武際可

北京大學力學與工程科學系，北京 100871

絲竹背后話力學

武際可?

北京大學力學與工程科學系，北京 100871

就音樂與力學比較密切的關系，從歷史發(fā)展的角度討論了音高與振動頻率的關系以及弦樂器與管樂器的發(fā)聲規(guī)律。在樂器中，迄今最主要的樂器乃是這兩類樂器，亦即絲與竹。最后指出，力學和科學的發(fā)展滋潤了音樂，而對音樂的研究反過來也豐富了科學本身。

音樂；力學；聲音；管樂器；弦樂器

說實在的，音樂是科學同藝術結合的產(chǎn)物。在人類世代追求音樂的過程中出現(xiàn)過許多偉大的演奏家、歌唱家、作曲家和樂隊指揮家。當人們享受他們的音樂、歌唱、演奏的同時，別忘記，在他們背后還有許多科學家揭示了聲音、音樂和各種樂器的奧秘，如畢達哥拉斯、管子、伽利略、牛頓、伯努利、達朗貝爾、沈括、亥姆霍茲、朱載堉、韋伯等等。

音樂背后的科學問題，首先是力學問題。因為聲音的產(chǎn)生和傳播本身就是一個典型的力學問題。樂器的研制和改進，無論是管樂器還是弦樂器，抑或是其他樂器，都離不開深入的力學知識。進一步說，音樂不僅僅與力學有關，它是與力學、數(shù)學、物理、生理學、心理學、電子學、計算機科學等多學科密切相交叉的藝術領域。不僅如此，就是到今天來說，也不能說在音樂和音響背后的科學道理都完全清楚了。特別是對于研制新的音響設備，對于歌唱的計算機模擬，還有許多困難問題等待研究解決。

本文著重就音樂與力學比較密切的關系，從歷史發(fā)展的角度談談音高與振動頻率的關系以及弦樂器與管樂器的發(fā)聲規(guī)律。在樂器中，迄今最主要的樂器乃是這兩類樂器，亦即絲與竹。最后，我們還要談談，力學和科學的發(fā)展滋潤了音樂，而對音樂的研究反過來也豐富了科學本身。

1 聲音與音調的高低

在弄清楚發(fā)聲的音高與頻率的關系之前，人們都是以弦的長度來度量音高的。弦長一半對應的音高高八度。早在我國的春秋時代，《管子》一書中就記載了“三分損益”的規(guī)則，即弦長縮短三分之一，音高高五度，然后再三分后，增長三分之一，就得到比原來高二度的音。如此下去，就得到一系列和諧音。這種標定不同和諧音的關系的方法稱為五度相生的規(guī)律。在西方古希臘大約同時代的畢達哥拉斯也得到相同的規(guī)律。不過，由五度相生的辦法不斷生出新的和諧音，這樣進行十二次，并沒有回復到開頭那個音高八度的音，而是要差一點。

中國明代音樂家朱載堉(1536—1611)于萬歷十二年(1584年)首次提出“新法密率”(見《律呂精義》《樂律全書》)。他將一個八度之間的十二個音所對應的弦長，按照將2開12次方，即的比例變化，12個音中每提高一個音，將這個數(shù)值冪次提高一次，它的十二次冪正好是2。按照這種將八度音等比分為十二個音的算法，制造出的新法密率律管及新法密率弦樂器，是世界上最早的十二平均律樂器。這才最后解決了這個矛盾。

在中國古代的記載中，宋代陳旸在他所著的《樂書》中說：“凡物動而有聲，聲變而有音?！痹谶@里，他已經(jīng)模模糊糊地意識到聲音是和物體的運動相聯(lián)系的。不過把聲音和物體的運動精確地聯(lián)系在一起的第一人，是意大利的科學家伽利略(1564—1642)。他準確地認識到聲音是物體的振動經(jīng)過空氣傳播的一種波動。他在1638年出版了《關于兩門新科學的對話》，這本書一共給出討論主題的四次對話。在其中第一次對話的末了，作者首先討論懸掛單擺的擺動，其后討論弦的振動以及共振問題。

