劉斌

執(zhí)因?qū)す?/p>

任何一個(gè)數(shù)學(xué)問題都是由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成的. 條件是解題的主要素材，充分利用條件間的內(nèi)在聯(lián)系是解題的必經(jīng)之路. 條件有明示的、有隱含的，審視條件更重要的是充分挖掘每一個(gè)條件的內(nèi)涵和隱含的信息，發(fā)揮其解題功能.

例1 ?在平面上，[AB1]⊥[AB2]，|[OB1]|=|[OB2]|=1，[AP]=[AB1]+[AB2]，若|[OP]|<[12]，則|[OA]|的取值范圍是（ ? ）

A. [（0，52]] ? ? B. [（52，72]]

C. [（52，2]] ? D. [（72，2]]

審題思路 ?由[AB1]+[AB2]考慮建立直角坐標(biāo)系→設(shè)出所有相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)→尋求條件和結(jié)論的關(guān)系.

解析 ?建立如圖直角坐標(biāo)系.

設(shè)[O（x，y）]，[B1（a，0）]，[B2（0，b）]，則[P（a，b）].

由已知得，

[（x-a）2+y2=1，①x2+（y-b）2=1，②（x-a）2+（y-b）2<14，③]

由③得[-（x-a）2-（y-b）2>-14]，④

①+②+④得，[x2+y2>74]，則[|OA|>72].

①+②得，[x2+y2≤（x-a）2+y2+x2+（y-b）2=2，]

則[|OA|≤2]，故[72<|OA|]≤[2].

執(zhí)果索因

解決問題的最終目標(biāo)就是求出結(jié)論或說明已給結(jié)論正確或錯(cuò)誤. 因而解決問題時(shí)的思維過程大多都是圍繞著結(jié)論這個(gè)目標(biāo)進(jìn)行定向思考的. 審視結(jié)論，就是在結(jié)論的啟發(fā)下，探索已知條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系和轉(zhuǎn)化規(guī)律. 善于從結(jié)論中捕捉解題信息，善于對(duì)結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之逐步靠近條件，從而發(fā)現(xiàn)和確定解題方向. 例如在利用函數(shù)的單調(diào)性和最值證明不等式問題中，若不等式中含有兩個(gè)（或兩個(gè)以上）變量，就有必要分析結(jié)論的結(jié)構(gòu)以及和已知條件的關(guān)系，通過構(gòu)造函數(shù)（單變量），利用求導(dǎo)完成.

例2 ?已知函數(shù)[f（x）=lnx].

（1）若直線[y=x+m]與函數(shù)[f（x）]相切，求實(shí)數(shù)[m]的值;

（2）設(shè)[0

審題思路 ?對(duì)第（2）問可作如下分析：由[00]，[f（b）-f（a）b-a]？[2a+b]?[lnb-lnab-a]？[2a+b]?[lnb-lna]？[2（b-a）a+b]?ln[ba]？[2（ba-1）ba+1]?[lnt]？[2（t-1）t+1] （設(shè)[t=ba]，[t>1]）?[lnt？]2（1-[2t+1]），到此可構(gòu)造函數(shù)[f（t）=lnt-2（1-2t+1）（t>1）]，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.

解析 ?（1）由已知[f（x）=1x]，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為[P（x0，y0）]，

則[1x0=1，y0=lnx0，y0=x0+m，]解得[x0=1，y0=1，m=-1.]

（2）設(shè)[f（t）=lnt-2（1-2t+1），t>1.]

則[f（t）=1t-4（t+1）2=（t-1）2t（t+1）2]≥0，

則[f（t）]在（1，+∞）上遞增.

[∴f（t）>f（1）]，即[lnt>2（1-2t+1）.]

將[t=ba]，代入上式整理可得[lnb-lnab-a]>[2a+b]，即[f（b）-f（a）b-a]>[2a+b].

定性分析

幾何問題的審題過程大致是：讀題→標(biāo)注→分析（確定幾何體的條件和基本量）→證明→建系→計(jì)算. 而分析確定幾何體的條件，明確基 本量是建立坐標(biāo)系和求相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)的基礎(chǔ)和前提，可先定性后定量.

例3 ?如圖，在正三棱錐[A-BCD]中，[E，F(xiàn)]分別是棱[AB，BC]的中點(diǎn)，[EF⊥DE]且[BC=1]，則正三棱錐[A-BCD]的體積為（ ? ）

A. [212] ? ? B. [224] ? ? C. [312] ? ? D. [324]

審題思路 ?（1）根據(jù)錐體的公式[V=13Sh]，故確定正三棱錐體積只需確定底面面積和高，顯然[BC=1]可以確定底面，當(dāng)然[EF⊥DE]就是確定正三棱錐高的間接條件. 如何使用條件[EF⊥DE]成為解決本問題的關(guān)鍵. （2）顯然[AC∥EF]，則[AC⊥DE]，又可證[AC⊥BD]，則[AC⊥面ABD].（3）可考慮建立直角坐標(biāo)系，由[EF⊥DE]求點(diǎn)[A]到面[BCD]的距離.

解析 ?如圖，點(diǎn)[A]在面[BCD]上的射影[O]為正[△BCD]的中心，如圖建立直角坐標(biāo)系[O-xyz]. 設(shè)[A（0，0，t）]，[B（-12]，[-36]，0），[C（12]，-[36]，0），[D（0，33]，0），[E（-14]，-[312]，[t2]），[F（0，-36]，0），

[EF]=（[14]，-[312]，-[t2]），[DE]=（-[14]，-[5312]，[t2]）.

由已知[EF]·[DE]=0，

解得[t=66]，[VA-BCD=13S△BCD·AO=][224].

定量分析

“設(shè)，列，求”是我們解決很多數(shù)學(xué)問題的必經(jīng)過程，而在用代數(shù)方法研究幾何問題時(shí)這一方法尤為重要. 通過所設(shè)未知量的“個(gè)數(shù)”，挖掘題目的條件，布列方程，尋求解決問題的途徑. 比如求橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一般需要兩個(gè)條件;而求其離心率只需一個(gè)條件即可.

例4 ?如圖，已知雙曲線[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>0）的兩條漸近線分別為[l1]，[l2]，左、右焦點(diǎn)分別為[F1]，[F2]，點(diǎn)[P]在[l1]上且[PF1⊥l2]，[PF2∥l2]，則此雙曲線的離心率為（ ? ）

A. [2] ? ? ?B. 2 ? ? ?C. [3] ? ? ?D. 3

審題思路 ?可設(shè)[P（x0，y0）]，由已知條件列方程組求解.

解析 ?設(shè)[P（x0，y0）]，由已知得，[y0=bax0，①y0x0-c=-ba，②y0x0+c=ba，③]

消去[x0，y0]得，[b2=3a2].

[∴e=ca=2.]