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      平面向量中的“等勢線”研究

      2015-05-30 05:42:56金志春
      關(guān)鍵詞:等勢線向量

      金志春

      【摘要】歸納總結(jié)了向量共線定理及其推廣的應(yīng)用,建立了“等勢線”的概念并研究其性質(zhì).

      【關(guān)鍵詞】向量;共線定理;等勢線

      向量本身是數(shù)與形的完美結(jié)合的典范,一方面通過數(shù)形結(jié)合來研究向量的概念和運算;另一方面.我們又以向量為工具,數(shù)形結(jié)合地解決數(shù)學(xué)的有關(guān)問題.筆者經(jīng)過多年的教學(xué)發(fā)現(xiàn),向量特別是線性表示運算是學(xué)生們較為頭疼的一類問題,本文就這類問題進行闡述,并從蘇教版課本必修四《向量》中一道例題出發(fā),結(jié)合多道例題進行探討向量共線定理推廣的應(yīng)用;該題引出了向量共線定理的推廣,也為我們建立“等勢線”概念奠定了基礎(chǔ).

      圖1原題:如圖1,△OAB中,C為直線AB上一點,若AC=λCB(λ≠-1).求證:OC=OA+λOB1+λ.

      解析因為AC=λCB,

      所以O(shè)C-OA=λ(OB-OC),

      即(1+λ)OC=OA+λOB.

      又因為λ≠-1,即1+λ≠0,

      所以O(shè)C=OA+λOB1+λ.

      反之,亦成立.易得到向量共線定理的一個推論(以下簡稱三點共線推論):設(shè)OA,OB是平面內(nèi)不共線的兩個向量,則點A,B,C三點共線的充要條件是存在唯一一對實數(shù)α,β,使得OC=αOA+βOB(α+β=1).

      利用這個推論,可以較為輕松的解決兩類問題:一是求系數(shù)和問題,二是求三點共線問題.若我們能利用好此推論,則可以在這兩類問題中省去很多添輔助線和證明過程.本文主要談?wù)劦谝环N問題.

      圖2例1如圖2.在ABCD中,E和F分別是邊CD和BC的中點,若AC=λAE+μAF,其中λ,μ

      SymbolNC@ R,λ+μ=.

      分析連接EF,BD分別交AC于點H,O.

      因為E,F(xiàn),H三點共線,

      所以AH=αAE+βAF(α+β=1).

      易證H為OC中點,所以AH=34AC.

      因此AC=43αAE+43βAF.

      所以λ+μ=43α+43β=43.

      點評這里先由E,F(xiàn),H三點共線推論得AH用AE和AF線性表示,系數(shù)之和為1,再由AH與AC為共線向量,得其線性關(guān)系,兩者聯(lián)立,大功告成.

      圖3例2給定兩個長度為1的平面向量OA,OB,他們的夾角為120°,如圖3所示,點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動,若OC=xOA+yOB,其中x,y

      SymbolNC@ R,則x+y的最大值是.

      分析連接AB交OC于點H,

      則由因為A,B,H三點共線,

      所以O(shè)H=αOA+βOB(α+β=1).

      又因為O,C,H三點共線,

      所以O(shè)H=λOC,λ

      SymbolNC@ (0,1],即OC=αλOA+βλOB.

      因此x+y=αλ+βλ=α+βλ=1λ.

      且λ=OHOC=|OH|,由O到AB的距離為12知,

      λ

      SymbolNC@ 12,1.

      所以x+y的最大值為2.

      事實上,以上兩題的解法也是眾多解法中比較簡單的,然而山外有山,筆者在研究了例題3基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)一種更為簡潔的解法.

      圖4

      例3如圖4所示,兩射線OA和OB交于O,給出下列向量:①OA+2OB;②34OA+13OB;③12OA+13OB;④34OA+15OB;⑤34OA-15OB這些向量中以O(shè)為起點,終點在陰影區(qū)域內(nèi)的是.(寫出所有符合要求的向量的序號)

      分析在AB上取一點P,作射線OP.

