申貝貝
【摘要】應(yīng)用線性回歸建立輸出量與輸入量之間的函數(shù)模型,并采用反向分析法,在確定輸出量的情況下,分析輸入量允許的偏差范圍及具體操作過程.使用拉普拉斯變換及反變換對控制系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的微分方程進(jìn)行推算,從而得出預(yù)設(shè)變量之間的函數(shù)模型,進(jìn)而為問題的解決找到突破口.
【關(guān)鍵詞】線性回歸;反向分析;拉普拉斯變換
在探索兩個量之間存在何種關(guān)系時,經(jīng)常采用的方法是,由這兩個量為有序?qū)崝?shù)對,建立它們的散點(diǎn)分布圖,通過散點(diǎn)的分布估計(jì)這兩個量之間的關(guān)系.如果散點(diǎn)分布整體上呈現(xiàn)一次線性方程的趨勢,即所統(tǒng)計(jì)的散點(diǎn)沿一條直線分布時,就可以使用線性回歸方程,建立兩變量之間的一次函數(shù)模型.在此,觀測記錄輸出水溫T和輸入量閥門旋轉(zhuǎn)角α,應(yīng)用線性回歸建立輸出量與輸入量之間的函數(shù)模型,并采用反向分析法,在確定輸出量的情況下,分析輸入量允許的偏差范圍及具體操作過程.
假設(shè)100℃的熱水和5℃的冷熱水按體積1∶1的比例混合輸出時,水溫應(yīng)在52.5℃,但因多種因素的影響,輸出水溫在55℃,此時需要調(diào)節(jié)冷水閥,增加冷水的輸入.若對照輸出水溫顯示器,發(fā)現(xiàn)在增加熱水時,水溫又降低,低于52.5℃,則應(yīng)停止增加冷水,開始調(diào)節(jié)熱水閥,增加熱水的輸入.若增加的熱水量相當(dāng)之前輸入冷水的量,很可能溫度又回復(fù)到55℃,因此為了減少反復(fù)調(diào)節(jié),在第一次輸入冷水時,就有所控制地增加冷水量,同樣,在第二次輸入熱水時,應(yīng)對照增加的冷水控制參數(shù)來控制熱水的輸入量.其中對于冷熱水的調(diào)節(jié)環(huán)節(jié),采用旋轉(zhuǎn)閥門來進(jìn)行.順時針旋轉(zhuǎn)增加熱水的輸入量,逆時針旋轉(zhuǎn)增加冷水的輸入量.因此,閥門旋轉(zhuǎn)的角度大小,直接表示輸出水溫的大小.接下來探索旋轉(zhuǎn)角α和輸出水溫T之間的關(guān)系,建立函數(shù)模型T=T(α).
旋轉(zhuǎn)角α和輸出水溫T之間的函數(shù)關(guān)系是T=a+bα(a,b為待定常數(shù)).觀察(α,T)樣本,記錄樣本點(diǎn):(α1,T1),(α2,T2),(α3,T3),…,(αn,Tn),在直角坐標(biāo)系αOT下描出每個樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖,如圖1所示.
由上述線性回歸方程和誤差e的概率分布所得到的分析結(jié)果顯示,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α在區(qū)間α--3σ,α-+3σ范圍內(nèi)取值時,獲得溫度為T的水.根據(jù)這一分析結(jié)果,設(shè)計(jì)一條反向分析思路:先確定輸出水溫目標(biāo)值T,再進(jìn)一步探索影響旋轉(zhuǎn)角α輸出區(qū)域的各種因素.將每一種因素作為自變量,建立以旋轉(zhuǎn)角α為因變量的數(shù)學(xué)模型.在此以下面的自動控制系統(tǒng)為例來說明這一設(shè)計(jì)思路.
圖 2例:編輯如圖2所示的轉(zhuǎn)速ω(或旋轉(zhuǎn)角θ)控制系統(tǒng)微分方程及各環(huán)節(jié)微分方程,分析在輸出水溫T一定的情況下,導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)角α存在取值區(qū)間[α--3σ,α-+3σ]的因素.輸入量ur經(jīng)過兩個運(yùn)算放大器和一個功率放大器,輸入電動機(jī)電壓ua和等效的電機(jī)轉(zhuǎn)軸上的負(fù)載轉(zhuǎn)矩Mc,輸出量是轉(zhuǎn)速ω(或旋轉(zhuǎn)角θ).
解題及分析:
第一,建立電動機(jī)處的微分方程,獲得輸入電壓ua關(guān)于輸出轉(zhuǎn)速ω之間的函數(shù)模型ua=f(ω).從而也可以分析轉(zhuǎn)速ω由電壓ua引起的變化函數(shù)f-1(ua).
根據(jù)系統(tǒng)的流程分析圖3,輸入量是ua,輸出量是ω,擾動量是Mc.
電動機(jī)回路方程為:ua=Ladiadt+Raia+ea.(2)
其中ea是反電勢,ea=caω.電機(jī)通電后產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩M=cmia,由牛頓定理可得機(jī)械轉(zhuǎn)動方程Jdωdt=M-Mc.經(jīng)過整理可得系統(tǒng)的微分方程為:
Ta·Tmd2ωdt+Tmdωdt+ω=Kuua-KmTadMcdt+Mc.(3)
其中Ta=LaRa,Tm=RaJcecm,Ku=1ce,Km=Racecm.