伽利略是怎樣得到這一結論的呢？他是這樣說的：“當我為了除去黃銅板上的某些污點而用一個尖銳的鐵鑿子刮它，而且使鑿子快速地在其上運動，在多次磨劃中，我曾一次或兩次聽到這塊板發(fā)出一種相當強且清晰的哨音。更仔細地審視這塊板，我注意到一長排精細的條紋，彼此之間平行且等距離地排列著。用鑿子一次又一次地磨刮，我注意到僅當這塊黃銅板咝咝地發(fā)出噪聲時所有的標記才都留在上面，而當磨刮沒有伴隨咝咝聲時就絲毫沒有這種標記的痕跡。重復這種把戲若干次并且使磨刮的速度時而快時而慢，哨音的聲調相應地就時高時低。 我還注意到當音調較高時形成的標記就更緊密，而當音調較低沉時它們就分離得較遠。我還觀察到，在一次磨刮期間，速度向著極限增加時，聲音就變得較尖銳并且條紋變得更密，但總是以這種方式保持一定的尖銳程度和等距。此外，一旦磨刮伴隨有咝咝聲，我就感覺到鑿子在我掌握中顫抖并且一種顫栗通過我的手。簡單地說，在鑿子的情形下我們看到、聽到的和在一種低語緊跟著高聲的情形下看到和聽到的完全一樣；因為，當沒有產(chǎn)生音調的呼吸進行時，與發(fā)聲時在喉和咽喉上部的感覺相比，特別是與使用又低又強的音調相比，人感覺不到喉嚨或口有任何講話的運動。

“有幾次我還在小豎琴的弦中觀察到有兩根與由上述磨刮產(chǎn)生的兩個音調同度，并且在那些音調最不同的弦中，我找到兩根弦相差一個純五度。在測量由兩次磨刮產(chǎn)生的標記的距離時，我們發(fā)現(xiàn)一次磨刮產(chǎn)生標記的45格包含了另一次的30格，這正好是賦值于五度的比例?！?/p>

用現(xiàn)在的語言來說，伽利略是利用鑿子與銅板之間的干摩擦所產(chǎn)生的噪音，并且通過鑿子的痕跡來考察振動頻率的。不過這個發(fā)現(xiàn)是非常了不起的，因為到伽利略寫這本書的時候，可以說是在力學的基本理論體系還沒有建立之前的事情，而且彈性體的胡克定律也還沒有。他完全是從單擺的類比，純粹是運動學的考查，并且經(jīng)過切身體驗認識到的。

再后來是英國學者胡克(Robert Hooke，1635—1703)，他設想用一個帶齒的旋轉輪子，把一張硬紙卡片擱在齒上，而輪子旋轉起來時就會發(fā)出聲響。當輪子旋轉的速度變化時，卡片的振動頻率隨之改變，聲音的高低也因之發(fā)生變化。胡克的這個想法由法國實驗物理學家薩伐爾(Félix Savart，1791—1841)準確實現(xiàn)。這個實驗比較直觀且令人信服地驗證了聲音的高低是取決于振動頻率的。伽利略雖然在歷史上被公認為最早把聲音同振動頻率聯(lián)系起來的學者，不過由于他是從單擺比擬，進而從刀具的磨削痕跡得到的，對于大眾來說，并不直觀。胡克的想法，且由薩伐爾準確實現(xiàn)的實驗，既直觀又能夠直接計算頻率，所以才最終確立了聲音同振動的關系，并且能夠實際地確定音高和頻率的定量依從。

2 弦樂器

弦樂器發(fā)聲頻率的最基本要素，是弦長、弦的張力和弦的密度。相同的張力和密度的弦，其音高就決定于弦的長度。所以，小提琴手總是用手指去不斷變換弦的振動長度，以奏出美妙的旋律。不過每一樣弦樂器，都有它最合適的長度，這也就決定了空弦上的音高。例如：小提琴的空弦長度(或稱有效弦長)是328 mm，中提琴的空弦長度是360 mm，大提琴是654 mm，而鋼琴上最長的有效弦長弦則有2 m多。

