肖滿生，肖 哲，文志強(qiáng)，于惠鈞

（1．湖南工業(yè)大學(xué)科技學(xué)院，湖南株洲412008；2．湖南工業(yè)大學(xué)計算機(jī)與通信學(xué)院，湖南株洲412008）

模糊C均值聚類區(qū)間型模糊化參數(shù)模型

肖滿生1，2，肖 哲1，文志強(qiáng)2，于惠鈞1

（1．湖南工業(yè)大學(xué)科技學(xué)院，湖南株洲412008；2．湖南工業(yè)大學(xué)計算機(jī)與通信學(xué)院，湖南株洲412008）

針對經(jīng)典模糊C均值聚類算法中模糊加權(quán)指數(shù)對聚類的影響及其取值范圍不確定性問題，提出了一種區(qū)間型模糊加權(quán)指數(shù)的設(shè)計模型。分析該模型設(shè)計的理論依據(jù)及對聚類結(jié)果的影響，推導(dǎo)出包括模糊隸屬度劃分矩陣、模糊聚類中心等基于該模型的模糊化參數(shù)表示方法。理論分析和實驗證明，區(qū)間型模糊化參數(shù)模型的設(shè)計在基于模糊劃分的數(shù)據(jù)處理中取得了很好的效果。

模糊C均值；區(qū)間型模糊加權(quán)指數(shù)；模糊化參數(shù)；不確定性

0 引 言

經(jīng)典的模糊C均值（fuzzy C-means，F(xiàn)CM）聚類是一個基于目標(biāo)函數(shù)的帶約束的非線性規(guī)劃過程，通過對參數(shù)的優(yōu)化求解獲得樣本集的模糊劃分或聚類，該方法及其改進(jìn)技術(shù)在信息技術(shù)和控制決策等領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用，如圖像處理［12］、模式識別［3］、數(shù)據(jù)挖掘［4］、模糊決策［5］等。

然而，隨著研究深入，經(jīng)典的FCM聚類算法在實際應(yīng)用過程中還要受到諸多限制，相關(guān)理論也有待進(jìn)一步完善。如在處理不確定性問題時，經(jīng)典的FCM算法對樣本的劃分有明確的隸屬度約束，這類算法叫1型FCM（1-TFCM）［6］；而客觀世界在對樣本進(jìn)行分析和模式識別時存在各種各樣的不確定性，因此，如果合理地給出樣本隸屬度的模糊程度，即樣本的模糊隸屬度，則更能恰當(dāng)?shù)孛枋黾系哪：?，這種改進(jìn)的FCM算法叫2型FCM算法（2-TFCM），在這方面，文獻(xiàn)［6- 9］取得了一定的研究成果。另外，在研究圍［1．1，5］以后，文獻(xiàn)［11- 14］進(jìn)行了大量研究。文獻(xiàn)［11］從聚類有效性實驗中得到m的最佳區(qū)間為［1．5，2．5］；文獻(xiàn)［12］基于模糊決策提出了一種m值的優(yōu)選方法；文獻(xiàn)［13］通過在標(biāo)準(zhǔn)FCM的隸屬度μik的約束條件中引入冪指數(shù)r，提出一種雙指數(shù)模糊C均值算法（double index fuzzy C-mean，DI-FCM），該算法在理論上有效地擴(kuò)展了m的取值范圍；文獻(xiàn)［14］從粒子群優(yōu)化的角度，得到了一個模糊加權(quán)指數(shù)值，并由此解釋了FCM聚類對初始聚類中心敏感的問題。這些方法對模糊加權(quán)指數(shù)m的確定都是憑經(jīng)驗或?qū)嶒炦M(jìn)行，缺乏理論依據(jù)和有效的評價方法。另外，文獻(xiàn)［9］通過α-平面截集描述模糊集，可以得到m值的設(shè)計與具體聚類樣本集有關(guān)，但其精確選取是非常困難也是不可能的。

