入探討這些問題，并討論此結論在應用方面的啟示.

圖1 圖像經(jīng)Arnold變換置亂情況Fig.1 Images scrambled by Arnold transformation and their scrambling degree curves during a scrambling cycle

1 準對稱性問題

1.1 基本概念

1.1.1 廣義Arnold變換與標準Arnold變換

大小為N×N的圖像經(jīng)Arnold變換后，位置置亂可表示為

其中，x、y、x1、y1∈［0，N-1］，(x，y)和(x1，y1)分別為原圖像坐標和對應的置亂圖像坐標.

廣義Arnold變換形式為

其中，b和c為整數(shù).滿足A的行列式值det A=A=1.當b=c=1，即為Arnold變換的標準形式［1］為

1.1.2 一次性等效變換矩陣

對原圖進行k次Arnold變換后，有

其中，(xk，yk)是像素(x，y)經(jīng)整數(shù)k次Arnold變換后的新坐標，k∈［1，N］.若存在Ak，對所有(x，y)圖像坐標滿足

其中，ak、bk、ck、dk∈［0，N-1］的整數(shù)，則稱 Ak為對維數(shù)為N×N的圖像進行k次Arnold變換的一次性等效變換矩陣［18］.那么

為求取任意次置亂變換的一次性等效變換的公式.同時，求Ak時要注意，計算矩陣乘方時要及時取模，以免元素太大而溢出，造成結果錯誤［18］.

1.1.3 模N逆矩陣

設I為單位矩陣，對變換矩陣T和R，若

則稱T和R互為模N逆矩陣.

1.2 準對稱性的推導

依據(jù)式(1)至式(3)，由det Akmod N=det Akmod N=(det A)kmod N=1可得

當k=mN，其中mN為置亂周期，滿足

原圖經(jīng)mN次置亂后恢復為原圖，對照式(7)與式(8)，則有

將式(9)兩邊分別乘以dm和bm，得

由式(10)移項得

將(15)式分別代入式(13)和式(14)，可得

根據(jù)式(6)得到(amdm-bmcm)mod N=1，則有

類似地，由式(11)和式(12)可得

式(17)至式(18)的結論對于標準Arnold變換和廣義Arnold變換都成立.

設大小為N×N的原圖像I上的某個像素(x，y)，分別經(jīng)m次和mN-m次Arnold變換后，得到置亂圖像 I'和I″上對應像素的位置(x'，y')和(x″，y″)分別為

顯然，Am與AmN-m(Rm)互為模N逆矩陣.

式(21)說明，原圖經(jīng)mN-m次Arnold正變換與原圖經(jīng)m次Arnold逆變換是等效的.式(23)反映了原圖經(jīng)m次Arnold正變換的一次性等效變換Am與原圖經(jīng)m次Arnold逆變換的一次性等效變換Rm之間的準對稱關系.

若將式(19)和式(20)兩邊分別乘以Rm和 Am，則可得

圖2用示意圖方式對準對稱性做出解釋，其中k為置亂次數(shù).

圖2 準對稱性解釋示意圖Fig.2 Schematic sketch for explanation of quasi-symmetry

由圖2可見，Am與AmN-m使原圖同一像素被映射到不同位置上，但置亂后的位置不是毫無關聯(lián)，而是通過這兩個互為模N逆變換矩陣呈現(xiàn)一定對稱相關性.

通過比較兩個坐標乘積x'y'與x″y″還發(fā)現(xiàn)，若

成立，則存在x'y'=x″y″，使得置亂圖像I'和I″上的像素(x'，y')和(x″，y″)存在更密切的對應關系.

以上證明在置亂周期內，經(jīng)廣義Arnold變換(包括標準Arnold變換在內)，進行像素位置置亂的圖像在圖像亂度上存在準對稱性.

