矩形孔徑參量陣相控非線性聲場建模與實驗研究

朱建軍，李海森，魏玉闊，陳寶偉，周 天

（1．哈爾濱工程大學水聲技術重點實驗室，哈爾濱 150001；2．哈爾濱工程大學水聲工程學院，哈爾濱 150001）

矩形孔徑參量陣相控非線性聲場建模與實驗研究

朱建軍1，2，李海森1，2，魏玉闊1，2，陳寶偉1，2，周 天1，2

（1．哈爾濱工程大學水聲技術重點實驗室，哈爾濱 150001；2．哈爾濱工程大學水聲工程學院，哈爾濱 150001）

為了解決一階拋物近似KZK方程無法直接對相控非線性聲場進行建模的問題，依據(jù)原頻聲場準直特性構建等效參量陣原頻自然指向性聲場模型，建立其與原頻相控聲場的等效關系，將相控非線性聲場的建模問題轉(zhuǎn)換為等效參量陣聲源條件的求解問題，同時提出算子分裂時域有限差分數(shù)值計算方法，實現(xiàn)了基于KZK拋物方程的矩形孔徑參量陣相控非線性聲場數(shù)值計算。以SES2000標準型參量聲吶輻射相控非線性聲場為研究對象，開展了計算機仿真和水池對比實驗研究，研究結(jié)果驗證了構建聲場模型及其數(shù)值計算方法的有效性。

矩形孔徑參量陣；相控非線性聲場；聲場建模

近年來，隨著非線性聲學理論的不斷發(fā)展，聲波的非線性效應被逐步應用于水聲工程、生物醫(yī)學和空氣聲學等領域［1－3］。當參量陣同時輻射兩種頻率的高強度有限振幅波時，聲場中會產(chǎn)生聲散射聲—差頻波、和頻波與諧頻波［4］。這一非線性效應有效解決了傳統(tǒng)小孔徑基陣無法相控發(fā)射低頻、寬帶、無旁瓣窄波束的問題［5］，使聲學換能器突破了瑞利限的限制?；谶@一技術特點，水聲中參量聲吶的差頻探測技術在淺地層剖面探測［6］、淺海遠程通信［7］、海底掩埋物探測［8］等領域獲得了傳統(tǒng)線性聲吶無法比擬的優(yōu)越性能。

參量聲吶科學設計與合理應用均需以非線性聲場（參量聲場）研究為前提，涉及聲場建模、計算以及相關實驗驗證研究。除Westervelt方程［9］、Burgers方程［10］等經(jīng)典方程，KZK（Khokhlov Zabolotskaya Kuznetsov）方程［11］是目前為止最為精準的參量聲場建模方程［12］。這是由于實際參量陣的孔徑均具有一定的形狀和大小，必須考慮聲波衍射效應；所有介質(zhì)均具有熱傳導性和黏滯性，介質(zhì)對聲波的吸收效應也不可忽略，上述三種建模方程中僅KZK方程全面考慮了聲波的衍射效應、聲吸收效應以及非線性效應。KZK方程在用于參量聲場研究時既具有其自身特點，也存在一些尚未有效解決的問題：① 由于圓形孔徑參量陣具有軸對稱的聲場分布特征，易于建模［13］，從研究之初就多針對這一聲場結(jié)構開展研究，而矩形孔徑參量陣輻射聲場研究相對薄弱；② 以應用需求為導向，針對生物醫(yī)學非線性諧波場的研究較為深入［14］，針對水聲中廣泛應用的差頻聲場研究相對較少；③ 受KZK方程一階拋物近似僅能描述主軸附近±15°范圍內(nèi)參量聲場的限制，無法采用KZK方程直接對相控參量聲場進行描述［15］。

針對近年來水聲領域?qū)匦慰讖较嗫貐⒘筷嚥铑l探測技術的迫切需求以及相控參量聲場研究中存在的上述問題，從矩形孔徑參量聲場建模與數(shù)值計算、相控參量聲場建模以及實驗驗證等幾個方面開展重點研究，在對矩形孔徑參量陣自然指向性參量聲場建模的前提下，針對一級拋物近似KZK方程無法直接對相控參量聲場進行建模的問題建立等效參量陣坐標系，通過基陣坐標變換將相控參量聲場的建模問題轉(zhuǎn)變?yōu)榈刃⒘筷嚶曉礂l件的求解問題，并在等效參量陣坐標系下實現(xiàn)相控參量聲場的數(shù)值計算。

