平均變化率教學(xué)案例

陳碧云

摘 要：平均變化率” 是導(dǎo)數(shù)概念的第一節(jié)課，雖然是個(gè)輔助性概念，但它是研究瞬時(shí)變化率及導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ)，是“進(jìn)軍”導(dǎo)數(shù)的必經(jīng)之路。對變化率概念的建構(gòu)將直接影響導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)。平均變化率蘊(yùn)含了豐富的生活背景，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，縮短了數(shù)學(xué)與生活的距離，是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，認(rèn)識數(shù)學(xué)價(jià)值不可多得的好材料。

關(guān)鍵詞：平均變化率；教學(xué)案例

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）07-174-02

一、內(nèi)容與內(nèi)容解析

“平均變化率” 是導(dǎo)數(shù)概念的第一節(jié)課，雖然是個(gè)輔助性概念，但它是研究瞬時(shí)變化率及導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ)，是“進(jìn)軍”導(dǎo)數(shù)的必經(jīng)之路。對變化率概念的建構(gòu)將直接影響導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)。平均變化率蘊(yùn)含了豐富的生活背景，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，縮短了數(shù)學(xué)與生活的距離，是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，認(rèn)識數(shù)學(xué)價(jià)值不可多得的好材料。學(xué)生親自經(jīng)歷將生活原形概括抽象為數(shù)學(xué)模型的過程，隱含了特殊到一般、類比、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，在概念的構(gòu)建過程中通過對生活現(xiàn)象和物理問題如何作出合理的數(shù)學(xué)闡釋發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的抽象意識、推理意識、數(shù)學(xué)審美意識等，促使學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察、分析和表示各種事物的數(shù)量關(guān)系，能主動地用數(shù)學(xué)思想、方法來思考問題。

二、教學(xué)實(shí)錄

教師：有些同學(xué)認(rèn)為數(shù)學(xué)很抽象，離我們的生活很遠(yuǎn)。其實(shí)只要大家能常常戴上“數(shù)學(xué)”的眼鏡觀察生活中的一些現(xiàn)象，你一定會發(fā)現(xiàn)原來生活離我們這么近。下面我們來看幾個(gè)例子。

近幾年房價(jià)成為全社會關(guān)注的焦點(diǎn)，下圖是某小區(qū)的房價(jià)曲線圖（幻燈出示圖片），大家觀察圖像后有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生：房價(jià)一直在增長而且增長得越來越快。

教師：同學(xué)們觀察得很仔細(xì)，那么2008至2010年度房價(jià)的增長速度有沒有比1997至2008的增長速度快呢？你怎么得出該結(jié)論的？

學(xué)生：有，2008至2010年度對應(yīng)的曲線比1997至2008年對應(yīng)的曲線陡峭。

教師：大家從曲線的陡峭程度直接觀察出來了，那么能不能用準(zhǔn)確的數(shù)值來刻畫房價(jià)增長得越來越快？

學(xué)生：可以用平均每年的增長量

教師：大家一起來計(jì)算1997至2008平均每年的增長量和2008至2010年度平均每年的增長量。

學(xué)生計(jì)算回答，教師板書： 元 年； 元 年

教師：這個(gè)例子用平均增長量刻畫了房價(jià)增長得越來越快。

教師：小時(shí)候大家可能都有過吹氣球的回憶。在吹氣球的過程中，會發(fā)現(xiàn)氣球會越來越難吹。那么，請同學(xué)們思考一下氣球?yàn)槭裁磿絹碓诫y吹？從數(shù)學(xué)角度如何描述這種現(xiàn)象呢？學(xué)生有些茫然。

教師：看來大家碰到了一點(diǎn)小困難，接下來先請兩位同學(xué)上來做一個(gè)吹氣球的實(shí)驗(yàn)，大家仔細(xì)觀察，看能不能從數(shù)學(xué)角度解釋氣球?yàn)槭裁磿絹碓诫y吹？

數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)：學(xué)生甲拿著打氣筒，學(xué)生乙拿著氣球（氣球內(nèi)沒有空氣，打氣筒的出氣嘴與氣球的氣嘴事先連接好）.同學(xué)甲先向氣球內(nèi)打10下氣，同學(xué)乙測得此時(shí)氣球的半徑為0.5dm 經(jīng)全班同學(xué)計(jì)算得氣球的容積約0.52升 ；同學(xué)甲接著再向氣球內(nèi)打10下氣，同學(xué)乙測得此時(shí)氣球的半徑約為0.63dm，計(jì)算得氣球的容積為1.04升。

教師：觀察實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生：當(dāng)吹進(jìn)去的氣體相同時(shí)，氣球膨脹越來越慢。

