馮道才

【摘要】安提豐（Antiphon 480-403BC）“窮竭法”已有兩千多年的歷史，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展與貢獻(xiàn)，已是豐功偉績(jī)，功成名就；受歷史條件的限制，在數(shù)學(xué)高度發(fā)展的今天來(lái)看，顯現(xiàn)出缺陷，窮竭法已完成在數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中作出的重大的貢獻(xiàn)，但已走到了盡頭.開(kāi)辟新的微分“窮竭法”勢(shì)在必行.

【關(guān)鍵詞】窮竭法；微分窮竭法；三等分角

一、安提豐發(fā)明的“窮竭法”

1.安提豐窮竭法，尺規(guī)等分，是分1得2，分2得4，分4得8，…，是以2的倍數(shù)窮竭.是算術(shù)等分，不會(huì)產(chǎn)生增量.從分2得4看出，它跳過(guò)了不能作3的等分；從分4得8看出，它跳過(guò)了不能作5、6、7的等分，……，從作圖看出，對(duì)角、弧、圓只能作2或2的倍數(shù)的等分，即偶數(shù)的部分等分，產(chǎn)生的原因，是初等數(shù)學(xué)的窮竭法，不存在增量.

2.從側(cè)面看“窮竭法”，它直接的告訴我們，尺規(guī)不能作奇數(shù)等分，更不能作質(zhì)數(shù)等分，世界大難題三等分角，是顯著的代表.然而它自身確又隱藏著很多玄妙的數(shù)學(xué)理論，待人們?nèi)ラ_(kāi)發(fā)，學(xué)術(shù)難題正在等待著它.

二、創(chuàng)建“微分窮竭法”

（圖1）微分“窮竭法”，是尺規(guī)數(shù)字化等分弧的作圖.

1.分原函數(shù)AT0B弧1等分，即作AT0B弧的切線BDn，是已知角∠ABC的角平分線，與AB的垂直平分線MN交于T，以A，T，B三點(diǎn)定圓得增量函數(shù)ATB弧2等分.

2.過(guò)A點(diǎn)，作原函數(shù)ATB弧的切線AT2與角平分線BDn交于D，以A，D，B三點(diǎn)定圓得增量函數(shù)ADT1B.2等分ATB弧，得ADT1B弧3等分.

3.作圖同2，分原函數(shù)ADT1B弧3等分，得增量函數(shù)AD1T2B弧4等分.

4.作圖同2，分原函數(shù)AD1T2B弧4等分，得增量函數(shù)AD2PT3B弧5等分的.

5.…….作圖是有“增量”的幾何等分.

三、微分窮竭法與三等分角

微分窮竭法是尺規(guī)“數(shù)字化”新功能的體現(xiàn)，有詩(shī)為證：

把詩(shī)意翻過(guò)來(lái)（如圖）

【一角三分本等閑，尺規(guī)限制設(shè)難關(guān).一角三分休等閑，尺規(guī)數(shù)字化奪關(guān).幾何頑石橫千載，代數(shù)神威越九天.幾何頑石被粉碎，伽羅瓦證已逆轉(zhuǎn).

步步登攀皆是二，層層尋覓杳無(wú)三.分2得3窮竭法，4分割線截取3.黃泉碧落求真諦，加減乘除談笑間】.君問(wèn)分3是誰(shuí)證，加減乘除x= 3.

可以看出，微分窮竭法：是已知角、弧、圓的原函數(shù)與算術(shù)等分的第一步，窮竭法本能地產(chǎn)生增量，把原函數(shù)升級(jí)為增量函數(shù)，…….微分窮竭法：是尺規(guī)“公法”的功能，升級(jí)為數(shù)字化尺規(guī)作圖，“等分圓、弧、角的數(shù)字化，與二次方程x的解已接上了軌，二次方程x的解的數(shù)字，都是等分角、弧、圓作圖的有效數(shù)字.”

所以x=3，就是三等分角作圖的算術(shù)等分?jǐn)?shù).

得：2、3、4 是三等分角的作圖數(shù)組.

作出三等分角.

越九天.

1.公元前400年前后，三等分角問(wèn)事，作為“問(wèn)題”而擱淺.

以“窮竭法”的發(fā)明人安提豐（Antighon，約公元前480），為代表，他研究“化圓為方”，發(fā)明窮竭法，即分1得2，是尺規(guī)二等分角作圖；分2得4，…，是尺規(guī)四等分角作圖，尺規(guī)都能作出，他跳過(guò)了分2得3，即三等分角作圖.二、四等分角都作圖了，難道說(shuō)安提豐不會(huì)“順便”研究，或用尺規(guī)去作一作三等分角嗎？不但如此，可以說(shuō)在當(dāng)時(shí)研究三等分角的人群中，安提豐花時(shí)要算最多的一個(gè)，發(fā)明窮竭法是最好的說(shuō)明.安提豐和所有研究三等分角的人群，在數(shù)學(xué)發(fā)展的初級(jí)階段，研究得的結(jié)果是：任意角能三等分吧，又作不出來(lái)，不能三等分，又無(wú)充分的根據(jù)，可以說(shuō)是一無(wú)所獲，所以柏拉圖把三等分角列為三大“問(wèn)題”之一，已有兩千多年.

2.21世紀(jì)開(kāi)元，解決尺規(guī)不能三等分角的問(wèn)題.

①發(fā)明：尺規(guī)數(shù)字化作圖的功能；微分窮竭法；子母弧等分定理（升級(jí)為增量定理）；角等分微分割線定理與逆定理；建立：增量割線，角等分割線；這些方法與定理，都是源于數(shù)學(xué)理論：幾何等分一個(gè)幾何量，會(huì)丟失一個(gè)平均數(shù)，要用增量找回丟失了的平均數(shù)，才能進(jìn)行幾何等分（微分）；與相匹配的植樹(shù)問(wèn)題結(jié)合，使這一理論更加充實(shí)與完善（1）.

②從古到今，牛頓與萊布尼茨除外，所有作三等分角的人，是主觀失誤，用一個(gè)角來(lái)分，死也分不出來(lái)，最終作了“尺規(guī)不能三等分角”錯(cuò)誤的判斷.尺規(guī)要三等分角，要分三個(gè)角才能分得出，已知角是明顯的，有兩個(gè)“角”是隱藏著的，要自己去找，找到“角”還不接待，派了兩個(gè)全權(quán)代表角的“弧”來(lái)，加上已知角的弧，得三個(gè)?。ê瘮?shù)群）來(lái)共同作三等分，還要加上①的那些筐筐套套，尺規(guī)才能把已知角三等分，大家才恍然大悟，名副其實(shí)的大難題.從此三等分角的“問(wèn)題”解出.成為清白而名正言順的“尺規(guī)作圖微分三等分角”.