2 半周期現(xiàn)象討論

2.1 置亂周期為偶數(shù)時的情況

若周期mN為偶數(shù)，則半周期s=mN/2為整數(shù).在m=s時，由式(16)得as=ds.由式(17)得bs=-bsmod N，那么，若N為奇數(shù)，則唯一解bs=0;若N是偶數(shù)，則bs=0或N/2.同理，由式(18)可得，若N是奇數(shù)，有cs=0;若N是偶數(shù)，cs=0或N/2.因此，原圖被廣義Arnold變換位置置亂半周期次的一次性變換矩陣有4種可能的形式，即

式(27)至式(29)同時必須滿足

式(31)可等效為

式 (30)同時需滿足

下面針對以上4類As，分析原圖像像素(x，y)被置亂到置亂圖像像素(xs，ys)的具體情況.首先，對于I類情況有

式(27)說明，半周期處的As是單位矩陣的整數(shù)倍，相當于把圖像在模N內進行拉伸，使置亂圖像與原圖有較大相似性.同時，原圖對角線和反對角線的點被映射到置亂圖像上的對角線和反對角線上.關于x軸、y軸或原點對稱的原圖像像素映射到置亂圖像后，仍關于x軸、y軸或原點對稱.因此，當原圖亂度較低時，半周期處的置亂圖像便相應呈現(xiàn)較低亂度.

對于II、III和IV類的As有

式(35)說明，經(jīng)As置亂后坐標在I類情況的拉伸變換基礎上，對原圖奇數(shù)列的像素，其變換后的橫坐標還疊加N/2(若y≤N/2)或 -N/2(若y＞N/2)的平移.同理，式(36)說明，置亂后坐標在I類拉伸變換基礎上，對原圖奇數(shù)行的像素其縱坐標還要疊加N/2(x≤N/2)或-N/2(x＞N/2)的平移量.式(37)說明，置亂后坐標在I類拉伸變換的基礎上，對原圖奇數(shù)行和/或奇數(shù)列的像素其縱坐標和/或橫坐標都要分別疊加N/2或-N/2的平移量.以上3種情況，雖然會使置亂圖像與原圖的相似性不如I類情況，但因為坐標變換都只是多了固定的N/2或-N/2平移量，所以與半周期處附件其他置亂圖像比較，在半周期處置亂圖像仍呈現(xiàn)相對較大的與原圖的相似性.

進一步討論I類情況的兩個As特例.

1)as=N-1的情況.

此時，As實質上是將原圖像進行了水平鏡像加垂直鏡像變換.

由于滿足式(27)和式(31)的解as并非唯一，當N是素數(shù)時，解得as=N-1，式(34)恒成立;當N為非素數(shù)時，式(34)也可能成立.此時，原圖置亂半周期次后得到水平加垂直鏡像圖像，暴露了原圖信息.

2)對某些為4的倍數(shù)的N，當as=N/2+1時的情況.

當N為4的倍數(shù)時，N/2是偶數(shù).當as=N/2+1時，因為 (as+1)mod 2=0，(as-1)×mod(N/2)=0，使式(32)成立.

對x和y的奇數(shù)和偶數(shù)情況分別有4種解的形式，即

1)x和y都為奇數(shù)

2)x奇數(shù)，y為偶數(shù)

3)x偶數(shù)，y為奇數(shù)

4)x和y都為偶數(shù)

如果原圖由4個大小為原圖1/4，內容完全相同的圖像上下左右拼接而成，即

則在置亂變換半周期處有I(xs，ys)≡I(x，y)，即置亂圖像提前恢復為原圖，使該圖像置亂周期為置亂變換周期的1/2.這進一步說明，文獻［6］提出的置亂圖像置亂周期與置亂變換周期是兩個不同概念的結論，適用于包括二值圖像在內的所有圖像.

所以，當置亂周期為偶數(shù)時，不管原圖結構內容如何，該圖像經(jīng)過廣義Arnold變換 (包括標準Arnold變換)置亂半周期次后，置亂圖像與原圖有較大相似性，呈現(xiàn)較明顯的半周期現(xiàn)象.置亂變換周期除了與變換本身的參數(shù)有關外，還與圖像維數(shù)N有關.但事實上，置亂周期為偶數(shù)的情況更普遍，因此半周期現(xiàn)象也很普遍.