通常Ta非常小,可以忽略不計(jì),即在Ta=0時,系統(tǒng)的微分方程可以進(jìn)一步簡化為:Tmdωdt+ω=Kuua-KmMc.(4)
或者將(4)式進(jìn)一步表達(dá)成以電動機(jī)旋轉(zhuǎn)角θ為輸出的微分方程:
Tmd2θdt2+dθdt=Kuua-KmMc.(5)
這樣就進(jìn)入反向分析的第一個入口,轉(zhuǎn)速ω(或旋轉(zhuǎn)角θ)與電壓ua之間的關(guān)系,因此,下一步要尋找功率放大器之前的電路元件電壓u1,u2與ua之間的函數(shù)模型,也就是系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的微分方程.
第二,建立各環(huán)節(jié)的微分方程,通過各元件電壓的函數(shù)關(guān)系,消去中間變量,推出ω~ur之間的函數(shù)關(guān)系式.
系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的微分方程依次為ua=K1u2,u2=K2(τu1·+u1),u1=K3(ur-uf),uf=Kfω,且ur為輸入量.結(jié)合第一步中所得到的電動機(jī)的微分方程(2)式,通過消去各中間變量,推出ω~ur之間的關(guān)系式:
Tm+τK01+K0ω·+ω=K1+K0(τur·+ur)-KmMc.(6)
其中K=K1K2K3Kf,K0=K3Kf.
對(6)式使用拉普拉斯變換,推出系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(S),再利用卷積性質(zhì)求出輸出量ω在復(fù)數(shù)域的拉普拉斯變換函數(shù),最后使用拉普拉斯反變換,求出ω在時域內(nèi)的輸出函數(shù):
ω(t)=C1K(Tm-τ)Tm+τK0e1+K0Tm+τK0·t·ur-C2Km(1+K0)Tm+1+(1+τ)K0·Mc
=mect·ur+nMc.(7)
其中m=C1K(Tm-τ)Tm+τK0,n=C2Km(1+K0)Tm+1+(1+τ)K0,c=1+K0Tm+τK0.
這樣就找到反向分析的第二個入口,轉(zhuǎn)速ω(通過輸入量ur)與時間t建立起來的聯(lián)系.同時,明確輸出量ω受電源電壓輸入量ur和擾動量Mc等因素的影響.
第三,通過反饋電壓uf與輸入電壓ur形成的偏差ue=ur-uf,建立ω~ue關(guān)系式,
找出使得旋轉(zhuǎn)角α存在取值區(qū)間的原因.
反饋電壓uf與輸入電壓ur形成的偏差ue稱為系統(tǒng)偏差,通過消去各環(huán)節(jié)中間變量的方式,同樣可以建立ω~ue的函數(shù)關(guān)系式:
Tmω·+ω=KK23τue·+Kue-KmMc.(8)
在假設(shè)不存在擾動量Mc的作用下,對上式使用拉普拉斯變換,求出輸出量ω在復(fù)數(shù)域的拉普拉斯變換函數(shù),最后使用拉普拉斯反變換,求出ω在時域內(nèi)的輸出函數(shù)ω1(t)=K(τ+K3)K3Tme-tTm·ue.在只受擾動量Mc的作用下,令ue=0,對上式再次使用拉普拉斯變換,求出輸出量ω在復(fù)數(shù)域的拉普拉斯變換函數(shù),同樣使用拉普拉斯反變換,求出ω在時域內(nèi)的又一個輸出函數(shù)ω2(t)=KmMc(e-tTm-1),最后根據(jù)疊加原理確定ω(t)=c1ω1(t)+c2ω2(t),(其中c1,c2為任意常數(shù)).
結(jié)合以上結(jié)論,又由dθdt=ω,所以旋轉(zhuǎn)角θ是轉(zhuǎn)速函數(shù)ω(t)在時域上的積分,即θ=∫ω(t)dt,當(dāng)t=T時,θ(T)是一個受積分限決定的值,而α=θ(T).由于輸出量ω受電源電壓輸入量ur和擾動量Mc的影響,反饋電壓uf與輸入電壓ur形成的偏差ue=ur-uf,若假設(shè)ue=0,系統(tǒng)處于平衡狀態(tài),那么ω以一個恒常數(shù)輸出;若系統(tǒng)偏差ue不總等于0,且是關(guān)于t的函數(shù),則在ω(t)所在的時域內(nèi)總存在輸出旋轉(zhuǎn)角θ的偏差,從而導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)角α=θ(T)在[α--3σ,α-+3σ]這個區(qū)間范圍內(nèi)取值,且當(dāng)t=T時,α=θ(T)=∫ω(t)dt=∫[c1ω1(t)+c2ω2(t)]dt,由之前的分析這個積分結(jié)果是關(guān)于電源電壓輸入量ur和擾動量Mc的表達(dá)式.
因此,若期望在ue不總等于0,旋轉(zhuǎn)角α=θ(T)在[α--3σ,α-+3σ]這個區(qū)間范圍內(nèi)取值時,通過系統(tǒng)調(diào)節(jié)盡快在穩(wěn)定狀態(tài)下得到輸出量T,就需要對系統(tǒng)偏差ue進(jìn)行消除,即調(diào)節(jié)電源電壓輸入量ur的穩(wěn)定性和消除擾動量Mc.這樣就通過預(yù)設(shè)變量之間的函數(shù)模型,找出解決問題的途徑.
【參考文獻(xiàn)】
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