朱立明,韓繼偉
(1.東北師范大學(xué)教育學(xué)部,吉林 長春 130024;2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,吉林 長春 130024)
高中數(shù)學(xué)內(nèi)容作為數(shù)學(xué)內(nèi)容的下位概念,一方面應(yīng)該具備數(shù)學(xué)內(nèi)容的共同屬性,另一方面又具有反映自身的特殊性?;凇昂诵摹焙透咧袛?shù)學(xué)內(nèi)容兩方面因素,我們提出高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群的概念,這里面涵括的不僅僅是知識點,還綜合數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和思想方法的內(nèi)容體系。所謂高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群即在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容體系中,能夠聯(lián)結(jié)不同模塊或?qū)n}之間的數(shù)學(xué)內(nèi)容并為其提供持續(xù)性支持且具有奠基作用的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思想方法。
高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群的基礎(chǔ)性特征主要是取決于數(shù)學(xué)的抽象性特點。由于“數(shù)學(xué)本身幾乎完全周旋于抽象概念和它們相互關(guān)系的圈子之中”[1],所以從某種程度上講,數(shù)學(xué)的抽象性在加強數(shù)學(xué)深度的同時也增添了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度,因此數(shù)學(xué)內(nèi)容在滿足循序漸進特點的同時,必然有一部分內(nèi)容是基礎(chǔ)的,為后續(xù)學(xué)習(xí)起到奠基作用。高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群作為數(shù)學(xué)本源內(nèi)容,不僅體現(xiàn)在對數(shù)學(xué)知識的發(fā)展或數(shù)學(xué)領(lǐng)域重大變革具有一定的促進作用,也體現(xiàn)在為高中數(shù)學(xué)的初學(xué)者在不同時期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ),因此彰顯了高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群的基礎(chǔ)性特征。
高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群的聯(lián)結(jié)性特征是由核心的范圍層面決定的。由于數(shù)學(xué)本身經(jīng)過漫長的歷史發(fā)展,現(xiàn)代數(shù)學(xué)已經(jīng)是一個分支眾多的知識系統(tǒng),孤立的數(shù)學(xué)內(nèi)容是不存在的,高中數(shù)學(xué)內(nèi)容作為整個數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的縮影,眾多數(shù)學(xué)模塊或者專題按照一定的學(xué)科邏輯順序和學(xué)生認知結(jié)構(gòu)順序進行有效組織,高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群以本源內(nèi)容的形式,或者以數(shù)學(xué)內(nèi)容主線的形式,與高中其他數(shù)學(xué)內(nèi)容具有知識結(jié)構(gòu)上的橫向聯(lián)系,貫穿整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程,具有聯(lián)結(jié)性特征。
高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群的持續(xù)性特征主要體現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)不同模塊或者專題所對應(yīng)的相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容采用螺旋上升的組織形式,漸次加強所學(xué)概念和觀念的深度和復(fù)雜程度,使高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群與學(xué)生內(nèi)部心理發(fā)展過程融合起來,為不同時期對其他高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)提供動態(tài)支持,這種支持不僅包括數(shù)學(xué)概念、定理和公式等人們在長期數(shù)學(xué)活動中形成的間接經(jīng)驗,還包括學(xué)習(xí)者通過自身的觀察、操作、比較、分析、歸納、概括等活動而獲得的直接經(jīng)驗。無論是在數(shù)學(xué)知識的生成過程,還是數(shù)學(xué)的最終結(jié)果的獲得,高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群自始至終體現(xiàn)著持續(xù)性特征。