1 自然指向性參量聲場建模與數(shù)值計算

1.1 非擴散參量聲場KZK建模方程

由非線性聲學基本方程推得近似至二階微小項的非線性波動方程為［16］：

式中：p為聲壓，c0為小信號聲速，ρ0為介質(zhì)密度，ξ為吸收系數(shù)；β為非線性系數(shù)。由Muir平方根展開關系［17］，取一級拋物近似并做t′＝t－z／c0的參數(shù)變換，得到笛卡爾坐標系下的KZK方程為：

式中：δ為介質(zhì)熱粘吸收損耗因數(shù)，?2⊥為笛卡爾坐標系下的拉普拉斯算子。公式中右側(cè)三項因式依次表示聲衍射、聲吸收和非線性效應。為便于在笛卡爾坐標系中描述參量聲場，定義矩形孔徑參量陣坐標系見圖1，其中基陣長、寬分別為2a和2b（a≥b），以輻射面中心點為坐標原點，基陣輻射面與xy平面重合，z為基陣法線方向，同時定義孔徑縱橫比R＝b／a≤1。

圖1 矩形孔徑參量陣坐標系Fig．1 Rectangularaperture parametric array coordinate

由于超出菲涅爾區(qū)后聲波將以球面擴展方式傳播，聲場區(qū)域也隨之擴大，從而聲場計算量也會隨之增加，聲場建模需充分考慮這一問題，以獲得優(yōu)化的聲場建模方案。Aanonsen等［18］提出參數(shù)去量綱化法實現(xiàn)擴散聲場至非擴散聲場的變換，達到了降低聲場計算量的目的，KZK方程中參量的去量綱化形式為：σ＝z／R0，ux＝x／［a（1+σ）］，uy＝y(tǒng)／［a（1+σ］，P＝p（1+ σ）／p0，τ＝ω0t′－k0（x2+y2）／［2R0（1+σ）］，其中R0為瑞利距離，k0為原頻波數(shù)，t′＝t－z／c0，p（x，y，z，t）為（x，y，z）場點處聲壓，p0為輻射面特征聲壓。將去量綱化參量代入式（2）并對等式兩側(cè)做時間積分，推得非擴散聲場中的KZK拋物方程又稱TBE（Transformed Beam E-quation）方程［19］：

式中：A＝α0R0為聲吸收系數(shù)，α0為衰減系數(shù)，N＝R0／zs為非線性參數(shù)，zs為沖擊距離。就基于式（3）在非擴散聲場中對參量聲場進行數(shù)值計算。

1.2 參量陣聲源條件

參量陣輻射面上輻射聲波的聲壓值為：

p（x，y，z＝0，t）＝p0·e（t）·s（t）·H（x，y）（4）式中：p0為初始聲壓幅值，e（t）為信號包絡，s（t）為載頻信號，H（x，y）為聲源分布函數(shù)，其去量綱化表示形式為：

1.3 聲場數(shù)值計算

由于KZK方程是高階拋物方程，難以求出一般形式的封閉解析解，因此只能采用數(shù)值計算方法對聲場進行計算。目前，KZK方程數(shù)值求解方法主要包括時域法和頻域法［20］，頻域法將聲場表示為傅里葉級數(shù)展開各次諧波疊加的形式，但實際選取諧波階次有限（最大諧波階次稱截斷諧波次數(shù)），有限的截斷諧波次數(shù)阻斷了原頻波向高次諧波以及高次諧波向低次諧波的能量傳遞，且在截斷諧波頻率處形成能量堆積，計算誤差逐步增大。在計算短脈沖或?qū)拵盘柤顓⒘柯晥鰰r，頻域法必須保留大量頻譜成分，而其計算量與截斷諧波次數(shù)的平方成比例，從而計算量將很大，并且頻域法難以對相控聲場等具有非一致聲源條件的聲場進行建模。時域法不僅可以使用非一致性聲源條件，而且基于波形的研究更加直觀，因此采用時域法對參量聲場進行數(shù)值計算。

定義τ時刻非擴散參量聲場中場點（ux，uy，σ）處聲壓的離散表達形式為：

式中，Δux、Δuy分別為x，y向變化步長，Δτ時間變化步長，波束主軸方向傳播距離σk＝∑Δσl，l∈（0，k－1），Δσl＝（1+σk）2Δσ0，σ0為初始步長。從而，數(shù)值積分約束區(qū)間為j∈［jmin，jmax］、m∈［mmin，mmax］和n∈［nmin，nmax］。同時定義聲場的空間和時間零聲壓邊界條件分別為：