圖1 薩伐爾的實驗裝置

法國科學家梅森(Marin Mersenne，1588—1648)在1625年左右得到弦的頻率的經(jīng)驗公式：

式中T是琴弦的張力，ρ是琴弦的密度，l是弦長。該式是1636年在他的著作《和聲學大全》中發(fā)表的，比伽利略早了兩年。不過后來人們研究認定，伽利略的實驗實際上是早于梅森的。我們看到這個經(jīng)驗公式已經(jīng)包含了決定弦振動頻率的三個主要因素：長度、密度和張力。

在給定弦長后，對弦添加張力，這個張力的大小很有講究。弦繃得不能太緊，否則像小提琴和琵琶之類的樂器，用手指壓弦到指板上或是壓弦到品上，覺得有點勒手；太松也不行，這時弦的發(fā)音太低，音量也太小。一般小提琴每根弦的張力是7～9 kg，四根弦的總張力約為30 kg。至于鋼琴的弦，一共有200多根，普通鋼琴有88個鍵，并不是每一個鍵對應一根弦，一般是對應兩根或者三根。這么多的弦，再加鋼琴的弦有的很長，最長的有效弦長要超過2 m。單根弦的平均張力在150 kg以上。所以鋼琴的弦的總張力高達15～20 t。像小提琴、琵琶、吉他之類的弦樂器用木料做的琴身一般就能夠支持琴弦的張力，而像鋼琴、豎琴那樣由多根弦構成的弦樂器，起先也是用木頭制作的，后來發(fā)現(xiàn)需要用鋼鐵來制作特殊的支架以保證支持弦的張力。

琴身和支持弦的張力的支架，雖然是足夠堅硬的，但在繃上了弦之后，它仍然會有微小的變形。這個變形會給調音帶來一點小麻煩。這就是，當你把一根弦的音調好后，也就是說這根弦的張力達到了標準，這時你再去調另外一根弦的張力，不管你是增加還是減少張力，都會影響支架或琴身的變形，以致使已經(jīng)調好的那根弦張力不再合適，需要重新調。有經(jīng)驗的小提琴手，在調四根弦的音時，并不是一根調好后再調另外一根，而是把四根弦先大致調到松緊程度差不多，然后再細調。至于鋼琴的調音，因為弦很多，調音要復雜得多，經(jīng)常需要專業(yè)的調音師來調音。

現(xiàn)在來說弦的密度。早期的琴弦，是用生絲或羊腸制成，后來改用金屬制造，既結實又容易大量生產(chǎn)。對小提琴來說，最細的E弦是用裸金屬制作的，而A、D、G這三根比較粗的弦就不能用裸線了。原因是，在弦的張力松緊程度大致一樣的情況下，弦的振動基頻是與弦的密度的平方根成反比例的。也就是說，空弦低八度的弦直徑應當加大一倍。另一方面，由材料力學知道，金屬桿直徑增加一倍，它的抗彎剛度就會是原來的八倍，因為抗彎剛度是與直徑的三次方成比例的。所以，如果用裸弦，那么幾根低音弦為了密度加大，結果會使弦的抗彎剛度增加得太多。這時，弦將不再體現(xiàn)為柔韌的弦，而變得更像一根梁了。

我們知道所有弦樂器的理論基礎是達朗貝爾提出的弦振動理論。弦與梁的本質區(qū)別是弦不能承受彎矩，即彎曲剛度近似為零；而對于梁的振動，則要復雜得多。它的頻率不僅和密度、張力、長度有關，而且還和端頭的固定狀態(tài)有關。所以，為了避免低音弦變?yōu)榱?，就采用纏弦的辦法。方法是在很細的裸金屬線外面纏一層細金屬絲，如圖2所示。這層纏絲只會改變弦的密度，而對弦的彎曲剛度影響很小，使弦還是像細的裸弦一樣的柔韌。各種弦樂器的低音弦都是采用纏弦的。

圖2 纏弦

好了，我們已經(jīng)有了一些合格的、有一定密度、張力合乎要求也很柔韌的弦了。如果再配上一個好的共鳴體(如小提琴的音箱、二胡的琴筒、吉他阮琵琶和古琴等彈撥樂器的琴身、鋼琴的音板等等)，就是一件理想的樂器了。