2.2 置亂周期為奇數(shù)時的情況

說明As和As+1具備準對稱性關系，對應置亂周期里呈準對稱性的兩個置亂圖像.雖然As和As+1不完全相同，但有一定相關性，使對應的置亂圖像亦有一定相似性.

因As+1=AAsmod N，有

由式(47)至式(50)解得

考慮到det Asmod N=1，因此得到

顯然，bs≠0.將式(52)與偶數(shù)置亂周期的式(27)至式(30)中任一公式比較可知，偶數(shù)變換周期的半周期處一次性變換矩陣相對簡單得多，置亂過程中像素橫坐標x和縱坐標y交錯影響小;相比之下，奇數(shù)周期的半周期處的一次性變換矩陣有As和As+1兩個，只有當變換參數(shù)b=c時，它們才為對稱陣，且變換過程中像素橫坐標x和縱坐標y同時對變換坐標交錯產(chǎn)生影響，使置亂圖像相對較亂;因bs≠0，則As和As+1兩者對任何原圖都不會出現(xiàn)類似偶數(shù)變換周期時的I類As的形式，使半周期處的置亂圖像一般不會出現(xiàn)為原圖或其鏡像的情況.

2.3 標準Arnold變換下的半周期現(xiàn)象

對于標準Arnold變換，置亂周期內任意次Arnold變換所對應的一次性等效變換矩陣可寫成

因此對于mN為偶數(shù)時，在半周期處m=s，由式(16)可得as=ds.對于標準Arnold變換的bs=cs，由式(54)得bs=cs=0.那么，式(27)至式(30)這4類情況只剩下I類，即標準Arnold變換下偶數(shù)置亂周期情況的半周期處對應的一次性等效變換為

進一步推導當mN為奇數(shù)時，標準Arnold變換下半周期處As和As+1的具體形式.

對于標準Arnold變換，把b=c=1代入式(52)，得

由式(60)求bs，即可得到奇數(shù)置亂周期里半周期處的兩個一次性等效變換矩陣.

從式(58)至式(60)可得，在標準Arnold變換下，奇數(shù)置亂周期的半周期處，一次性變換矩陣的形式與廣義Arnold變換下的結論類似，即與偶數(shù)置亂周期的情況相比，奇數(shù)置亂周期的半周期處的置亂圖像與原圖的相似性小得多.

奇數(shù)置亂周期的半周期處也常見亂度有一定下降趨勢的半周期現(xiàn)象，甚至對于對稱性強或某種結構的原圖，類似圖1(b)的情況，也會出現(xiàn)置亂圖像亂度顯著下降的情況.產(chǎn)生此現(xiàn)象的原因有兩方面:①在整個置亂周期內，亂度較低的原圖逐步被置亂成較亂的圖像，最后又回到原圖.鑒于存在前述所說的準對稱性，使半周期處往往成為分水嶺;②置亂圖像的最終亂度不僅與變換矩陣有關，而且與原始圖像的結構內容關系密切.在原圖亂度較低的大前提下，與原圖結構與內容有一定相似性，則亂度較低;但圖像亂度較低并非完全等效與原圖相似.然而，從一次性變換矩陣的形式可見，奇數(shù)周期與原圖的相似度不如偶數(shù)周期情況下的明顯.

3 實驗與討論

表1給出不同情況下置亂變換參數(shù)與特性對照.由表1可見，Arnold變換周期的大小和奇偶性由變換參數(shù)和被置亂圖像維數(shù)大小共同決定;Arnold變換的一次性等效置亂變換不僅與置亂次數(shù)和置亂周期有關，還與圖像大小有關.

表1 典型Arnold變換參數(shù)與特性Table 1 Some typical Arnold transforms for scrambling and their characteristics

通過改變圖像維數(shù)和內容、置亂變換參數(shù)并進行大量實驗，驗證了前述準對稱性和半周期現(xiàn)象的結論.下面給出3個有代表性的實驗結果.實驗中的原圖 (包括大小和內容)與置亂變換及其參數(shù)作為實驗條件，置亂圖評價指標仍采用文獻［9］介紹的基于灰度差和信息熵的GLD＆IE法.