由于矩形孔徑參量陣自然指向性聲場在x軸和y軸方向上均對稱，因此計算1／4輻射聲場區(qū)域即可對整個聲場空間進行描述，此時引入附加邊界條件：

取m∈［0，mmax］和n∈［0，nmax］。但即便如此，矩形孔徑參量陣的聲場計算仍是針對三維空間的數(shù)值計算，而圓形孔徑參量陣的聲場計算區(qū)域是基陣半徑和聲軸所在的二維平面，這正是矩形孔徑參量陣聲場研究的復雜性和難點所在。借鑒Lee［21］采用的算子分裂法求解思想，提出矩形孔徑自然指向性參量聲場時域有限差分數(shù)值計算方法，算法結(jié)構見圖2。

圖2 時域有限差分數(shù)值計算方法Fig．2 Time domain finite difference numerical calculation method

在聲源附近（z≤zc，zc＝0．1R0），采用距離上一階精度近似的隱式后向有限差分（Implicit Backward Finite Difference，IBFD）格式，以較小的距離變化步長消除聲源條件中階躍函數(shù)不連續(xù)引起的近場數(shù)值振蕩，提高近場計算精度；在此區(qū)域外，采用絕對穩(wěn)定的二階精度近似Crank-Nicolson有限差分（Crank-Nicolson Finite Difference，CNFD）格式，在保證算法穩(wěn)定性的同時可逐漸增大步長進一步減小聲場計算量。

2 相控參量聲場建模

2.1 等效參量陣坐標系

一級拋物近似KZK方程僅能有效描述聲軸±15°范圍內(nèi)的參量聲場，對具有超高指向性（通常＜5°）的參量陣來說，足以滿足其自然指向性聲場的建模要求，但在描述較大相控角度的聲場時將失效［22］。

由參量陣基本理論可知，參量陣輻射面附近＜（L1＝4b2／λ0）的區(qū)域內(nèi)原頻波具有準直特性，該區(qū)域內(nèi)垂直聲軸的聲場截面與基陣輻射面的大小和形狀完全相同，而該區(qū)域至菲涅爾區(qū)外沿的聲場中原頻波做柱形擴展傳播［23］，傳播距離L2＝4（a2－b2）／λ0，矩形孔徑參量陣原頻聲場分布見圖3。

圖3 矩形孔徑參量陣原頻聲場分布Fig．3 Rectangular parametric array primary field distribution

對于相控聲場，波束主極大偏離了基陣法線方向，此時，提出等效參量陣的概念，相控參量聲場被認為由該等效參量陣產(chǎn)生，且此等效參量陣原頻聲場仍滿足準直特性。建立等效參量陣二維坐標系xp－zp，使zp軸與等效參量陣法線重合（見圖4），從而相控參量聲場也可由該坐標系進行描述。

圖4 等效參量陣坐標系Fig．4 Equivalent parametric array coordinate

由圖4的幾何結(jié)構推導出同一場點F在x－z和xp－zp兩坐標系中坐標（x，z）和（xp，zp）間的變換關系為：

2.2 等效參量陣聲源條件求解

由等效參量陣原頻準直特性可知，xp－zp坐標系符合KZK方程聲場建模的條件，只要根據(jù)x－z和xp－zp兩坐標系間的坐標變換關系求解等效參量陣聲源條件，即可在xp－zp坐標系中采用非擴散參量聲場計算方法實現(xiàn)相控參量聲場數(shù)值計算，將相控聲場建模問題轉(zhuǎn)換為等效參量陣聲源條件的求解問題。由于聲源附近非線性作用剛剛開始，聲場中最主要的頻率成分仍為原頻，聲散射聲信號能量特別微弱，可忽略不計。此時聲源附近原頻聲場可近似為線性聲場，從而等效參量陣的聲源條件可近似由線性聲場計算方法求解得到。

假設參量陣輻射面周圍為剛性障板，基于矩形增量區(qū)域劃分模型計算原頻聲場，聲場建模原理見圖5，聲場的離散形式表示為［24］：

其中，N為劃分面元個數(shù)，Δs為面元面積，r為場點至面元的距離，un為第n個面元的表面復速度。對于一致激勵聲源，各面元表面復速度相同，而對于非一致激勵的情況（如相控基陣），不同面元具有不同的un。