基于此，本文在分析現(xiàn)有的FCM聚類及其改進(jìn)算法的模糊化參數(shù)過程中，模糊加權(quán)指數(shù)m是FCM聚類算法中重要參數(shù)，其直接影響到聚類結(jié)果的不確定性程度。在實際應(yīng)用過程中，自文獻(xiàn)［10］引入并給出m經(jīng)驗值范基礎(chǔ)上，受文獻(xiàn)［15- 17］中改進(jìn)的FCM聚類特點和模糊化參數(shù)設(shè)計啟發(fā)，包括模糊隸屬度函數(shù)的設(shè)計與評價、模糊聚類中心及聚類數(shù)目的確定、樣本與聚類中心的距離計算等，提出了一種區(qū)間型FCM聚類模糊化參數(shù)設(shè)計模型。即首先通過分析模糊加權(quán)指數(shù)的不確定性及其對聚類的影響，提出了區(qū)間型模糊加權(quán)指數(shù)m的設(shè)計方法，基于區(qū)間型模糊加權(quán)指數(shù)，推導(dǎo)出模糊隸屬度、模糊聚類中心（質(zhì)心）的設(shè)計方法，通過“反模糊化”后得到確定的模糊化參數(shù)，并將該方法應(yīng)用于圖像分割、模式識別等實驗。理論分析和實驗對比表明，本文提出的FCM模糊化參數(shù)模型不但改善了FCM算法的聚類性能，提高了樣本劃分的效率，而且對模糊聚類算法的進(jìn)一步研究和拓展有很好的指導(dǎo)意義。

1 模糊加權(quán)指數(shù)的不確定性分析與設(shè)計

FCM聚類目標(biāo)函數(shù)為

該目標(biāo)函數(shù)中，模糊加權(quán)指數(shù)m控制著樣本在類間的分享程度。理論分析和實際應(yīng)用表明，隨著m的增加，聚類的目標(biāo)函數(shù)值單調(diào)下降，這與最小化目標(biāo)函數(shù)的思想一致，而且較大的m還有平滑聚類結(jié)果、抑制噪聲的功能，但是，參數(shù)m還控制著FCM聚類結(jié)果的模糊性，m越大，聚類結(jié)果越模糊，模糊邊界越大，從這個角度來說，又希望m取值不要太大。因此，合理的m值應(yīng)該取多少，一直是FCM聚類中備受關(guān)注的問題。

m取值的不確定性及對聚類結(jié)果的影響可用圖1、圖2表示。

圖1 劃分類容量相近時參數(shù)m對模糊聚類的影響

圖1 中，C1、C2是兩劃分類，v1、v2分別為兩劃分類的聚類中心，兩劃分類之間的垂直平分豎線（陰影區(qū)域）為其模糊邊界，也叫決策邊界，位于邊界左側(cè)（右側(cè)）的樣本歸屬于類C1（C2），而位于邊界上的數(shù)據(jù)樣本則對于類C1（C2）有相同的隸屬度，其所歸屬某類的程度非常模糊。圖1中，對于容量相近的兩劃分類，當(dāng)m＝1時，其模糊邊界是一條直線，由于邊界區(qū)域很窄，當(dāng)受到噪聲等不確定因素影響時，邊界（豎線）附近的樣本很容易產(chǎn)生錯誤劃分的情況，如圖1（a）所示；隨著取值的增大，模糊邊界將變寬，如圖1（b）中的陰影部分所示，邊界的擴(kuò)展可將更多不確定的數(shù)據(jù)點納入模糊邊界中，使其具有相同的隸屬度，以便減小聚類中心更新時不確定因素的影響；當(dāng)m進(jìn)一步擴(kuò)大，使模糊邊界擴(kuò)展到圖1（c）所示的位置時，此時的邊界區(qū)域最為理想，劃分結(jié)果最為明晰，此時除了劃分類C1、C2之間的樣本（全位于邊界區(qū)域）外，其余樣本都有明晰的歸屬類；然后，當(dāng)m進(jìn)一步擴(kuò)大，以致m→∞時，模糊邊界充滿全域，如圖1（d）所示，此時模糊化程度達(dá)到最大，所有樣本的隸屬度（c為劃分類數(shù)目），因而FCM算法失去了劃分特性。