實例1 原圖為4個完全相同的由128×128的baboon圖像壓縮到64×64后拼接而成 (如圖3(a))，N=128，采用標準Arnold變換，并設b=1，c=1.

由表1可查得，置亂周期mN=96，半周期處一次性變換矩陣 As的參數(shù)as=65=N/2+1.與圖1(a)比較，此測試只改變了原圖，二者從置亂圖像和置亂度曲線均可見標準Arnold變換下當置亂周期為偶數(shù)時出現(xiàn)比較明顯的準對稱性與半周期現(xiàn)象.圖1(a)的半周期處隱約可見原圖，而實例1的半周期處(k=48)置亂圖像恢復為原圖 (圖3(b))，使圖像置亂周期為置亂變換周期96的一半.此時出現(xiàn)最明顯的半周期現(xiàn)象，從置亂度曲線 (如圖3(c))和置亂圖像還可以看到置亂周期的1/4處新的明顯類似半周期性現(xiàn)象.

實例2 將大小為256×256的Lena圖像縮放成122×122(N=122)的圖像作為原圖 (圖4(a))，采用廣義Arnold變換，并設b=2，c=3.

圖3 圖像在半周期處恢復原圖的特例(b=c=1，N=128，mN=96)Fig.3 Image recovery at the half scrambling cycle for the original image with specific symmetry(b=c=1，N=128，mN=96)

圖4 實例2的部分置亂圖像(b=2，c=3，圖像大小為122×122，mN=12)Fig.4 Some scrambled images by a general Arnold transformation with b=2 and c=3 for Test 2(N=122，mN=12)

由表1可查得，置亂周期mN=12，其半周期處一次性變換矩陣As的參數(shù)as=121.圖4給出了整個置亂周期內的部分置亂圖像.圖5為對應的置亂度曲線.從置亂圖像和置亂度曲線均可見:廣義Arnold變換下，偶數(shù)周期情況下，同樣能觀察到準對稱性和明顯的半周期現(xiàn)象.而且由于as=121=N-1，在半周期處出現(xiàn)了原圖的水平加垂直鏡像圖像.

實例3 將大小為256×256的Lena圖像縮放大小為124×124(N=124)的圖像作為原圖 (圖6(a))，采用標準Arnold變換，并設b=1，c=1.

圖5 實例2的置亂度曲線Fig.5 The scrambling degree curve for Test 2

由表1可查得，標準Arnold變換下N=124時，置亂周期mN=15，為奇數(shù).除了原圖內容不同外，實例3的其他實驗參數(shù)與圖1(b)的相同.其半周期處的一次性變換矩陣可從式(60)求得.式(60)又可寫作

滿足式(61)的解為r=1，bs=5.由此可得與Matlab計算結果吻合.

圖6 實例3的部分置亂結果和置亂曲線(b=c=1，N=124，mN=15)Fig.6 Some scrambled images for Test 3(b=c=1，N=124，mN=15)

圖6和圖7分別給出實例3的部分置亂結果和置亂度曲線，同樣可見準對稱性和半周期現(xiàn)象.但如果將實例3與圖1(a)實驗比較可發(fā)現(xiàn)，二者原圖內容結構基本一致而圖像大小稍有偏差，置亂變換相同，置亂周期差異大而且奇偶有別.結果半周期現(xiàn)象的顯著性差異較大，偶數(shù)變換周期下的半周期現(xiàn)象明顯得多.

圖7 實例3的置亂度曲線Fig.7 The scrambling degree curve for Test 3

對圖1(b)對應的置亂度曲線，即圖1(d)，同樣可見半周期性現(xiàn)象，分析原因我們認為:由于原圖具有強對稱性而且是二值圖像，雖然置亂圖像與原圖相似性不太強，但亂度度較低，在整個置亂周期內半周期處成為亂度由高到低再由低到高的分水嶺，與視覺評判結果基本吻合，說明該亂度評價指標設置合理.這也表明，置亂圖像亂度由一次性等效置亂變換和原圖內容兩者共同決定.