無論東方還是西方，弦樂器最早都是撥弦樂器，用馬尾和琴弦摩擦發(fā)聲比較晚。不過要弄清楚在弓弦摩擦條件下弦的運動規(guī)律，卻不是一件容易的事。這其中最早比較仔細地考察這個問題的人是德國物理學家、心理學家、哲學家亥姆霍茲(Hermann von Helmholtz，1821—1894)。他是能量守恒定律的發(fā)現(xiàn)者；他最早測定神經(jīng)脈沖的傳播速度，重新提出托馬斯?楊的三原色視覺說，研究了音色、聽覺和共鳴理論；他發(fā)明了驗目鏡、角膜計、立體望遠鏡；他對黎曼創(chuàng)立的非歐幾何學也有研究；他在1862年出版《關于作為音樂理論生理基礎的音調感覺》(英文譯名為On the Sensations of Tone as a Physiological Basis for the Theory of Music)[1]。這本書是現(xiàn)代音樂心理學的奠基之作。書中他描述弓子在弦上拉動時，弦被拉的地方形成一個折角，這個折角以一定的速度向弦的一端運動，然后再返回。后人把亥姆霍茲所揭示的這種現(xiàn)象稱為亥姆霍茲運動。

圖3 亥姆霍茲像

在探索弓弦運動機理上邁出第一步的是印度科學家拉曼(Chandrasekhara Venkata Raman，1888—1970) ，就是那位發(fā)現(xiàn)光通過介質時由于入射光與分子運動相互作用而引起頻率變化的散射，被后人稱為拉曼散射，其結果稱為拉曼效應的印度人，他因此而獲得1930年諾貝爾物理學獎。他在1918年發(fā)表長篇論文《弓拉弦振動的力學理論》[2]，文中他給出一個簡化模型：弦是柔不可伸長的，由兩端的張力拉緊，弓子作用點距離琴馬為弦長的若干分之一，摩擦系數(shù)假定是弓弦相互滑動速度的函數(shù)。他用手算給出了弦的一些周期運動，包括亥姆霍茲得到的運動。由于這種模型是非線性的，所以實際上這是關于用非線性理論研究樂器發(fā)聲的最早的文獻之一。

3 律管與管口矯正

一首樂曲中各音的音高是相對的，并沒有給出一個標準音高。實際上在一個樂隊里，有管樂器，也有弦樂器，要合奏，就要求相互之間發(fā)聲是和諧的。弦樂器音高比較容易調，只要調一下弦的張力大小，或者說弦的松緊程度就可以了，而管樂器要改變音高就沒有那樣容易了。何況樂隊中還有鐘、鑼這樣更不容易變音的樂器。所以要規(guī)定一個標準音高。

圖4 拉曼像

用弦樂器來確定各音的相對高度，可以很準確，這是弦樂器的優(yōu)點。因為人們早就知道，在均勻的同一張力的弦上，音高，或者說后來人們所說的弦振動的頻率，準確地說是和弦長成反比的。不過當年是用生絲制作弦的，這種弦最大的缺點是，對調好的音不容易保持，因為它受天氣、濕度和溫度的影響太大。今天定好的音，明天一下雨，天氣潮濕了，音高就變了。于是，在制造音律標準時人們便想到了管樂器。制定標準音高的管子，稱為律管。

這就是晉代楊泉在他的《物理論》中所說的“以弦定律，以管定音” 。就是說，確定各音之間音高的比例需要借助于弦，而要制定標準的音高，就要借助于管了。

在一個相當長的時期內，人們把律管的長度與音高的關系也像弦那樣看待，即也像五度相生對于弦那樣，當長度減小三分之一，音高升五度；律管長度減半，升高八度。后來發(fā)現(xiàn)無論如何都無法弄準。在東漢之前的大學問家都一直堅持這種錯誤的認識，直到東漢的京房才認識到“竹聲不可以度調”。

實際上，律管就是兩端開口的一根一定長度的直管子。律管開端的條件是十分復雜的，就是說在開口端外部也會有一部分空氣和管中的空氣一同振動，所以要計算管長與頻率的關系是很困難的。即使現(xiàn)今有強有力的計算機作為計算工具，也會有相當?shù)碾y度。因此，我國古代聰明的學者是用一個管口校正的辦法來處理這個問題的，即把管外參與振動的空氣折合一個管的長度對管長進行修正，這就是管口校正的真諦。