圖2 劃分類容量不同時參數(shù)m對模糊聚類的影響

上述是兩劃分類容量相等或相近的情況，對于劃分類容量不同的樣本，當(dāng)m取某一定值時，模糊邊界如圖2（a）所示，這時，本來屬于劃分類C2中的樣本卻歸屬到模糊邊界，而左邊模糊邊界之外的本不歸屬于劃分類C1的樣本則被劃到類C1中，這樣的模糊邊界不理想，模糊聚類的不確定性高，如果能針對不同的劃分類容量設(shè)計不同的參數(shù)m，使模糊邊界達(dá)到一個理想?yún)^(qū)域，如圖2（b）所示，這時，在保證每個聚類中心v1、v2與豎線的距離（位置）不變的情況下，所有樣本數(shù)據(jù)都有較理想的隸屬度，即除了模糊邊界（兩劃分類之間）的樣本外，其余樣本都能較好地歸屬于相應(yīng)的類，這種情況下，模糊聚類的準(zhǔn)確性有很大的提高。

針對上述模糊加權(quán)指數(shù)m取值的不確定性及對不同容量的劃分類的模糊聚類影響，將模糊加權(quán)指數(shù)區(qū)間化，即設(shè)計一模糊區(qū)間：m＝［m1，m2］，其中m1、m2分別對應(yīng)于較小、較大容量差異的劃分類，這樣，當(dāng)劃分類容量不同時的樣本進(jìn)行聚類分析時，根據(jù)最大、最小劃分類設(shè)計的區(qū)間模糊加權(quán)指數(shù)求取樣本的隸屬度，并確定聚類中心，這樣能顯著改善聚類性能，同時也降低了模糊加權(quán)指數(shù)設(shè)計的不確定性。

2 FCM聚類模糊化參數(shù)模型

本節(jié)根據(jù)第1節(jié)所提出的區(qū)間型模糊加權(quán)指數(shù)，設(shè)計并推導(dǎo)FCM聚類中其他模糊化參數(shù)模型，并通過“反模糊化”得到具體的聚類參數(shù)，包括模糊隸屬度、模糊聚類中心等。

2.1 區(qū)間型模糊隸屬度及聚類中心計算模型

隸屬度是FCM聚類中的重要參數(shù)，它直接反映某一樣本隸屬于某一劃分類的程度，在第1節(jié)中，當(dāng)模糊加權(quán)指數(shù)被設(shè)計為區(qū)間型參數(shù)后，相應(yīng)的模糊隸屬度也可以設(shè)計為區(qū)間型參數(shù)，即為形式，其中表示樣本xi對于劃分類j的最小隸屬度；ˉμj（xi）為最大隸屬度。以圖2中的v1和v2連線之間的一維樣本為例，設(shè)v1＝0，v2＝1，則樣本集X∈［0，1］，取模糊加權(quán)指數(shù)m1＝2.0，m2＝4，則基于區(qū)間型指數(shù)［m1，m2］的樣本集X對于劃分類C1的隸屬度表示形式如圖3所示。

圖3 模糊隸屬度的區(qū)間型表示方法

圖3 中參數(shù)m1和m2所對應(yīng)的隸屬度曲線所包含的陰影部分即為樣本的區(qū)間型隸屬度。參考經(jīng)典FCM聚類的隸屬度計算方法，區(qū)間型隸屬度計算模型設(shè)計為

當(dāng)用式（1）和式（2）來更新FCM聚類中心時，必然也將得到一個區(qū)間型聚類中心，設(shè)某一區(qū)間型聚類中心為，根據(jù)經(jīng)典FCM聚類中心更新的推導(dǎo)方法，區(qū)間型聚類中心表示為

式中，J1，J2，…，Jn為樣本隸屬度區(qū)間，即分別為聚類中心的左邊界值和右邊界值（即最大值和最小值），模糊加權(quán)指數(shù)m根據(jù)式（1）和式（2）可以在m1、m2之間變換，至于怎樣推導(dǎo)并得到該公式可參考文獻(xiàn)［10］，此處不再贅述。