圖5 原頻聲場計算模型Fig．5 Primary sound field calculation model

同時，推得相控角度為θp時等效參量陣輻射面上各場點在x－z坐標系中的坐標為：

式中：xL∈［－a，a］為橫坐標，yw∈［－b，b］為縱坐標，yfield＝y(tǒng)w。因此，式（12）可用于等效參量陣聲源條件求解。

相控角度為0°和15°時110 kHz原頻波束上垂直聲軸的聲場剖面如圖6所示，參量陣孔徑為0．22 m× 0．22 m，dp＝6．7 cm（L1＝3．55 m）。0°相控聲場剖面在x，y兩維方向上均對稱，而15°相控聲場主軸在x軸向發(fā)生了相應偏移，但在y軸向仍對稱。因此，相控參量聲場數(shù)值計算時xp、yp兩維方向上積分區(qū)間可定義為m∈［m′min，m′max］和n∈［0，nmax］，m′min、m′max對應等效參量陣xp軸向孔徑，即相控參量聲場可用yp軸方向上對稱聲場的1／2自然指向性聲場來描述。

圖6 原頻準直區(qū)域內(nèi)聲場剖面Fig．6 Acoustic field profiles in thecollimate zone

3 水池實驗驗證分析

3.1 實驗方案

水池實驗在水聲技術重點實驗室的信道水池進行，水池大小為45 m×6 m×5 m，四面?zhèn)缺诰佋O消聲尖劈，吸聲截止頻率50～1 MHz，僅在19．2 kHz時存在一定的背景噪聲干擾，但低于7 dB?；緦嶒炏到y(tǒng)由德國Innomar公司SES2000標準型參量聲吶（原頻中心頻率100 kHz，差頻4 kHz、5 kHz、6 kHz、8 kHz、10 kHz、12 kHz、15 kHz）、Reson TC4038標準水聽器（帶寬10～800 kHz，靈敏度－227dBre 1V／μPa）、TOPVIEW2000多通道采集器（最高采樣頻率25 MHz）和HY 1200聲速剖面儀構成（用于水池中聲速剖面測量，為聲場建模提供準確的聲速信息）。參量陣布放水深1．5 m，經(jīng)剛性轉(zhuǎn)接架裝于可旋轉(zhuǎn)的吊裝桿上，水聽器布放于小行車上，并處于同一深度。通過聲軸上參量信號波形測試、原頻和差頻相控指向性聲場測試以及軸向聲場測試，與相同參數(shù)的計算機仿真結(jié)果進行比對，對本研究矩形孔徑參量陣相控參量聲場建模與數(shù)值計算方法的有效性進行驗證，實驗方案（見圖7）。

3.2 實驗結(jié)果及分析

圖7 實驗方案設計圖Fig．7 Diagram of the experimental scheme

SES2000參量陣孔徑為0．22 m×0．22 m，實測1．5 m處水中聲速為1 474m／s。相控參量聲場建模和數(shù)值計算在ThinkStation 4158－FB9工作站上進行，聲場建模參量為：a＝0．11 m，b＝0．11 m，β＝3．6，原頻聲源級239 dB，Δx＝Δy＝0．03，ux＝uy＝10，IBFD計算時σ＝0．001（1+σ）2，CNFD計算時σ＝0．003（1+σ）2，fs＝3．075 MHz。水池實驗測量數(shù)據(jù)處理時對標準水聽器不同頻率的靈敏度進行了一致性補償處理。

12 m處仿真與實測參量信號波形及頻譜如圖8所示，差頻信號頻率為12 kHz。實測兩原頻信號的頻譜幅度略微不同且信號波形出現(xiàn)了一定的振鈴效應，分析原因主要是由于實際聲吶系統(tǒng)響應難以做到完全一致且實測信號中混入了噪聲干擾（電噪聲和環(huán)境噪聲等），而系統(tǒng)帶寬有限是引起振鈴效應的主要因素。但對比可以看出，總體上仿真與實測結(jié)果吻合得較好，初步驗證了聲場建模與數(shù)值計算方法的有效性。