數(shù)學(xué)思想來源于數(shù)學(xué)知識本身,又高于數(shù)學(xué)知識本身,是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認識,數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)知識是共生的個體,不可分割。沒有脫離數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想,也沒有不蘊含數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)知識,在此基礎(chǔ)上,史寧中教授從數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的角度,將數(shù)學(xué)思想概括為抽象、推理、模型。而在高中數(shù)學(xué)中所涉及的數(shù)學(xué)思想更加具體化、多元化,主要包括:函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、符號化思想、算法思想、幾何思想、隨機思想等,所以高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群具有思想性特征。
1.函數(shù)與變量
在17世紀,函數(shù)概念未明確提出之前一直被當(dāng)作曲線研究,因此函數(shù)概念最早源于人們對動點軌跡的探索,1673年,萊布尼茲(Leibniz)在手稿中最早使用函數(shù)(function)一詞來表示任何一個隨著曲線上的點的變動而變動的量,1714年,萊布尼茲在著作《歷史》中用函數(shù)一詞來表示依賴于一個變量的量[2]。1718年,約翰·伯努利(John Bernoulli)將函數(shù)定義為由一個變量x與常量構(gòu)成的任意表達式[3]。1748年,歐拉(L.Euler)在《無窮小分析引論》中推廣了約翰·伯努利的函數(shù)定義,認為一個變量的函數(shù)是由該變量和一些數(shù)或常量以任何一種方式構(gòu)成的解析表達式[4];1755年,歐拉在他的《微分學(xué)原理》的序言中又將函數(shù)重新定義為,如果某些量以這樣的方式依賴于另一些量,即當(dāng)后面這些量變化時,前面這些變量也隨之變化,則將前面的變量稱為后面變量的函數(shù)[5];歐拉用“解析表達式”代替了約翰·伯努利的“任意表達式”,增強了函數(shù)概念的嚴密性,同時指明了哪個變量是哪個變量的函數(shù)。隨著函數(shù)概念的大量采用,微積分開始走上了形式化與代數(shù)化的道路。
2.函數(shù)與對應(yīng)
1823年,柯西(Cauchy)對函數(shù)的解析表達式做了較少地限制,而著重從變量的對應(yīng)關(guān)系來定義函數(shù),即若對x的每一個值,都有完全確定的y值與之對應(yīng),x與y的函數(shù)關(guān)系的解析式表示方式并不唯一,則稱y是x的函數(shù),并將x稱為自變量。[6]我們知道,函數(shù)能否用解析式表示出來的意義并不大,狄利克萊函數(shù)的出現(xiàn)更是對函數(shù)解析式提出巨大挑戰(zhàn),因此,1837年,狄利克萊(Dirichlet)將這一限制去掉,認為函數(shù)在整個區(qū)間上y是否按照一種或多種規(guī)律依賴于x,或者y依賴于x是否可用數(shù)學(xué)運算來表達,那都是無關(guān)緊要的。[7]19世紀70年代,康托(Cantor)建立集合論后,維布倫(O.Veblen)用集合與對應(yīng)給出近代函數(shù)的定義,若在變量y的集合與另一變量x的集合之間,有這樣的關(guān)系成立,即對x的每一個值,有完全確定的y值與之對應(yīng),則稱變量y是變量x的函數(shù)。這是函數(shù)在廣泛意義上的定義,與高中數(shù)學(xué)函數(shù)的概念本質(zhì)一樣。[8]
3.函數(shù)與關(guān)系
雖然狄利克萊等人通過對應(yīng)定義函數(shù)擺脫了解析式的制約,但并沒有對什么是對應(yīng)做出嚴格的說明,因此在高中數(shù)學(xué)函數(shù)定義中也沒有說明到底什么是對應(yīng)法則。數(shù)學(xué)具有嚴謹性,所以,在1939年,布爾巴基(Nicolas Bourbaki)學(xué)派將函數(shù)概念建立在關(guān)系基礎(chǔ)之上,重新給出函數(shù)定義[9]:設(shè)集合X、Y,定義X與Y的積集X×Y如下:X×Y={(x,y)|x∈X,y∈Y}。積集X×Y中的任一子集R稱為X與Y的一個關(guān)系,若(x,y)∈R,則稱x與y有關(guān)系R,記為xRy,若(x,y)不屬于R,則稱x與y無關(guān)系R?,F(xiàn)設(shè)f是x與y的關(guān)系,即f包含于X×Y,如果(x,y)、(x,z)∈f,必有y=z,那么稱f為X到Y(jié)的映射或函數(shù)。
從函數(shù)發(fā)展來看,函數(shù)概念的歷史映射了整個數(shù)學(xué)的發(fā)展史,成為推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力,體現(xiàn)了函數(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展中的基礎(chǔ)性作用。