2.2 區(qū)間型參數(shù)的反模糊化處理

區(qū)間型模糊化參數(shù)的設(shè)計使得模糊聚類更能表達(dá)聚類的不確定性需求和人們對于事務(wù)判斷的意愿。然而，在實際應(yīng)用過程中，卻遇到了很大的困難：一是區(qū)間型參數(shù)的存在使得聚類更為模糊，對一些需要明確劃分的類增加了其不確定性程度；二是基于區(qū)間型參數(shù)的模糊劃分，其計算復(fù)雜度增加，特別對于大量的高維（多屬性）樣本集，其計算的復(fù)雜度將線性增長?；诖?，本文設(shè)計了區(qū)間型參數(shù)的反模糊化處理方法，使得模糊聚類既能很好表達(dá)聚類的不確定程度，又能方便計算，實現(xiàn)類別的客觀劃分，兩者得兼。

第2.1節(jié)中式（3）只是區(qū)間型聚類中心表示形式。在實際應(yīng)用中，我們必須事先確定其左、右邊界值vLj和vRj，當(dāng)和確定后，可以利用式（4）進(jìn)行反模糊化，得到確定的聚類中心vj。

區(qū)間型聚類中心右邊界vRj確定算法如下：

設(shè)樣本集X包含n個樣本x1，x2，…，xn，每一個樣本由M維屬性組成，即xi＝（xi1，xi2，…，xiM），通過對所有樣本的M個屬性分別進(jìn)行升序排序后計算，得到樣本集聚類中心的右邊界（即聚類中心的最大值），具體描述如下：

給定加權(quán)指數(shù)m一個任意區(qū)間，即m＝［m1，m2］；

FOR

所有樣本xi＝（xi1，xi2，…，xiM）；

END FOR

用式（5）和式（6）計算樣本集的M維聚類中心v′j＝（v′j1，v′j2，…，v′jM）；

對n個樣本的M維特征，分別進(jìn)行升序排序，即

設(shè)一比較判斷變量com＝F；

FOR

所有樣本屬性

WHILE（com＝F）

查找一個索引值k（1≤k≤n－1），使得xkl＝v′jl＝x（k＋1）l（1≤l≤M）；FOR所有樣本

如果i≤k，則μj（xi）＝μj（xi），

END FOR

用更新的μj（xi）重新計算某一維聚類中心v′jh′（1≤l′≤M）；

如果v′jh＝＝v′jh′，則com＝T，否則設(shè)v′jh＝v′jh′

END WHILE

END FOR

最后，得到的v′jh為所求，即vRj＝（v′j1，v′j2，…，v′jM）。

上面算法得到了聚類中心的右邊界vRj，對于左邊界，只要對“FOR所有樣本”語句進(jìn)行修改即可。

FOR所有樣本

END FOR

從上述算法中，確定樣本隸屬度函數(shù)，可以通過反模糊化來實現(xiàn)：假設(shè)在計算聚類中心vRj時的隸屬度函數(shù)為則樣本xi最終模糊化隸屬度可以設(shè)置為時為

考慮到樣本xi是由M維屬性組成，因此和可由式（8）和式（9）來計算。

至于式（8）和式（9）中的μj（xi）的取值，采用的是還是可根據(jù)情況進(jìn)行交換。

3 基于區(qū)間型模糊化參數(shù)的FCM聚類

有了第2節(jié)的模糊化參數(shù)定義，改進(jìn)FCM聚類實現(xiàn)過程如下：

步驟1 給定聚類類別數(shù)c及區(qū)間型模糊加權(quán)指數(shù)［m1，m2］，n為數(shù)據(jù)集樣本總數(shù)，設(shè)定迭代停止閾值為ε，迭代次數(shù)計數(shù)器t＝0；