為了定量比較奇數(shù)周期和偶數(shù)周期下半周期現(xiàn)象的顯著性，表2給出了關鍵次數(shù)置亂情況對照表，并特別定義一個半周期現(xiàn)象顯著性指標

其中，SD0為原圖像亂度;SD為半周期處圖像亂度，置亂周期內最亂圖像亂度SDm.對于奇數(shù)周期情況，取半周期處兩幅置亂圖像中較亂的那幅圖像亂度作為SD來計算.rs越大，說明半周期現(xiàn)象越顯著;反之亦然.極限狀態(tài)時，SD=SD0，則rs=∞，對應半周期處置亂圖像恢復為原圖或為原圖鏡像.

從表2可見，當兩幅內容基本相同而圖像維數(shù)稍有不同的原圖經(jīng)標準Arnold變換時，出現(xiàn)偶數(shù)置亂周期情況的rs大于出現(xiàn)奇數(shù)置亂周期情況的rs，前者的半周期現(xiàn)象更明顯.這與理論分析結果吻合.

表2 亂度對照表與半周期顯著性Table 2 Contrast of scrambling degrees and salience test of the half-cycle phenomenon for Fig.1(a)and Fig.5

以上實驗說明，在圖像亂度指標的評價方法上，除了與分析人類視覺評判結果的吻合程度作為依據(jù)外，Arnold變換圖像也可成為圖像亂度計算方法或指標的性能評價與測試數(shù)據(jù).亂度曲線能否反映Arnold變換的準對稱性和半周期現(xiàn)象可成為亂度指標評判的重要依據(jù).在評判過程中，為消除評判結果對所選被置亂圖像的依賴性，讓結果更客觀可靠，建議首先選擇偶數(shù)置亂周期的置亂變換一周期內的置亂圖像進行測試，但要避開在半周期處恢復為原圖或產(chǎn)生鏡像的情況，考察亂度指標對準對稱性和較明顯的半周期現(xiàn)象的檢測能力.然后用奇數(shù)周期的置亂變換圖像來測試，考察亂度檢測靈敏度.經(jīng)以上測試，若亂度指標技能反映準對稱性，且能檢測到半周期現(xiàn)象，說明該亂度指標具有一定合理性;否則，存在不合理性.

在多種亂度計算指標的性能比較上，可采用類似表2對圖1(a)與圖6對照的方法.首先取某偶數(shù)置亂周期的Arnold變換置亂同一原圖，分別計算不同亂度評價方法的半周期現(xiàn)象顯著性指標rs.rs越高，說明該亂度指標對圖像亂度檢測越靈敏.如果偶數(shù)周期情況下的rs指標差別不大，再取內容相同但維數(shù)稍有不同的具有奇數(shù)變換周期的Arnold置亂變換圖像進行計算，進一步考察各亂度指標對半周期現(xiàn)象的靈敏度.以上方法不依賴原圖內容與結構，可避免選擇特定結構和內容圖像作為原圖而對評判結果造成影響，克服了傳統(tǒng)視覺吻合程度的主觀性 (因人而異)和模糊性，為亂度評價指標評判與比較提供一種比較客觀的定量方法.

同時，Arnold置亂變換是圖像加密或信息隱藏的預處理中常見的方法，其置亂效果，直接關系后續(xù)加密或隱藏處理的加密性、隱蔽性以及抗檢測性能.而不同置亂變換置亂效果不同，即使同一置亂變換，置亂次數(shù)不同置亂效果也不一樣.本文研究的一次性變換求取方法和有關半周期現(xiàn)象的討論，通過對一次性置亂變換的形式分析以可以指導置亂次數(shù)的選擇.