20世紀初,在英國數(shù)學(xué)家貝利(J.Perry)和德國數(shù)學(xué)家克萊因(Klein)等人的大力倡導(dǎo)和推動下,函數(shù)進入了中學(xué)數(shù)學(xué)??巳R因認為:“函數(shù)概念,應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育的靈魂。以函數(shù)概念為中心,將全部數(shù)學(xué)教材集中在它周圍,進行充分地綜合?!焙瘮?shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線之一,貫穿于整個高中數(shù)學(xué)課程,如圖1所示。
響應(yīng)新課改的理念,加大對實訓(xùn)模擬室的資金投入,建立符合國家標準的會計實訓(xùn)模擬室。首先,各類設(shè)施配置要齊全,要不斷改善實訓(xùn)室的教學(xué)環(huán)境,確保在企業(yè)財務(wù)部門能進行的會計操作在實訓(xùn)模擬室中也同樣能操作。其次,擴大實訓(xùn)模擬室的空間,使每一位學(xué)生都能進行實際動手操作。
1.函數(shù)符合基礎(chǔ)性特征
函數(shù)能夠成為高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是因為變數(shù)的概念,字母表示數(shù)的出現(xiàn),是人們思維方式更新的標志,意味著代數(shù)學(xué)的開始,從理論上講,代數(shù)是字母的算術(shù),代數(shù)思維的本質(zhì)就是關(guān)系思維,其目的是發(fā)現(xiàn)具有一般化的關(guān)系、普遍化的結(jié)構(gòu)。[10]正如恩格斯在《自然辯證法》一書中所說:“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù),有了變數(shù),運動進入了數(shù)學(xué),辯證法進入了數(shù)學(xué),有了變數(shù),微分和積分也就立刻成為必要了?!焙瘮?shù)是一種變數(shù)思維,而變數(shù)對數(shù)學(xué)而言是一種重要的思想與轉(zhuǎn)折,為整個高中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)做了鋪墊,是初學(xué)者在高中數(shù)學(xué)不同時期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。
2.函數(shù)符合聯(lián)結(jié)性特征
函數(shù)的聯(lián)結(jié)性特征主要體現(xiàn)在函數(shù)與方程、不等式、算法、微積分等高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的橫向聯(lián)系上。從歷史發(fā)展來看,函數(shù)屬于代數(shù)領(lǐng)域,方程屬于算術(shù)領(lǐng)域,函數(shù)中的字母是變量,可以取得不同數(shù)值,方程中的字母是常量,是未知但確定的數(shù)值,因此變量是函數(shù)的基礎(chǔ),未知數(shù)是方程的基礎(chǔ)。從形式上來看,在函數(shù)y=f(x)中,當(dāng)y=0時,即可轉(zhuǎn)化為方程f(x)=0,但兩者在本質(zhì)上是不同的,函數(shù)的本質(zhì)是描述一件事情的變化規(guī)律,而方程的本質(zhì)是兩件事情的等價性。從特殊取值來看,函數(shù)的零點便是函數(shù)對應(yīng)方程的根。在高中階段,通過數(shù)形結(jié)合,利用二次函數(shù)的圖像進行一元二次不等式求解,使問題清晰簡潔。反過來,當(dāng)我們對函數(shù)定義域、函數(shù)單調(diào)區(qū)間等求解時,便轉(zhuǎn)化為求不等式(一元二次不等式、分式不等式、指數(shù)不等式、對數(shù)不等式)的解集;算法中循環(huán)變量依賴變量的取值決定循環(huán)體的“開始”與“結(jié)束”,是刻畫循環(huán)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵,體現(xiàn)著函數(shù)的思想;高中階段的微積分重點體現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)與牛頓—萊布尼茲公式的應(yīng)用,函數(shù)是對運動變化的動態(tài)描述,而導(dǎo)數(shù)是對事物變化快慢的描述,因此,我們說函數(shù)并不是孤立存在于高中數(shù)學(xué)中的,函數(shù)與其他內(nèi)容所形成的網(wǎng)狀聯(lián)系體現(xiàn)了核心內(nèi)容群的聯(lián)結(jié)性特征。
3.函數(shù)符合持續(xù)性特征