步驟2 初始化聚類中心v（l）；

步驟3 根據(jù)第2.1節(jié)中的式（1）和式（2）分別得到隸屬度區(qū)間的上下邊界值，即和

步驟5 利用第2.2節(jié)中提出的反模糊化公式（4），確定實際的模糊聚類中心v（t＋1）；

步驟6 如果‖v（t＋1）－v（t）‖＜ε，則停止迭代，輸出聚類中心v（t＋1），轉(zhuǎn)步驟7，否則t＝t＋1，根據(jù)新的v（t＋1），返回步驟3，繼續(xù)；

步驟7 根據(jù)步驟6得到的模糊聚類中心以及由此確定的區(qū)間型模糊隸屬度，對區(qū)間型模糊隸屬度進(jìn)行反模糊化處理，即μ＝（μL＋μR）／2，得到最后的模糊劃分隸屬度矩陣，再按最大隸屬度原則得到聚類結(jié)果。

4 實驗結(jié)果分析

為了驗證本文提出區(qū)間型模糊化參數(shù)模型的有效性，引入了如下評價指標(biāo)：

劃分系數(shù)vpc?；谀：齽澐志仃嚨膭澐窒禂?shù)表示為

式中，n為樣本數(shù)量；c為聚類數(shù)；μij∈［0，1］為樣本xi相對于劃分類j的隸屬度，樣本的隸屬度越大，即μij越大，劃分系數(shù)越大，聚類效果越好。

劃分熵vpe。其表示為

從式（11）中可看出，μik越大，則vpe值越小，故劃分熵越小，聚類效果越好。

劃分類內(nèi)部均勻性測度（uniformity measure，UM）評判函數(shù)。該評判函數(shù)用來評價各劃分類內(nèi)部樣本分布均勻的程度，其定義為

式中，Ri表示第i個劃分類（劃分區(qū)域）；Ai為該劃分類的樣本個數(shù)；N為歸一化系數(shù)，本文可設(shè)為樣本總數(shù)。從式（12）可分析出，劃分類內(nèi)部樣本分布越均勻，即樣本xk與內(nèi)部其他樣本相差越小，則UM值越小，因此，UM反映了各類樣本內(nèi)部分布均勻性的程度。

實驗1 圖像分割實驗

圖4（a）為圖像處理中常用的圖像Camera man（128× 128），對其進(jìn)行分割實驗。同時為了比較實驗效果，采用經(jīng)典的FCM聚類算法與本文提出的基于區(qū)間型模糊化參數(shù)模型的FCM（interval-FCM，IFCM）方法進(jìn)行對比分割。由于經(jīng)典FCM算法本身無法自動獲取分類數(shù)目，因此采用讀入圖像灰度直方圖的方法獲取聚類數(shù)c及初始聚類中心v。經(jīng)典FCM算法m＝2．0，IFCM算法選擇m1＝1．5，m2＝4．0。算法共進(jìn)行了50次迭代。實驗環(huán)境：Visual C＋＋6．0編程，操作系統(tǒng)Windows 7，Dell Precision M4500，Intel Core i7 CPU，8G RAM。實驗將圖像按灰度不同分成人物、草地、天空3類。分割實驗結(jié)果如圖4（b）和圖4（c）所示，實驗中各評價參數(shù)對比如表1所示，其中time為實驗中計算耗時。

圖4 Cameraman圖像分割結(jié)果

表1 Cameraman圖像分割效果比較

從實驗中可以看出，對于評價指標(biāo)vpe，IFCM＞FCM，對于評價指標(biāo)vpe及UM，IFCM＜FCM，因此，本文提出的IFCM方法在圖像分割中其應(yīng)用效果要比經(jīng)典的FCM算法好。但本文提出的方法其計算的時間復(fù)雜度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過經(jīng)典FCM算法。

