墻明

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

利用軸對稱研究某些最短路徑問題

2.內(nèi)容解析

最短路徑問題在現(xiàn)實生活中經(jīng)常遇到，初中階段主要以“兩點之間，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”為基礎(chǔ)知識，有時還要借助軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進行研究。

本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個經(jīng)典問題——“將軍飲馬問題”為載體開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點是：利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.教學(xué)目標(biāo)

能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變換在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，進一步獲得數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，增強應(yīng)用意識。

2. 教學(xué)目標(biāo)解析

學(xué)生能將實際問題中的“地點”“河”抽象為數(shù)學(xué)中的“點”“線”，把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題;能利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題;能通過邏輯推理證明所求距離最短;在探索最短路徑的過程中，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想。

三、教學(xué)問題診斷分析

最短路徑問題從本質(zhì)上說是極值問題，作為八年級的學(xué)生，在此之前很少接觸，解決這方面問題的經(jīng)驗尚顯不足，特別是面對具有實際背景的極值問題，更會感到陌生，無從下手。

對于直線異側(cè)的兩點，怎樣在直線上找到一點，使這一點到這兩點的距離之和最小，學(xué)生很容易想到連接這兩點，所連線段與直線的交點就是所求的點。但對于直線同側(cè)的兩點，如何在直線上找到一點，使這一點到這兩點的距離之和最小，一些學(xué)生會感到茫然，找不到解決問題的思路。

在證明“最短”時，需要在直線上任取一點（與所求作的點不重合），證明所連線段和大于所求作的線段和，學(xué)生想不到，不會用。

教學(xué)時，教師可從“直線異側(cè)的兩點”過渡到“直線同側(cè)的兩點”，為學(xué)生搭建“腳手架”。在證明“最短”時，教師可告訴學(xué)生，證明“最大”“最小”這類問題，常常要另選一個量，通過與求證的那個“最大”“最小”的量進行比較來證明。由于另取的點具有任意性，所以結(jié)論對于直線上的每一點（C點除外）都成立

本節(jié)課的教學(xué)難點是：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題。

四、教學(xué)過程設(shè)計

1.創(chuàng)設(shè)問題情境

問題1 ? 有一天，一位將軍要從山峰A處出發(fā)，到河邊飲馬，然后到B地，請問到河邊什么地方飲馬可使他所走的路程最短？（圖片略）

師生活動：學(xué)生回答，連接AB，線段AB與l的交點即為最佳飲馬點。

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生感受“兩點之間，線段最短”，為把“同側(cè)的兩點”轉(zhuǎn)化為“異側(cè)的兩點”做鋪墊。

2.將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題

問題2 相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學(xué)者，名叫海倫。有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：

從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B 地。到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？

精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題。這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”.

你能將這個問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？（圖片略）

師生活動：學(xué)生嘗試回答，并相互補充，最后達成共識：（1）將A，B 兩地抽象為兩個點，將河l 抽象為一條直線;（2）在直線l上找到一點C，使AC與BC的和最??？

【設(shè)計意圖】學(xué)生通過動手操作，在具體感知軸對稱圖形特征的基礎(chǔ)上，抽象出軸對稱圖形的概念。

3.解決數(shù)學(xué)問題（略）

4.證明AC +BC “最短”（略）

5.例題講解（略）

6.歸納小結(jié)

教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題。

（1）我們本節(jié)課解決了什么問題？主要用到了什么數(shù)學(xué)知識？

（2）我們運用了什么數(shù)學(xué)思想呢？

師生活動：教師引導(dǎo)，學(xué)生小結(jié)。

【設(shè)計意圖】：引導(dǎo)學(xué)生把握研究問題的基本策略和方法，體會軸對稱在解決最短路徑問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想的重要價值。

7.布置作業(yè)