圖8 參量信號波形及頻譜Fig．8Waveform and spectrum of parametric signal

同時，仿真了7 m和12 m處0°∶5°∶30°七個相控角度的差頻指向性，并與實測結(jié)果進行對比（見圖9）。由于SES2000最大相控角度為16°，因此僅測試了0°∶5°∶15°四個相控角度的指向性。圖中差頻主波束以外角度上噪聲水平高于理論仿真結(jié)果，這是由于在水池環(huán)境噪聲及實驗系統(tǒng)電噪聲等干擾因素影響下，隨著測量角度增大信噪比逐漸降低造成的，在±10°范圍外信噪比低于實驗系統(tǒng)的檢測閾，從而表現(xiàn)為主瓣外實測值（噪聲）高于仿真指向性。

最后，對95 kHz原頻信號以及12 kHz和15 kHz差頻信號軸向聲場的仿真與實測結(jié)果進行了比對（見圖10），兩者吻合較好，測量結(jié)果中差頻曲線出現(xiàn)了微小的起伏，分析其原因是由于差頻信號較弱，受環(huán)境噪聲、電噪聲以及小行車行走過程中引起的振動等瞬態(tài)干擾造成的。

圖9 差頻指向性圖Fig．9 Directivity of differency frequency

圖10 軸向聲場Fig．10 Axialacoustic field

由對比實驗可知，參量聲場的仿真與實測結(jié)果整體上基本一致，充分驗證了本文提出矩形孔徑相控參量聲場建模與數(shù)值計算方法的正確性和有效性。

4 結(jié) 論

系統(tǒng)地研究了矩形孔徑參量陣相控參量聲場的建模與數(shù)值計算方法，推導了矩形孔徑參量聲場的KZK建模方程，采用時域有限差分法實現(xiàn)了聲場的數(shù)值計算，解決了基于KZK方程的相控參量聲場的建模問題。參量陣原頻聲場的準直特性支持了參量陣相控參量聲場等效于其等效參量陣自然指向性聲場的結(jié)論，為利用一階近似KZK拋物方程進行相控參量聲場建模提供了理論依據(jù)。同時，聲源條件求解問題是相控參量聲場建模與數(shù)值計算的關鍵問題，相控參量陣非一致性聲源條件的特點決定了時域有限差分法更適合于相控參量聲場數(shù)值計算。計算機仿真結(jié)果與SES2000標準型參量聲吶輻射相控參量聲場吻合得很好，驗證了聲場建模和數(shù)值計算的正確性和有效性，研究成果可為相控參量聲吶設計及差頻海底探測研究提供理論依據(jù)和技術支持，對生物醫(yī)學和空氣聲學等其它領域的相控參量聲場研究也具有借鑒意義。

致謝：感謝水聲技術重點實驗室紀祥春老師、田寶晶老師以及李磊老師在開展水池實驗過程中給予的大力支持和無私幫助。

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Modeling and experimental investigation on rectangular aperture parametric array phased nonlinear acoustic field

ZHU Jian-jun1，2，LIHai-sen1，2，WEIYu-kuo1，2，CHEN Bao-wei1，2，ZHOU Tian1，2
（1．Acoustic Science and Technology Laboratory，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China；2．College of Underwater Acoustic Engineering，Harbin Engineering University，Harbin，150001，China）

In order to solve the problem of that phased nonlinear acoustic field could not bemodeled by one order parabolic approximation KZK equation，an equivalent parametric array primary frequency natural directivity acoustic field modelwas builtbased on the collimation characteristic of primary frequency acoustic field．The equivalent relation between this field and the primary frequency phased acoustic field was deduced，so the problem of phased nonlinear acoustic field modeling was transferred to the calculation of equivalent parametric array source condition，and an operator split time domain finite difference calculation method was derived．The rectangular aperture parametric array phased nonlinear field calculation based on KZK equation was realized．Taking the SES2000 parametric array acoustic field as object，the phased nonlinear acousticmodel and the corresponding field calculation method were examined by computer simulation and pool contrast experiment．

rectangular aperture parametric array；phased nonlinear acoustic field；acoustic field modeling

TB532；TB52+5

A

10．13465／j．cnki．jvs．2015．12．005

國家自然科學基金（41327004，41306182）；高等學校博士學科點專項科研基金（20112304130003）；中央高?；究蒲袠I(yè)務費（HEUCF140501）

2014－03－25 修改稿收到日期：2014－05－14

朱建軍 男，博士生，助教，1981年生

李海森 男，博士，教授，博士生導師，1962年生