      在線段OP上取一點P1,線段OP外取一點P2,OP=αOA+βOB,(α+β=1).

      點P2在陰影部分中,由O,P,P2三點共線知,OP2=λOP,

      且λ=OP2OP>1,所以O(shè)P2=λOP=λαOA+λβOB,

      因此系數(shù)和λa+λb=λ(α+β)=λ>1所以只能選①②.

      同理可得,當點P1線段OP上時,則OP1=μOP=μαOA+μβOB,μ<1,所以系數(shù)之和小于1.

      將此題進行推廣,當點P取在直線AB上時,OP=xOA+yOB,則x+y=1;當點O,P位于直線AB的兩側(cè)時,形成的OP=xOA+yOB,系數(shù)和x+y>1;當點O,P位于直線AB的同側(cè)時,形成的OP=xOA+yOB,系數(shù)和x+y<1.如圖5

      圖5圖6圖7

      若在AB的平行線CD上任取一點P,如圖6所示,OP=xOA+yOB,則系數(shù)和x+y等于一個常數(shù),證明如下:在直線CD上任取一點P′,線段OP,OP′交直線AB于Q,Q′,由平行線分線段成比例可知OPOQ=OP′OQ′=λ,則OP=λOQ=λαOA+λβOB,其中α+β=1,所以系數(shù)和x+y=λα+λβ=λ(α+β)=λ;同理可得OP′=OQ′=λsOA+λtOB,其中s+t=1,所以系數(shù)和x+y=λs+λt=λ;證畢.

      像這樣平行于AB的直線有無數(shù)條,筆者把這樣的直線叫做“等勢線”,由上面證明知“等勢線”上任意一點P,OP=xOA+yOB,x,y

      SymbolNC@ R,系數(shù)和x+y為定值.且點O與“等勢線”位于直線AB兩側(cè)時,系數(shù)和大于1,兩者距離越遠,系數(shù)和越大;當“等勢線”位于直線AB上時,系數(shù)和x+y=1;當點O與“等勢線”位于直線AB同側(cè)時,要分三種情況進行討論:

      ①“等勢線”位于點O與直線AB之間時,OPOQ=λ

      SymbolNC@ (0,1),則由OP=λOQ=λαOA+λβOB,其中α+β=1,所以系數(shù)和x+y=λ

      SymbolNC@ (0,1).

      ②“等勢線”位于點O,系數(shù)和x+y=0.

      ③點O位于“等勢線”與直線AB之間,如圖7,系數(shù)之和x+y=λ<0(λ為定值).

      若將上述結(jié)論用于例題1,延長AE交過點C的“等勢線”于點G,則AG=xAE+yAF,由于AG與AE共線,所以y=0,由“等勢線”概念可知,EF//CG,所以AEAG=AHAC=34,因此AG=43AE,最后λ+μ=x+y=43.

      例題2也可用“等勢線”性質(zhì)求解,系數(shù)和取得最大值時“等勢線”恰為半圓的切線,由對稱性易得C為AB的中點,連接AC,BC得四邊形OACB為平行四邊形.所以此時OC=OA+OB,系數(shù)和x+y=1+1=2.

      在此基礎(chǔ)上,筆者發(fā)現(xiàn)等勢線的運用起來非常方便,絕大部分系數(shù)之和問題可以再很短的時間內(nèi)看出結(jié)論,

      課本中的每一個例題、習(xí)題的設(shè)置都有其目的和作用.體現(xiàn)著本節(jié)知識所應(yīng)達到的能力要求,我們不僅要緊扣課本,認識到認真鉆研課本的重要性,突出課本基礎(chǔ)知識的作用突出課本例題中數(shù)學(xué)思想方法的挖掘和應(yīng)用,也要重視課本習(xí)題潛在功能的挖掘和利用,指導(dǎo)學(xué)生回歸課本,依“綱”固“本”,挖掘課本的潛在功能,對課本典型問題進行引申、推廣,發(fā)揮其應(yīng)有的作用,這與高考命題的“源于課本,高于課本”的理念是相吻合的.

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