論換元法判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

劉國(guó)發(fā)

【摘要】判斷函數(shù)的單調(diào)性有多種方法.關(guān)于復(fù)合函數(shù)，用“換元”思想，引進(jìn)新變量，對(duì)其進(jìn)行分解，利用分解后的簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性，可較易地判斷其單調(diào)性.

【關(guān)鍵詞】換元法；復(fù)合函數(shù)；單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性是討論函數(shù)性質(zhì)的核心內(nèi)容.在對(duì)函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，判斷函數(shù)的單調(diào)性，主要采用三種方法：一是對(duì)較簡(jiǎn)單的函數(shù)，直接應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的定義（求差法）；二是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，通過對(duì)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)的討論來判斷（求導(dǎo)法）；三是利用復(fù)合函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行判斷.本文擬建立“換元”思想，對(duì)復(fù)合函數(shù)引進(jìn)一個(gè)或多個(gè)新變量時(shí)的單調(diào)性的判斷方法進(jìn)行探討.

1.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷定理

判斷一個(gè)復(fù)合函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性或求出一個(gè)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間主要根據(jù)如下定理：

若u=φ（x）在M上有定義，u∈N，y=f（u）在N上有定義，則

（1）如果u=φ（x）在M上單調(diào)遞增，y=f（u）在N上單調(diào)遞增，則y=f[φ（x）]在M上單調(diào)遞增；

（2）如果u=φ（x）在M上單調(diào)遞減，y=f（u）在N上單調(diào)遞減，則y=f[φ（x）]在M上單調(diào)遞減；

（3）如果u=φ（x）在M上單調(diào)遞增，y=f（u）在N上單調(diào)遞減，則y=f[φ（x）]在M上單調(diào)遞減；

（4）如果u=φ（x）在M上單調(diào)遞減，y=f（u）在N上單調(diào)遞增，則y=f[φ（x）]在M上單調(diào)遞減.

證明：（1）任取x1，x2∈M，∵u=φ（x）在M上單調(diào)遞增φ（x1）<φ（x2），又∵y=f（u）在N上單調(diào)遞增f[φ（x1）]

由x1，x2的任意性知，y=f[φ（x）]在M上單調(diào)遞增.

從上表可看出，外層函數(shù)y=f（u）、內(nèi)層函數(shù)u=φ（x）、復(fù)合函數(shù)y=f[φ（x）]之間的增減性呈現(xiàn)出相互依存的內(nèi)在規(guī)律性：若其中任意兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性相同，則第三個(gè)函數(shù)為增函數(shù)；若其中任意兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性相異，則第三個(gè)函數(shù)為減函數(shù).此規(guī)律可簡(jiǎn)要地概括為“同增異減”.

2.定理的應(yīng)用

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷定理，對(duì)于一個(gè)復(fù)合函數(shù)y=f（x），引進(jìn)中間變量u，通過換元法將其化為簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合，且當(dāng)所選擇的數(shù)學(xué)代換式x=φ（u）及y關(guān)于u的函數(shù)y=f（u）的單調(diào)性較易判斷時(shí)，即可知道函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性.

例1 討論函數(shù)y=2x+1-x+1的單調(diào)性.

解 由1-x≥0知，函數(shù)y的定義域?yàn)椋簒∈（-∞，1].

作代換：1-x=u，（u≥0），則

x=1-u2，當(dāng)u≥0時(shí)，x=1-u2為減函數(shù).

此時(shí)，y=2（1-u2）+u+1=-2u-142+258.

（1）當(dāng)0≤u≤14時(shí)，y=-2u-142+258是增函數(shù)，

此時(shí)，0≤1-x≤116，即1516≤x≤1.

所以，當(dāng)1516≤x≤1時(shí)，函數(shù)y=2x+1-x+1是減函數(shù).

（2）當(dāng)u≥14時(shí)，y=-2u-142+258是減函數(shù)，

此時(shí)，1-x≥116，即x≤1516.

所以，當(dāng)x≤1516時(shí)，函數(shù)y=2x+1-x+1是增函數(shù).

由（1）、（2）知，函數(shù)y=2x+1-x+1的單調(diào)增加區(qū)間是x∈（-∞，1516]，單調(diào)減少區(qū)間是1516，1.

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷定理判斷函數(shù)的單調(diào)性，其具體步驟可歸納為：

（1）確定函數(shù)y=f（x）的定義域，恰當(dāng)選擇代換式x=φ（u），確定u的取值范圍，并判斷x=φ（u）的單調(diào)性；

（2）用代換式x=φ（u）將函數(shù)y=f（x）進(jìn)行換元，判斷換元后的函數(shù)y=f（u）的單調(diào)性，并根據(jù)y=f（u）關(guān)于u的單調(diào)區(qū)間確定x的取值范圍；

（3）根據(jù)x=φ（u），y=f（u）的單調(diào)性的異同，判斷y=f（x）的單調(diào)性.

【參考文獻(xiàn)】

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