到了明代朱載堉，采用實驗的辦法得到一個結論：“是以黃鐘折半之音不能復與黃鐘相應，而下黃鐘一律也，他律亦然?！?朱載堉：《律呂精義》)這意思是，把黃鐘的律管折半，比高八度的黃鐘要低半個音。這是一個很重要的發(fā)現(xiàn)。

要說明的一點是，管口校正問題一直是中國學者討論的話題，而在西方的文獻中沒有相關的記載。直到英國著名的物理學家丁鐸爾(John Tyndall，1820—1893)所著的《Sound》(《聲學》，根據(jù)1869年第二版英文版翻譯的中文版于1874年出版)，由當時在江南制造局編譯館任職的英國人傅蘭雅與徐建寅(1845—1901)合譯。這是第一本用中文系統(tǒng)地介紹西方聲學的著作，它全面、系統(tǒng)而且文字生動，所以影響中國達數(shù)十年之久，至20世紀初為止還沒有可取代的讀物。

徐建寅的父親徐壽(1818—1884)在翻譯的過程中，經(jīng)常與傅蘭雅討論書中涉及的問題。徐壽熟悉中國古代的音律學。在中國古代樂律中，在討論管口校正之前，即東漢之前有一種說法，說弦樂器或管樂器的弦或管增長一倍或縮短一半，則所發(fā)的聲會降低或升高八度；而《聲學》在卷五中也說：“有底管、無底管生音之動數(shù)(即頻率)，皆與管長有反比例?！边@兩種說法是一致的。可見直到《聲學》出版之前西方還一直沒有管口校正的概念。徐壽用銅管做實驗，發(fā)現(xiàn)只在管長比為4∶9時，所吹出的音才相差八度。

徐壽的這個發(fā)現(xiàn)與中國古代和《聲學》所述都不同，不過它與朱載堉的實驗結論是相近的。傅蘭雅把徐壽的實驗結果寫信告訴了《聲學》的作者丁鐸爾，同時將信的復件寄給了英國的《自然》雜志?！蹲匀弧冯s志請人答復，說徐壽的結果是正確的?！蹲匀弧冯s志還以《聲學在中國》為題發(fā)表了傅蘭雅來信，同時加了按語說：“我們看到，一個古老定律的現(xiàn)代的科學修正，已由中國人獨立解決了，而且是用那么簡單原始的器材證明的。”[3]

圖5 徐壽像

1762年(乾隆二十七年)嶺南醫(yī)生何夢瑤(1693—1764)綜合康熙皇帝所著《律呂正義》與曹廷棟所著《琴書》成書為《賡和錄》上、下兩卷，該書說到律管時，稱：“蓋徑同，則無論長短，但取九分之四，則聲相應，與弦之全半相應不同也?！边@句話，就是徐壽文章的意思，說明徐壽的這個結果何夢瑤已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了。另外，由朱載堉實驗所得到的律管，他所說的“黃鐘折半之音不能復與黃鐘相應，而下黃鐘一律也”，根據(jù)文獻[3]，從他所列的36根律管的尺寸，推算得到1尺長度律管正黃鐘管與0.471 9尺的高八度的黃鐘相和。這個比例是9∶4.247 1，是與何夢瑤和徐壽的結果相近的。話又說回來，律管是兩頭開口的管子，要從一頭吹響，那么在吹響的這頭，嘴唇遮擋多大，遮擋的大小又會影響管口補償?shù)拈L度。因此，一般說來，朱載堉和何夢瑤所得到的數(shù)據(jù)，在當時定義不夠嚴格的條件下來說，應當認為是相同的，這種差別是必然會發(fā)生的。

當律管發(fā)聲的長度和管口校正弄清楚了之后，對于一般管樂器的音準就不再是困難的問題了。

4 從認識樂器走向現(xiàn)代科學

1746年，法國科學家達朗貝爾在研究弦的振動的基礎上發(fā)表了《張緊的弦振動時形成的曲線研究》一文，這是現(xiàn)代偏微分方程的經(jīng)典文獻。迄今大部分偏微分方程的教程都是由弦振動方程開篇的。

