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      空間曲線的切線計算方法

      2015-05-30 01:00:39張輝李應(yīng)岐敬斌趙偉舟陳春梅
      關(guān)鍵詞:切線

      張輝 李應(yīng)岐 敬斌 趙偉舟 陳春梅

      【摘要】研究計算空間曲線的切線方程的四種方法,給出求解思路,旨在使學(xué)生有更深的理解和掌握.

      【關(guān)鍵詞】空間曲線;切線;切向量;法向量

      【中圖分類號】O13

      【基金項目】陜西省教育廳科研計劃項目資助(2013JK1098)

      空間曲線的切線是高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)幾何應(yīng)用的重要內(nèi)容.教材[1]主要研究了計算空間曲線的切線方程的三種情形:參數(shù)方程、可化為參數(shù)方程和一般方程.為使學(xué)生能夠深刻理解,下面將再研究計算空間曲線的切線方程的四種方法,給出求解思路,望初學(xué)者靈活使用.

      為方便起見,我們假設(shè)空間曲線的切線和空間曲面的切平面均存在.

      設(shè)空間曲線Γ為空間曲面∑1:F(x,y,z)=0和∑2:G(x,y,z)=0的交線,其一般方程為F(x,y,z)=0,

      G(x,y,z)=0,M(x0,y0,z0)是曲線Γ上的一個點.

      1.切線為兩個切平面的交線

      由切平面的性質(zhì),曲線Γ在點M處的切線既在曲面∑1在點M處的切平面上,也在曲面∑2在點M處的切平面上.曲面∑1在點M處的一個法向量取為n1=(Fx(x0,y0,z0),F(xiàn)y(x0,y0,z0),

      Fz(x0,y0,z0)),簡記為n1=(Fx,F(xiàn)y,F(xiàn)z).同理,曲面∑2在點M處的一個法向量取為n2=(Gx,Gy,Gz),則曲面∑1和∑2在點M處切平面方程分別為(x-x0)Fx+(y-y0)Fy+ (z-z0)Fz=0和(x-x0)Gx+(y-y0)Gy+(z-z0)Gz=0.故曲線Γ在點M處的切線方程為(x-x0)Fx+(y-y0)Fy+(z-z0)Fz=0,

      (x-x0)Gx+(y-y0)Gy+(z-z0)Gz=0.

      2.切向量取為兩個法向量的向量積

      由情形1,曲線Γ在點M處的切向量T既與n1垂直,也與n2垂直,從而可取T=n1×n2=ijk

      FxFyFz

      GxGyGz=(FyGz-FzGy,F(xiàn)zGx-FxGz,F(xiàn)xGy-FyGx).由直線的對稱式方程,故曲線Γ在點M處的切線方程為x-x0FyGz-FzGy=y-y0FzGx-FxGz=z-z0FxGy-FyGx.

      引理 Γ1:Ax+By+Cz+D=0,

      y=y0和

      Γ2:Ax+By0+Cz+D=0,

      y=y0表示同一條直線.

      證明:設(shè)(x0,y0,z0)是Γ1和Γ2上一公共點,取Γ1在點(x0,y0,z0)處的切向量為T1=

      ijk

      ABC

      010=-Ci+Ak,取Γ2在點(x0,y0,z0)處的切向量為T1=ijk

      A0C

      010=-Ci+Ak.又T1=T2,故Γ1和Γ2表示同一條直線.

      特別地,對于一類特殊的空間曲線Γ1:z=f(x,y),

      y=y0,其中f(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),P(x0,y0,f(x0,y0))是Γ1上的一點.令Γ1的參數(shù)方程為x=x,

      y=y0,

      z=f(x,y0),則Γ1在點P處的切向量取為T1=1,0,df(x,y0)dxx=x0.又df(x,y0)dxx=x0=fx(x0,y0),則T1=(1,0,fx(x0,y0)).因此,Γ1在點P處的切線方程為x-x01=y-y00=z-f(x0,y0)fx(x0,y0),其一般方程為fx(x0,y0)(x-x0)-(z-f(x0,y0))=0,

      y-y0=0.由上可見,偏導(dǎo)數(shù)fx(x0,y0)表示曲線z=f(x,y),

      y=y0在點(x0,y0,f(x0,y0))處的切線相對應(yīng)于x軸的斜率.同理,偏導(dǎo)數(shù)fy(x0,y0)表示曲線z=f(x,y),

      x=x0在點(x0,y0,f(x0,y0))處的切線相對應(yīng)于y軸的斜率.

      注意到,Γ1在點P處的切線可以看成曲面z=f(x,y)在點P處的切平面與平面y=y0的交線.取曲面z=f(x,y)在點P處的法向量為(fx(x0,y0),fy(x0,y0),-1),則曲面z=f(x,y)在點P處切平面方程為fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0)-(z-f(x0,y0))=0.即Γ1在點P處的切線的一般方程為

      fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0)-(z-f(x0,y0))=0,

      y-y0=0再由引理,此切線的一般方程也可表示為

      fx(x0,y0)(x-x0)-(z-f(x0,y0))=0,

      y-y0=0

      【參考文獻】

      [1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下冊)[M].6版.北京:高等教育出版社,2007:94-96.

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