實驗2 人造數(shù)據(jù)劃分

一個干凈無噪聲的人造實驗樣本數(shù)據(jù)集如圖5（a）所示，由一大兩小的3類樣本子集組成，采用高斯分布的隨機(jī)向量發(fā)生器產(chǎn)生，其主要參數(shù)如表2所示。另外，以此樣本集為基礎(chǔ)，在其中不斷增加均勻分布的噪聲點來進(jìn)行實驗，每次增加30個，共進(jìn)行11次，最后一次噪聲點數(shù)目達(dá)到300個。采用3種方法進(jìn)行實驗：①經(jīng)典FCM算法取m＝1．5；②經(jīng)典FCM算法取m＝4．0；③本文方法IFCM取區(qū)間型m＝［2．0，5．0］。為了評價在加權(quán)指數(shù)m取不同值時，該樣本集中劃分類大小非均衡的聚類性能，各次實驗中采用均勻性測度值UM進(jìn)行比較，實驗中UM比較曲線如圖6所示。

圖5 人造樣本數(shù)據(jù)集

表2 無噪聲人造樣本集的主要參數(shù)

圖6 各次實驗中UM值比較

從圖5可以看出，在無噪聲干擾的情況下，各種方法劃分的效果都比較好，隨著噪聲增加，實驗中U M值不斷增加，表明實驗效果變差。另外，在各次實驗中，總體情況IFCM算法的UM值比其他兩種FCM測試方法所得到的UM值要小（除test case1中其UM值高于FCM m＝1．5的情況外），表明區(qū)間型模糊參數(shù)化方法的聚類效果要比經(jīng)典FCM算法中模糊加權(quán)指數(shù)m取單一值的聚類效果好，特別是在模糊劃分類大小分布不均衡的情況下。

實驗3 IRIS數(shù)據(jù)分類實驗

本次實驗采用文獻(xiàn)［18］中提供的標(biāo)準(zhǔn)測試數(shù)據(jù)IRIS，它由四維空間的150個樣本組成，共有3個類（c＝3），每一個類50樣本，所有劃分類大小相等。對比實驗中，經(jīng)典FCM算法模糊加權(quán)指數(shù)分別取m1＝1.5、m2＝2．5，IFCM方法中取m1＝2.0、m2＝4．0組成區(qū)間值［2．0，4．0］，實驗環(huán)境與實驗1中一致，實驗中聚類中心和隸屬度更新迭代次數(shù)為50次，實驗評價指標(biāo)除了劃分系數(shù)vpc、模糊劃分熵vpe、均勻性測試度UM以及計算耗時time外，還增加了錯分樣本數(shù)（error）及錯分率（error ratio），實驗結(jié)果如表3所示。

表3 IRIS樣本聚類結(jié)果比較

從表3可以看出，當(dāng)模糊加權(quán)指數(shù)m取不同值時，對標(biāo)準(zhǔn)測試數(shù)據(jù)集IRIS的模糊聚類效果不一樣。其中，當(dāng)模糊加權(quán)指數(shù)取區(qū)間型值時，其劃分系數(shù)vpc最大，而劃分熵vpe、均勻性測度UM以及錯分率最低，表明其聚類效果好。另外，當(dāng)m取單個值時，只要其值在一定范圍內(nèi)，其聚類效果的好壞難以評價，例如本實驗中，當(dāng)m＝1.5或m＝2．5時，兩種情況下FCM聚類劃分的效果難以比較。

上面分別從圖像分割對比實驗、劃分類大小非均衡的人造數(shù)據(jù)劃分實驗以及標(biāo)準(zhǔn)測試樣本IRIS聚類對比實驗中，分析了模糊化參數(shù)對模糊聚類的影響，得出了區(qū)間型模糊化參數(shù)在模糊聚類中有較好的劃分效果，但區(qū)間型模糊化參數(shù)在聚類劃分過程中，由于計算復(fù)雜，故其計算耗時比經(jīng)典的FCM算法要多，這一點從上述實驗結(jié)果中可以明顯看出，有關(guān)計算時間復(fù)雜度的分析受篇幅所限，本文未有述及。

