張煒

平面向量模的最值問(wèn)題是浙江高考命題的熱點(diǎn)之一，也是其他省份的?？純?nèi)容.在高考復(fù)習(xí)中學(xué)生對(duì)向量有一種莫名的“恐懼”，對(duì)這個(gè)既有大小又有方向的量總是把握不好，對(duì)向量模的最值問(wèn)題更是一頭“霧水”，不知如何處理.

向量的模，我們有兩方面可以考慮：首先向量的模即向量的大小，可以利用幾何意義考慮線段長(zhǎng)度的最大（?。┲?其次向量的?？梢杂?jì)算，利用代數(shù)意義考慮轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值（或恒成立問(wèn)題）.下面就向量的模最值問(wèn)題展開(kāi)討論.

1.體會(huì)高考，領(lǐng)悟通解通法

我們先看一題

例1 （2015浙江高考數(shù)學(xué)理科第15題）已知e1，e2是空間單位向量，e1·e2=12，若空間向量b滿足b·e1=2，b·e2=52，且對(duì)于任意x，y∈R，b-xe1+ye2 ≥b-xoe1+yoe2=1，x0，y0∈R 則x0=

，y0=

，|b|=

.

從幾何方面考慮，條件e1，e2是空間單位向量，e1·e2=12可知e1，e2的夾角為π3.空間向量b滿足b·e1=2b·e2=52則可知b在e1，e2上投影分別為2和52.故作四棱錐P-ABCO，∠BAC=60°，PO⊥面ABC，AC⊥PC，AB⊥PB，

令e1，e2為AB，AC上的單位向量，AP=b，

由題可知PO=AP-AO=b-x0e1+y0e2=1，AB=2，AC=52.

由余弦定理可得BC=212，因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C，O 共圓，所以AO 為△ABC 外接圓直徑，結(jié)合正弦定理可得AO=7，∴|b|=AP=AO2+PO2=22.

易知AC⊥CO，AB⊥BO.

2.概括總結(jié) 提升探究能力

從例1可以看出，解題的切入點(diǎn)可以是從幾何意義出發(fā).考慮定義，向量的模即向量的長(zhǎng)度，模的大小就是表示向量的有向線段的長(zhǎng)短，從而可以轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離的最大（?。?例1中b-xe₁+ye₂表示差向量的模，而xe₁+ye₂由平面向量基本定理可知表示與e₁、e₂共面的任意向量，這樣差向量的模的最小轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離.在這里值得注意的是作為差向量的兩個(gè)向量要把握好一個(gè)向量為已知向量另一個(gè)向量為含有未知量的向量.在找到切入點(diǎn)之后如何求|b|，x₀，y₀則需要相應(yīng)的幾何知識(shí)，例1中用到四點(diǎn)共圓、正弦定理以及平面向量數(shù)量積的幾何意義.

解題的切入點(diǎn)還可以從代數(shù)意義出發(fā)，模的大小用變量表示.被變量表示后則可以利用函數(shù)知識(shí)求最值，常用的方法有利用配方、單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)、基本不等式、有界性等求最值;也可以利用判別式求最值，例1中用配方法和判別式法求模的最小值，由于問(wèn)題中有兩個(gè)變量，一次用判別式不足以解決問(wèn)題而是用了兩次;在配方時(shí)則選擇先對(duì)x 配方再對(duì)y 配方.

3.觸類(lèi)旁通 提高解題能力

幾何方法主要考慮用兩點(diǎn)間距離表示差向量的模即兩點(diǎn)距離的向量形式，故適用于差向量的模的問(wèn)題;代數(shù)方法主要利用函數(shù)求最值和判別式求最值.

我們?cè)倏匆活}.

例2 （2013年浙江高考理科17題）設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，y∈R，若e1，e2的夾角為π6，則|x||b|的最大值等于

解法一 （幾何方法）顯然x≠0，求|x||b|的最大值即求|b||x|最小值，|b||x|=xe1+ye2x=e1+yxe2，令t=-yx，則|b||x|=e1-te2，由差向量的幾何意義知e1-te2min即向量e1 的終點(diǎn)到向量e2所在直線的距離，∵e1=1，〈e1，e2〉=π6 ，∴e1-te2min=12，

顯然例2也是涉及向量的模的最值問(wèn)題，解法一通過(guò)先轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離的向量形式（即差向量表示），再等價(jià)于求點(diǎn)到直線的距離;在轉(zhuǎn)化過(guò)程中用到加上一個(gè)向量等于減去一個(gè)相反向量的知識(shí)，與課本中講解向量減法的時(shí)候減去一個(gè)向量等于加上一個(gè)相反向量的情形相反.解法二中兩邊平方后轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的“二次二次 ”的齊次結(jié)構(gòu)，然后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題配方解決.解法一、二從幾何角度與代數(shù)角度來(lái)解釋向量的模，與例1一樣利用兩點(diǎn)間距離的最值和函數(shù)的最值知識(shí)解題，兩題形神皆有共同之處.

要解決向量的模的最值問(wèn)題，要明確問(wèn)題中的條件是什么，向量的模怎么表示，用幾何意義還是代數(shù)意義，模的最值與條件有什么聯(lián)系，可以用什么方法來(lái)求.明確了條件選擇了模的表示方法，學(xué)生答題就不會(huì)不知所措;理解了兩點(diǎn)間距離的向量形式，則提供了學(xué)生繼續(xù)用幾何方法解題的方向，當(dāng)然理解了函數(shù)求最值的常用方法也提供了繼續(xù)用代數(shù)方法解題的方向.

向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景.例1、2就是從這點(diǎn)出發(fā)，破除解題的心理畏懼，借助定義（向量模的代數(shù)意義和幾何意義），將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相似的、熟悉的問(wèn)題，可謂山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村.