數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

盧江嘯

摘 要：數(shù)形結(jié)合思想屬于高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中一種常用的思想，其本身具有簡(jiǎn)便、直觀、形象等優(yōu)勢(shì)，針對(duì)集合問(wèn)題采用代數(shù)的方法來(lái)進(jìn)行解答，抑或是針對(duì)代數(shù)問(wèn)題采用集合圖形來(lái)進(jìn)行解答。通過(guò)掌握數(shù)形結(jié)合思想，能夠有效整合高中的數(shù)學(xué)知識(shí)，更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

一、數(shù)形結(jié)合思想概念分析

1.數(shù)形結(jié)合思想的概述

“數(shù)”“形”都是數(shù)學(xué)組成的重要基礎(chǔ)，數(shù)量關(guān)系當(dāng)中一般都可以采用直觀的圖像來(lái)進(jìn)行展示，而任何一個(gè)集合圖形當(dāng)中都包含著一定程度的數(shù)量關(guān)系，因此，將“數(shù)”“形”結(jié)合起來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答是一種十分重要的數(shù)學(xué)解題思想。其主要包含兩個(gè)方面的內(nèi)容，一是以形助數(shù)，二是以數(shù)解形。

2.數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化措施

從數(shù)形之間的有效轉(zhuǎn)化模式來(lái)看，其主要囊括三種，分別為通過(guò)形轉(zhuǎn)化為數(shù)、通過(guò)數(shù)轉(zhuǎn)化為形、數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化。針對(duì)通過(guò)形轉(zhuǎn)化為數(shù)的模式來(lái)看，其通常是根據(jù)已知的圖形，經(jīng)過(guò)認(rèn)真地分析以后，將圖像當(dāng)中隱藏的各種數(shù)量與相關(guān)性造出來(lái)，使得幾何圖形的相關(guān)屬性能夠通過(guò)數(shù)的方式反映出來(lái)。針對(duì)通過(guò)數(shù)轉(zhuǎn)化為形的模式來(lái)看，其通常是根據(jù)問(wèn)題當(dāng)中所給出的各種假設(shè)，將與之對(duì)應(yīng)的圖形描繪出來(lái)，在圖形當(dāng)中體現(xiàn)對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，最終揭示數(shù)與形之間的本質(zhì)。針對(duì)數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化模式來(lái)看，其主要是充分利用數(shù)與形的相互對(duì)立統(tǒng)一特點(diǎn)，來(lái)針對(duì)圖形的形狀進(jìn)行觀察，針對(duì)數(shù)與式子之間的結(jié)構(gòu)實(shí)施研究，從中進(jìn)行對(duì)應(yīng)的聯(lián)想，進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化，把原本空洞、抽象的內(nèi)容轉(zhuǎn)變成形象、直觀的內(nèi)容。

二、數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)解題中的實(shí)例分析

1.數(shù)形結(jié)合思想在集合解題中的運(yùn)用

集合屬于高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的基本知識(shí)，是掌握其他數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ)。而集合無(wú)論是在交集、補(bǔ)集以及并集等各個(gè)內(nèi)在關(guān)系方面，抑或是其外在表達(dá)式方面，都包括了圖形的重要意味，數(shù)形結(jié)合思想在集合解題當(dāng)中具有十分重要的作用。

例：假設(shè)存在兩個(gè)集合依次為M={（x，y）︳x2+y2=1，x∈R，y∈R}， N={（x，y）︳x2-y=0，x∈R，y∈R}，

則集合M∩N當(dāng)中的元素個(gè)數(shù)為幾個(gè)？

答案：2個(gè)。

分析，一般來(lái)說(shuō)，倘若選擇單純的數(shù)量關(guān)系解題方法，為以下解題思路：x2+y2=1，x2-y=0兩個(gè)方程通過(guò)聯(lián)立產(chǎn)生方程組，解答之后，獲得x4+x2-1=0，雖然這種方法也能夠獲得x的值，并以此來(lái)計(jì)算y的值，但這種解題思路的步驟較為復(fù)雜，所消耗的時(shí)間相對(duì)較多。而通過(guò)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，在反復(fù)審題之后能夠獲得x2+y2=1能夠表示圓，x2-y=0則能夠表示拋物線，就能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)變成為x2+y2=1表示的圓與x2-y=0表示的拋物線之間存在幾個(gè)交點(diǎn)。通過(guò)數(shù)形結(jié)合的模式，能夠通過(guò)繪圖直觀得到答案，避免了過(guò)于復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程。

2.數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)解題中的運(yùn)用

函數(shù)同樣是高中數(shù)學(xué)中需要掌握的重要知識(shí)，其基本上貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，由于函數(shù)本身涉及的內(nèi)容較為廣泛，并且理論性與抽象性相對(duì)較高，學(xué)習(xí)難度也相對(duì)較高。然而函數(shù)本身不但具有對(duì)應(yīng)的表達(dá)式，同時(shí)還具有匹配的圖像，通過(guò)圖形，通常可以有效解決許多依靠數(shù)學(xué)計(jì)算難以解決的問(wèn)題。

例：方程sin2x=sinx在區(qū)間x∈（0，2π）內(nèi)的解的個(gè)數(shù)為多少？

答案：3個(gè)。

分析，倘若選擇單純的數(shù)學(xué)解題方法為以下解題思路：sin2x=2sinxcosx= sinx，得出2cosx=1，再通過(guò)題目已知x∈（0，2π），得出答案為3個(gè)。雖然通過(guò)單純的數(shù)學(xué)計(jì)算方法也能夠得出答案，然而該方法需要一次進(jìn)行計(jì)算，在解答的過(guò)程中可能會(huì)因?yàn)槭韬鰧?dǎo)致結(jié)果遺漏。而采用數(shù)形結(jié)合思想，先把兩個(gè)三角函數(shù)的圖像在相同坐標(biāo)系當(dāng)中分別繪出來(lái)。而通過(guò)認(rèn)真觀察兩個(gè)三角函數(shù)的圖像，能夠得到答案為3個(gè)。

三、結(jié)語(yǔ)

數(shù)形結(jié)合思想屬于高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中應(yīng)用最為廣泛，也是最為重要的方法之一，是把數(shù)學(xué)問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)的重要方法。作為高中生，必須要充分掌握數(shù)形結(jié)合思想，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中進(jìn)行反復(fù)的練習(xí)與實(shí)踐，才能為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]周寶瑞.淺析數(shù)學(xué)語(yǔ)言能力在高中數(shù)學(xué)解題中的重要性[D].開(kāi)封：河南大學(xué)，2014.

[2]劉智娟.注重高中數(shù)學(xué)解題中的“四大法寶”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（23）： 67—68.

（作者單位：湖南省安化縣第二中學(xué)）