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      2an階群的可解性

      2015-05-30 09:57:55崔雪晴
      關(guān)鍵詞:解性充分條件子群

      崔雪晴

      【摘要】為了判定2an階群的可解性,采用了群的右正則表示的方法.給出了2an階群可解的一個充分條件,即若其Sylow2-子群循環(huán),則其必可解.又給出了判定2a階群循環(huán)性的方法.得到一個判定2an階群可解性的方法.

      【關(guān)鍵詞】有限群;2an階群;可解性

      【中圖分類號】O152.1

      判定有限群的可解性是有限群論的重要問題之一.從群階的角度去研究可解性,是關(guān)鍵的研究方向.著名的FeitThompson定理已得到,奇數(shù)階群必可解.以下,在此基礎(chǔ)之上,給出了偶數(shù)階群可解的一個充分條件.首先看幾個有用的引理.

      下面來證明2an階群可解的一個充分條件.

      定理1 設(shè)G=2an,a是正整數(shù),n是奇數(shù).若G的Sylow2-子群循環(huán),則G必可解.

      證明 設(shè)P為G的Sylow2-子群,則|P|=2a.由P循環(huán)知,P中存在2a階元素u.考慮G的右正則表示R.由R(u)的定義及u為2a階元素知,R(u)的不相交輪換分解中任一輪換長為2a.又由R(u)的定義知,R(u)無不動點,因此R(u)分解為n個長為2a的輪換.從而可表成(2a-1)n個對換.于是R(u)是奇置換.即R(G)中含有奇置換.于是R(G)中所有偶置換組成指數(shù)為2的正規(guī)子群N.|N|=2a-1n.斷言:N的Sylow2-子群也循環(huán).因為N的Sylow2-子群是R(G)的2-子群,必包含于R(G)的某Sylow2-子群中,由引理3知,R(G)的Sylow2-子群循環(huán),于是N的Sylow2-子群循環(huán).由引理1及歸納假設(shè)知,N可解.R(G)/N是2階群,也可解.由引理2知,R(G)可解.由引理3知,G可解.

      【參考文獻(xiàn)】

      [1]徐明曜.有限群導(dǎo)引上冊(第二版)[M].北京:科學(xué)出版社,1999:62.

      [2]Nathan Jacobson.Basic Algebra I[M].San Francisco:W.H.Freeman and Company,1974:239.

      [3]聶靈沼.丁石孫.代數(shù)學(xué)導(dǎo)引(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2000:34-35.

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