函數(shù)的持續(xù)性特征主要體現(xiàn)在整個高中數(shù)學(xué)模塊1、模塊4、模塊5、專題2中反復(fù)感悟、螺旋上升學(xué)習(xí)函數(shù)的縱向聯(lián)系。從高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的組織來看,函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)課程的一條主線,貫穿整個高中數(shù)學(xué)課程。高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)概念以集合作為基礎(chǔ),因此必修1的第一章是集合論的相關(guān)知識,從第二章開始接觸函數(shù),其中包含了函數(shù)的基本性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性)、基本初等函數(shù)Ⅰ(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù))、分段函數(shù)、函數(shù)的零點;必修4中基本初等函數(shù)Ⅱ(三角函數(shù))、函數(shù)的基本性質(zhì)(周期性);必修5中特殊的離散型函數(shù)(數(shù)列),選修系列2中隨機變量的本質(zhì)也是函數(shù),是樣本空間到實數(shù)域上的特殊函數(shù)。因此我們可以從教材螺旋上升的編排順序看出來,函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中是持續(xù)的、貫穿始終的,函數(shù)體現(xiàn)了核心內(nèi)容群的持續(xù)性特征。
圖1 高中數(shù)學(xué)函數(shù)內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)圖
4.函數(shù)符合思想性特征
函數(shù)思想是高中階段最基礎(chǔ)最重要的數(shù)學(xué)思想之一,集中體現(xiàn)為一種對應(yīng)的思想,函數(shù)思想的本質(zhì)是利用動態(tài)的變化和集合的對應(yīng)研究問題中的數(shù)量關(guān)系。除此之外,函數(shù)中還蘊含著其他數(shù)學(xué)思想,例如:函數(shù)表示方法中的解析法與圖像法是“數(shù)”的精確與“形”的直觀完美結(jié)合,解析法能夠清晰地表示函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,圖像法可以直觀地表達函數(shù)的變化趨勢,體現(xiàn)著數(shù)形結(jié)合思想;在我們研究指數(shù)函數(shù)f(x)=ax的單調(diào)性時,往往需要注意底數(shù)a的取值范圍,當(dāng)a>1時,f(x)=ax在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)0<a<1時,f(x)=ax在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,這里蘊含著分類討論的思想,分類討論思想的本質(zhì)在于分類標準的選擇,而這里分類的標準就是a>1與0<a<1;我們利用正弦函數(shù)y=sinx研究余弦函數(shù)y=cosx的性質(zhì),這是類比思想;我們在講函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式時,體現(xiàn)著化歸思想。可見,在函數(shù)中不乏數(shù)學(xué)思想,函數(shù)體現(xiàn)了核心內(nèi)容群的思想性特征。
從F.克萊因呼吁重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值,到弗萊登塔爾推動現(xiàn)實數(shù)學(xué)教育,我國也逐漸意識到運用數(shù)學(xué)知識解決簡單的現(xiàn)實問題能力的重要性,而對于高中函數(shù)在實際中的應(yīng)用則集中體現(xiàn)在數(shù)學(xué)建模上,其中蘊含了函數(shù)模型的數(shù)學(xué)思想。在高中階段,所謂函數(shù)模型,是指用函數(shù)知識對生活中普遍存在的簡單的最值問題(利潤最高、成本最低、效益最好、用料最?。┻M行歸納加工,建立適切的目標函數(shù),從而從函數(shù)的角度解決實際問題。函數(shù)模型的構(gòu)造有助于學(xué)生對函數(shù)本身的理解,加強學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。[11]
利用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實問題,這與課程標準中數(shù)學(xué)聯(lián)系生活是一致的,數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式,有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,增強學(xué)生的應(yīng)用意識,提高其實踐能力,課程標準指出:“數(shù)學(xué)建模是運用數(shù)學(xué)思想、方法和知識解決實際問題的過程”。(函數(shù)模型解決真實問題具體過程如圖2所示)
圖2 函數(shù)模型解決真實問題圖示
我們從數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展、高中課程標準、綜合與實踐三個視角可以看出,函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的一條主線,具有強大的生命力,我國高中數(shù)學(xué)教材非常注重函數(shù)的地位與作用,建立了以函數(shù)為核心的輻射狀知識結(jié)構(gòu),這一知識結(jié)構(gòu)使函數(shù)具有基礎(chǔ)性、持續(xù)性、聯(lián)結(jié)性、思想性的特征,成為學(xué)生認識數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個核心內(nèi)容群。▲
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