結 語

圖像經(jīng)多步置亂變換的效果可通過對一次性等效變換的形式分析基本得出.本研究從Arnold變換的周期性出發(fā)，證明了包括廣義Arnold變換在內的準對稱性，推導和分析了廣義Arnold變換下置亂周期為偶數(shù)和奇數(shù)時的半周期處的一次性置亂變換矩陣及其置亂特征，深入討論了半周期現(xiàn)象的不同表現(xiàn).研究發(fā)現(xiàn)，在原圖亂度較低的大前提下，無論是廣義Arnold變換，還是標準Arnold變換，都會出現(xiàn)程度不同的“半周期”現(xiàn)象;偶數(shù)置亂周期情況與奇數(shù)置亂周期比較，前者的半周期處的置亂圖像與原圖更相似，一般半周期現(xiàn)象更明顯，甚至會出現(xiàn)原圖鏡像甚至恢復為原圖的現(xiàn)象.以上結論既可通過計算一次性變換矩陣來指導加密處理置亂次數(shù)的選擇，且可用于圖像亂度評價方法的評估測試與比較，通過亂度算法對準對稱性以及半周期現(xiàn)象的檢測能力與敏感性，判斷亂度評價方法的合理性與性能優(yōu)劣.

/References:

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2015-10-22;

2015-10-31

Quasi-symmetry and the half-cycle phenomenon in scrambling degrees for images with pixel locations scrambled by Arnold transformation

Li Xiongjun?，Liao Rijun，Li Jinlong，Xian Jianbiao，Xu Jianjie，Huang Pei，and He Xiaoyu

College of Physics Science and Technology，Shenzhen University，Shenzhen 518060，P.R.China

By referring to the periodicity of the general Arnold transformation and the relationship between standard Arnold transformation and Fibonacci transformation，we deduce the equivalent one-step transformation matrix for k times of Arnold transformation with pixel position scrambled，especially the one at the half-cycle of the scrambling period.We analyze their characteristics and provide a proof of the quasi-symmetry in scrambling degrees for images in one cycle.We discuss the half-cycle effect in scrambling degrees in scrambled images with even and odd scrambling periods respectively.Results show that there exists a quasi-symmetry in scrambling performance between the two half cycles regardless of the period being even or odd.In a standard Arnold transformation with a commonly even period，the one-step transform is equivalent to a simple scaling matrix transform which leads to the scrambled image at the half period with an obvious lower scrambling degree，where being the minus unitary matrix as a special case results in the scrambled image being the horizontal mirror image with an overlying vertical mirror image of the original image.For any general Arnold transformation with an even scrambling period，the one-step transformation at half cycle may be the same as the one-step transform for standard Arnold transform or with a translation of half of the image dimension superimposed，thus leading to a little less salient half-cycle phenomenon.For an Arnold transformation with an odd scrambling period，no such situation happens in general unless for images with very special contents and structure.The results can be applied in choice of scrambling time for the pre-processing in image encryption and the evaluation and comparison of image scrambling degree criteria.

computer application;Arnold transformation;quasi-symmetry;scrambling transform;scrambling degree;half-cycle phenomenon;Fibonacci transformation;image encryption

U 491.1

A

10.3724/SP.J.1249.2015.06551

Foundation:UniversityStudent'sInnovation and Entrepreneurship TrainingProgram Foundation ofShenzhen University(201510590079);2015 Foundation for College Students'Science and Technology Innovation Training Program(“Climbing”Program)of Guangdong Province(201510590079)

?

Associate professor Li Xiongjun.E-mail:lixj@szu.edu.cn

:Li Xiongjun，Liao Rijun，Li Jinlong，et al.Quasi-symmetry and the half-cycle phenomenon in scrambling degrees for images with pixel locations scrambled by Arnold transformation［J］.Journal of Shenzhen University Science and Engineering，2015，32(6):551-562.(in Chinese)

廣東省“攀登計劃”資助項目 (201560020006);深圳大學大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃資助項目 (20151059 0079)

李雄軍 (1966—)，女 (漢族)，湖南省雙峰縣人，深圳大學副教授、博士.E-mail:lixj@szu.edu.cn

引 文:李雄軍，廖日軍，李金龍，等.圖像Arnold變換中的準對稱性問題與半周期現(xiàn)象 ［J］.深圳大學學報理工版，2015，32(6):551-562.

【中文責編:英 子;英文責編:雨 辰】