英國科學家瑞利在系統(tǒng)研究樂器發(fā)聲理論的基礎上，利用他在埃及休養(yǎng)時寫成了巨著《聲學理論》(Theory of Sound，完成于1877—1878年)，系統(tǒng)總結了他研究彈性振動的成果。這本書成為近代彈性體振動的經(jīng)典著作。從研究彈性體振動和聲波開始，他的興趣擴張及水波、電磁波、光波各個方面，深入理解一切波動的本質性質。后來他發(fā)現(xiàn)了彈性介質的表面波；他又發(fā)現(xiàn)了入射光在線度小于光波長的微粒上散射后散射光和入射光波長相同的現(xiàn)象。為了解釋“天空為什么呈現(xiàn)藍色”這個長期令人不解的問題，他導出了分子散射公式。太陽光在穿過大氣層時，各種波長的光都要受到空氣的散射，其中波長較長的波散射較小，大部分傳播到地面上，而波長較短的藍、綠光受到空氣的散射較強，天空中的藍色正是這些散射光的顏色，因此天空會呈現(xiàn)藍色。這個公式被稱為瑞利散射定律。

被樂器和聲音的現(xiàn)象吸引，由于好奇心驅使得到的收獲，遠遠不能夠用對于樂器本身的研究結果來顯示。人們從最古老的七弦琴開始，對聲音有所了解，發(fā)現(xiàn)聲音是一種波，后來發(fā)現(xiàn)了水波、電磁波、光波?？釔垡魳返拈_普勒追求宇宙的諧和發(fā)現(xiàn)了行星運動的三定律。后來人們通過弦振動的研究得出一根有限的弦在撥動它時只能產(chǎn)生若干個振動頻率，同樣電子在繞原子核轉動時也只能在若干個能級上運動。它們都是由一個二階偏微分方程的特征值決定的，前者是弦振動方程，而后者是量子力學中的薛定諤方程。

你可曾想過，當你傾聽一首優(yōu)美的樂曲時，刺激你的耳鼓的，從時間上來說是由聲音以一定的頻率傳過來的一粒粒的能量，而從演奏者到你耳朵之間在空間的傳播過程，又展現(xiàn)為波動。這不就是一種波粒二象性嗎？?。≡瓉碓谝魳分芯桶孔恿W中的二象性原理的寓意。

沿著這個思想發(fā)展下去，到最近半個世紀，一種以“納須彌于芥子”氣勢的“超弦理論”在理論物理中悄然興起。它的意圖是要解釋宇宙中的一切，以實現(xiàn)愛因斯坦生前未竟的宏愿——統(tǒng)一場論。超弦，無非是高維空間中的一根琴弦，它的固有振動的狀態(tài)，就體現(xiàn)了物質的各種基本粒子的形態(tài)：能量、質量以及帶電量。這種本質上還是由于對弦樂器認識的延伸和更為抽象的想象[5]?？梢姡瑥恼J識樂器出發(fā)，你能夠觸摸到近代科學的最前緣！

(2015年6月26日收稿)

[1]VON HELMHOLTZ H. Die Lehre von den Tonempfindungen. Braunschweig, 1862. English edition: On the sensations of tone as a physiological basis for the theory of music [M]. New York: Dover, 1954.

[2]RAMAN C V. On the mechanical theory of the vibrations of bowed strings and of musical instruments of the violin family, with experimental verification of results—Part 1 [J]. Bulletin, Indian Association for the Cultivation of Science, 1918, 15: 1-158.

[3]戴念祖. 中國科學技術史: 物理學卷[M]. 北京: 科學出版社, 2001.

[4]武際可. 音樂中的科學[M]. 北京: 高等教育出版社, 2012.

[5]B?格林. 宇宙的琴弦[M]. 李泳, 譯. 長沙: 湖南科學技術出版社, 1999.

(編輯：沈美芳)

Consider musical instruments from mechanics

WU Jike
Department of Mechanics and Engineering Science, Peking University, Beijing 100871, China

The close relation between music and mechanics is considered from history development. Music scale and vibration frequency, the law of music instruments are mentioned. Finally, we talk about that the music instruments are improved by mechanics research, but also music research promotes the progress of science.

music, mechanics, sound, pipe instrument, stringed instrument

10.3969/j.issn.0253-9608.2015.05.006

?通信作者，E-mail：wu_jike@sina.com