5 結(jié) 論

本文通過分析經(jīng)典FCM聚類算法中模糊加權(quán)指數(shù)m取值存在的困難及不確定性現(xiàn)狀，提出了一種區(qū)間型模糊加權(quán)指數(shù)設(shè)計模型，并由此探討了包括模糊隸屬度、模糊聚類中心在內(nèi)的模糊化參數(shù)模型的設(shè)計方法。實驗的結(jié)果分析表明，采用區(qū)間型模糊化參數(shù)方法，不但可以較好解決樣本集劃分類之間差別懸殊問題，而且使劃分結(jié)果更好，細(xì)節(jié)更詳盡，特別對噪聲干擾的數(shù)據(jù)劃分有很強(qiáng)的魯棒性。但是，在實際應(yīng)用中，該方法還存在如下幾個問題亟待解決：一是由于采用區(qū)間型參數(shù)計算，其計算復(fù)雜度較高，數(shù)據(jù)處理時間長；二是模糊加權(quán)指數(shù)的區(qū)間值大小是根據(jù)不同劃分類樣本而主觀設(shè)計的，到底取多少沒有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)范化方法，這些問題也正是作者及課題組成員下一步要研究解決的問題。同時需要指出，本文針對FCM聚類算法本身的參數(shù)進(jìn)行區(qū)間化研究，與相關(guān)文獻(xiàn)［19- 20］中提出的區(qū)間型數(shù)據(jù)的聚類研究是兩個不同的概念，如何將這兩者聯(lián)系起來進(jìn)行研究，即采用區(qū)間型模糊化參數(shù)研究區(qū)間型數(shù)據(jù)集，這也是我們正在研究的范疇。

［1］Ji Z X，Pan Y，Chen Q，et al．Natural image segmentation algorithm with unsupervised FCM［J］．Journal of Image and Graphics，2011，16（5）：773- 783．（紀(jì)則軒，潘瑜，陳強(qiáng)，等．無監(jiān)督模糊C均值聚類自然圖像分割算法［J］．中國圖象圖形學(xué)報，2011，16（5）：773- 783．）

［2］Tan K S，Lim W H，Isa N A M．Novel initialization scheme for fuzzy C-means algorithm on color image segmentation［J］．Applied Soft Computing，2013，13（4）：1832- 1852．

［3］Chen J S，Pi D C，Liu Z P．An insensitivity fuzzy C-means clustering algorithm based on penalty factor［J］．Journal of Software，2013，8（9）：2379- 2384．

［4］Sambasivam S，Theodosopoulos N．Advanced data clustering methods of mining web documents［J］．Issues in Informing Science and Information Technology，2006（3）：563- 579．

［5］Wang D D，Li B，Chen W F，et al．An improved FCM algorithm based on multiple objective programming［J］．Journal of Image and Graphics，2008，13（8）：1492- 1495．（王丹丹，李彬，陳武凡．基于多目標(biāo)規(guī)劃的模糊C均值聚類算法［J］．中國圖象圖形學(xué)報，2008，13（8）：1492- 1495．）

［6］Mendel J．Uncertain rule-based fuzzy logic systems：introduction and new directions［D］．Upper Saddle River：Drentice-Hall，2001．

［7］Zhai D，Mendel J M．Uncertainty measures for general type-2 fuzzy sets［J］．Information Sciences，2011，181（3）：503- 518．

［8］Hwang C，Rhee F C H．Uncertain fuzzy clustering：interval Type-2 fuzzy approach to C-means［J］．IEEE Trans.on Fuzzy System，2007，15（1）：107- 120．

［9］Ondrej L，Milos M．General Type-2 fuzzy C-means algorithm for uncertain fuzzy clustering［J］．IEEE Trans.on Fuzzy System，2012，20（5）：883- 897．

［10］Bezdek J C．Pattern recognition with fuzzy objective function algorithm［M］．New York：Plenum Press，1981．

［11］Pal N R，Bezdek J C．On clustering for the fuzzy C-means modeling［J］．IEEE Trans.on Fuzzy System，1995，3（3）：370 -379．

［12］Gong G Y，Gao X B，Wu Z D．An optimal choice method of parameter m in FCM clustering algorithm［J］．Fuzzy Systems and Mathematics，2005，19（1）：143- 147．（宮改云，高新波，伍忠東．FCM聚類算法中模糊加權(quán)指數(shù)m的優(yōu)選方法［J］．模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2005，19（1）：143- 147．）