學(xué)生：當(dāng)吹進(jìn)去的氣體相同時(shí)，氣球膨脹越來越慢也就是氣球半徑的增加量越來越小。

教師：如果我們把氣球看做一個(gè)球，當(dāng)吹進(jìn)去的氣體相同時(shí)，氣球膨脹越來越慢，也就是氣球半徑的增加量越來越小。我們能不能用數(shù)值來準(zhǔn)確刻劃該現(xiàn)象呢？有哪位同學(xué)能說一下？

學(xué)生：可以用半徑的差除以氣球容積的差。

學(xué)生進(jìn)行計(jì)算回答，教師板書： ；

教師：我們用半徑的差除以空氣容積的差這樣的比值刻畫了氣球膨脹的快慢，這個(gè)比值我們也稱為氣球的平均膨脹率。當(dāng)空氣容量從 增加到 時(shí)，氣球的平均膨脹率是多少？

學(xué)生回答，教師板書：

教師播放多媒體課件（我國運(yùn)動員郭晶晶、吳敏霞在2008年北京奧運(yùn)會上跳水比賽視頻）

多媒體展示：在高臺跳水運(yùn)動中， 運(yùn)動員相對于水面的高度 （單位：m）與起跳后的時(shí)間 （單位：s）存在函數(shù)關(guān)系 ，如果用運(yùn)動員在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度描述其運(yùn)動狀態(tài)， 那么：（1）在 這段時(shí)間里，運(yùn)動員的平均速度為多少？（2）在 這段時(shí)間里， 運(yùn)動員的平均速度為多少？

學(xué)生進(jìn)行計(jì)算回答，教師板書

教師：平均速度可以描述運(yùn)動員在某段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動變化的快慢。當(dāng)運(yùn)動員起跳后的時(shí)間從 增加到 時(shí)，運(yùn)動員的平均速度是多少？

學(xué)生回答，教師板書

教師：我們再來回憶一下上面的三個(gè)情景，他們有哪些共同點(diǎn)？

學(xué)生討論交流，教師提問學(xué)生后共同歸納出：都有兩個(gè)變量，而且兩個(gè)變量一個(gè)變量隨另一變量變化而變化。都是用差值的比來刻畫變化的快慢。

教師：一個(gè)變量隨另一變量變化而變化即兩變量存在對應(yīng)關(guān)系，可以用哪個(gè)數(shù)學(xué)模型來刻畫這種對應(yīng)關(guān)系？

學(xué)生：函數(shù)。

教師：那么如何刻畫函數(shù)f（x）在區(qū)間 上隨x變化（增加或減少）的“快”與“慢”？ 學(xué)生：函數(shù)值的差與自變量的差的比值。

教師：我們把這些比值稱為函數(shù)在某一區(qū)間上的平均變化率，能歸納出函數(shù)在給定區(qū)間的平均變化率的定義嗎？（提問）

學(xué)生：一般地，函數(shù)y=f（x）中，式子 稱為函數(shù)f（x）從x1到x2的平均變化率。

教師：習(xí)慣上用 表示 ，即 ，類似地 ，則平均變化率可表示為 。把 看作相對于 的一個(gè)“增量”，于是可用 代替 ，平均變化率公式還可改寫成

教師：如圖觀察函數(shù)f（x）的圖象，由平均變化率公式 你能聯(lián)想哪個(gè)公式？平均變化率表示什么？

讓學(xué)生獨(dú)立思考，自己動手畫圖，教師進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo)交流，然后教師結(jié)合多媒體展示下面的圖像進(jìn)行總結(jié)歸納。

教師：通過探討我們知道了，平均變化率表示函數(shù)圖像上兩點(diǎn)所在直線的斜率。

教師：同學(xué)們能舉出一些用函數(shù)的平均變化率刻畫因變量隨自變量變化“快慢”的例子嗎？同學(xué)們討論交流回答。

教師：同學(xué)們，只要我們經(jīng)常戴上數(shù)學(xué)的眼鏡看生活，在生活中去“尋找”數(shù)學(xué)，去“用”數(shù)學(xué)。你一定會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)離我們是那么近，數(shù)學(xué)不僅有趣而且有用。

三、感悟與反思

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，力求對現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)含的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和作出判斷應(yīng)提供基本內(nèi)容的實(shí)際背景，反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，開展數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)活動”。本課例我以學(xué)生為中心，以問題為載體，體會數(shù)學(xué)概念如何從背景到數(shù)學(xué)化的全過程，從而水到渠成的構(gòu)建了平均變化率這個(gè)數(shù)學(xué)概念。同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生處理信息能力和將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的能力。在教學(xué)中注重知識的形成過程，提供觀察、探索、交流的機(jī)會，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，有效地調(diào)動學(xué)生思維，滲透特殊到一般、類比、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生學(xué)到知識的同時(shí)又學(xué)會方法。在教學(xué)過程中有意識的引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會利用數(shù)學(xué)知識解釋生活現(xiàn)象，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力。