趙偉紅

【摘要】為適應(yīng)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué).數(shù)學(xué)思維的教學(xué)要以全新的理念、新的框架結(jié)構(gòu)、內(nèi)容體系和教學(xué)方式來實施.對學(xué)生的思維訓(xùn)練是一個個PDCA循環(huán)環(huán)環(huán)相套，不斷鞏固提高的過程.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思維;PDCA循環(huán);思維能力

PDCA是最早由美國質(zhì)量統(tǒng)計控制之父Shewhat（休哈特）提出的PDS（Plan Do See）演化而來，由美國質(zhì)量管理專家戴明改進成為PDCA模式，所以又稱為“戴明環(huán)”.它是一種有四個質(zhì)量控制階段的企業(yè)管理方式.PDCA由英語單詞Plan、Do、Check和Action的首字母組成，其代表的意義如下：P（計劃），針對需求，確定企業(yè)質(zhì)量目標(biāo)和開展工作計劃.D（執(zhí)行），執(zhí)行就是具體運作，實現(xiàn)計劃中的內(nèi)容.C（檢查），檢測執(zhí)行效果，汲取經(jīng)驗，勘探錯誤;明確原因，找出問題.A（處理或糾正），對檢查的結(jié)果進行總結(jié)，成功的經(jīng)驗予以肯定，對失敗的教訓(xùn)予以總結(jié)，避免重現(xiàn)，對未解決的問題轉(zhuǎn)到下一個循環(huán)解決.

PDCA循環(huán)理論同樣的在數(shù)學(xué)教學(xué)中也適用.數(shù)學(xué)教學(xué)作為一種思維教育、素質(zhì)教育，它的靈魂和核心就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.因此，如何通過教學(xué)培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，是每一位數(shù)學(xué)教師必須認(rèn)真思考的問題.筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)思維教學(xué)中應(yīng)當(dāng)鼓勵學(xué)生提出不同看法，并引導(dǎo)學(xué)生積極思考和自我鑒別.對數(shù)學(xué)思維的教學(xué)要以全新的理念、新的框架結(jié)構(gòu)、內(nèi)容體系和教學(xué)方式來實施.本文僅通過一個數(shù)學(xué)問題的設(shè)計與教學(xué)，粗略談?wù)凱DCA循環(huán)理論在數(shù)學(xué)思維教學(xué)中的應(yīng)用.

一、計劃階段，制訂探究計劃

例：已知x，y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范圍？

首先設(shè)置兩個問題情境，形成初步探究方案.

①對于x+y=1能聯(lián)系到哪些相關(guān)的知識呢？

②對于x2+y2應(yīng)該怎么與x+y=1銜接呢？

二、執(zhí)行階段，按計劃實施探究

通過思考，首先有學(xué)生給出了下面的解法：

解：由x+y=1得y=1-x，則x2+y2= x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2x-122+12.

由于x∈[0，1]，根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)知：

當(dāng)x=12時，x2+y2取最小值12;當(dāng)x=0或1時，x2+y2取最大值1.

對于二元或多元函數(shù)的最值問題，往往是通過變量替換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來解決，這是一種基本的數(shù)學(xué)思想方法，很多同學(xué)都采取了這種一般的解法.

三、檢查階段，勘探問題

詩曰：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同.不識廬山真面目，只緣身在此山中.”因此，要促進學(xué)生主動調(diào)整自己的思維，換個角度看問題，提出不同的看法.看能否有更加簡單易行的解題辦法.通過討論思考學(xué)生給出如下解法：

1.利用三角換元的思想

解 由于x+y=1，x，y≥0，則可設(shè) x=cos2θ，y=sin2θ，其中θ∈0，π2，則x2+y2= cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2-2 cos2θsin2θ =1-12（2sinθcosθ）2=1-12sin22θ=1-12×1-cos4θ2=34+14cos4θ.

于是，當(dāng)cos4θ=-1時，x2+y2取最小值12; 當(dāng)cos4θ=1時，x2+y2取最大值1.

2.運用基本不等式

解 由于x、y≥0且x+y=1，則 xy≤（x+y）24=14，從而0≤xy≤14.于是，x2+y2=（x+y）2-2xy=1-2xy.所以，當(dāng)xy=0時，x2+y2取最大值1;當(dāng)xy=14時，x2+y2取最小值12.

3.利用解析幾何的思想

解 設(shè)d=x2+y2，則d為動點C（x，y）到原點（0，0）的距離，于是只需求線段x+y=1

x≥0

y≥0上的點到原點的最大和最小距離就可.

當(dāng)點C與A或B重合時，dmax=1，則（x2+y2）max=1;

當(dāng)OC⊥AB時，dmin=22，則（x2+y2）min=12.

思想出智慧，智慧生妙解，妙解令人陶醉.經(jīng)過對問題的勘探，學(xué)生把此題做得美輪美奐.他們都沉浸在成功的喜悅之中，課堂氛圍推向高潮，極大地提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

四、處理階段，引領(lǐng)螺旋式探究

《西游記》中孫悟空神通廣大，能八九七十二變.好的數(shù)學(xué)題也會有一些“變式”.學(xué)生掌握了解決此問題的方法，接下來把問題上升高度拋出新的問題.

已知x，y≥0，且x+y=1，求x3+y3的最值？x4+y4呢？

依據(jù)前面的解題方法，學(xué)生順利地解決了此問題.筆者又一次設(shè)疑這個問題是否能推廣到一般的情況呢？以便引領(lǐng)螺旋式探究，于是把問題改編為如下：

若x，y≥0且x+y=1，能求得12n-1≤xn+yn≤1的結(jié)論嗎？

這個問題由于學(xué)生所學(xué)知識的欠缺沒能證明出來，但是我們可以進入下一個循環(huán)解決.至此整個問題經(jīng)過了一個完整的PDCA循環(huán).這是一個由特殊性逐步一般化的思維過程，加強了學(xué)生思維能力的培養(yǎng).

PDCA循環(huán)理論的四個階段不是一蹴而就，有其周而復(fù)始及螺旋式上升的特點.它強調(diào)了學(xué)生在探究過程中的思維建構(gòu)過程，指明了學(xué)生思維建構(gòu)的層次性，為數(shù)學(xué)課堂思維教學(xué)提供了新的視角.