［13］Wang J，Wang S T．Double indices FCM algorithm based on hybrid distance metric learning［J］．Journal of Software，2010，21（8）：1878- 1888．（王駿，王士同．基于混合距離學(xué)習(xí)的雙指數(shù)模糊C均值算法［J］．軟件學(xué)報，2010，21（8）：1878- 1888．）

［14］Wang Z H，Liu Z J，Chen D H．Research of PSO-based fuzzy C-means clustering algorithm［J］．Computer Science，2012，39（9）：166- 169．（王縱虎，劉志鏡，陳東輝．基于粒子群優(yōu)化的模糊C均值聚類算法研究［J］．計算機(jī)科學(xué)，2012，39（9）：166- 169．）

［15］Kannan S R，Ramathilagam S，Chung P C．Effective fuzzy C-means clustering algorithms for data clustering problems［J］．Expert System with Applications，2012，39（7）：6292- 6300．

［16］Wang X E，Han D Q，Han C Z．Selection method for parameters of rough fuzzy C-means clustering based on uncertainty measurement［J］．Journal of Xi’an Jiaotong University，2013，47（6）：55- 61．（王學(xué)恩，韓德強(qiáng)，韓崇昭．采用不確定性度量的粗糙模糊C均值聚類參數(shù)獲取方法［J］．西安交通大學(xué)學(xué)報，2013，47（6）：55- 61．）

［17］Wu J J，Xiang H，Liu C，et al．A generalization of distance functions for fuzzy C-means clustering with Centroids of arithmetic means［J］．IEEE Trans.on Fuzzy System，2012，20（3）：557- 571．

［18］Newman D J，Hettich S，Blake C L，et al．UCI repository of machine learning databases［EB／OL］．［2014- 04- 08］．http：∥www．ics．uci．edu／～mlearn／ML-Repository．html．

［19］Chen J S，Pi D C．Improved fuzzy C-means model based on quadratic［J］．Systems Engineering and Electronics，2013，35（7）：1548- 1553．

［20］Li D，Gu H，Zhang L Y．A fuzzy C-means clustering algorithm based on nearest-neighbor intervals for incomplete data［J］．Expert System With Applications，2010，37（10）：6942- 6947．

Interval type fuzzifier parameter model in fuzzy C-means clustering

XIAO Man-sheng1，2，XIAO Zhe1，WEN Zhi-qiang2，YU Hui-jun1
（1.College of Science and Technology，Hunan University of Technology，Zhuzhou 412008，China；2.College of Computer and Communication，Hunan University of Technology，Zhuzhou 412008，China）

Aiming at the problem about the effect of the fuzzy weighted index in classical fuzzy C-means clustering algorithm and the value of uncertainty，the model of interval type fuzzy weighted index is proposed．Theoretical basis of the model and its effect on the clustering results are analyzed．Based on this model，the fuzzifier parameter such as fuzzy membership partition matrix，fuzzy clustering center representation is derived．The theoretical analysis and experimental results show that the interval type fuzzifier parameter model designing has achieved good effect based on data processing of fuzzy partition

fuzzy C-Means（FCM）；interval fuzzy weighted index；fuzzifier parameter；uncertainty

TP 391

A

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．04．22

肖滿生（1968-），男，教授，主要研究方向為智能計算和智能信息處理。E-mail：xiaomansheng＠tom．com

肖 哲（1977-），女，講師，碩士，主要研究方向為智能信息處理。E-mail：snakexz＠sina．com

文志強(qiáng)（1973-），男，副教授，博士，主要研究方向為數(shù)據(jù)挖掘和圖像處理。E-mail：zhqwen20001＠163．com

于惠鈞（1975-），男，副教授，主要研究方向為數(shù)據(jù)挖掘、智能控制。E-mail：463298180＠qq．com

1001-506X（2015）04-0868-06

2014- 04- 21；

2014- 09- 01；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014- 10- 30。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／w ww．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20141030．1134．011．html

國家自然科學(xué)基金（61170102）；湖南省自然科學(xué)基金（13JJ9017）；湖南省教育廳科研項目（13C032）資助課題