([0,1]，[0,1])-模糊擬陣的基和秩函數(shù)

代恩華，修振宇

(1.聊城大學(xué)東昌學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程系，山東 聊城 252000;2.成都信息工程大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 610000)

擬陣是圖和矩陣的推廣，在數(shù)學(xué)中扮演著重要的角色,尤其是在應(yīng)用數(shù)學(xué)中，正是簡(jiǎn)單有效的貪婪算法所要求的結(jié)構(gòu)[1].1988年,Goetschel等[2]定義了有限集E上的模糊擬陣.Shi[3]提出了L-擬陣，其中L為完全分配格.Huang等[4]證明了完備的[0,1]-擬陣等價(jià)于模糊擬陣.在L-擬陣的理論框架下，基、圈、秩函數(shù)和閉包算子等概念被廣泛研究[5-10].Shi[11]提出一種新的擬陣的模糊方式，即，M-模糊化擬陣，其中M為完全分配格；又定義了M-模糊化秩函數(shù)，并證明了M-模糊化秩函數(shù)和M-模糊化擬陣是一一對(duì)應(yīng)的.Yao等[12]定義了基映射和圈映射并證明了模糊化擬陣可由這兩個(gè)映射刻畫.關(guān)于M-模糊化擬陣的研究，還有很多概念，諸如M-模糊化相關(guān)集[13],M-模糊化α-平坦族[14]和M-模糊化閉包算子[13],都可以等價(jià)刻畫M-模糊化擬陣.

Shi[3]提出了更為寬泛的模糊擬陣，即，(L,M)-模糊擬陣，其中M和L都是完全分配格，這是L-擬陣和M-模糊化擬陣的邏輯推廣.有關(guān)L-擬陣和M-模糊化擬陣的基和秩函數(shù)的研究都取得了不少成果[4,10-12].而目前關(guān)于(L,M)-模糊擬陣的研究并不多，這促使我們來探究(L,M)-模糊擬陣中基和秩函數(shù)的情況.在本文中，當(dāng)M和L都取為[0,1]時(shí),給出閉的完備的([0,1],[0,1])-模糊擬陣的概念，并建立相應(yīng)的基公理和秩函數(shù)公理.

A=B};

A=B}.

定義1[16]設(shè)A∈[0,1]E且a∈[0,1].定義模糊集A的截集如下：

A[a]={e∈E:A(e)≥a},A(a)={e∈E:A(e)>a}.

定理1[16]對(duì)?A∈[0,1]E和a∈[0,1],A(a)=∪b∈(a,1]A[b]=∪b∈(a,1]A(b).

定義2[3-4]設(shè)A∈[0,1]E，N表示自然數(shù)集.稱映射|A|:N→[0,1]是A的模糊勢(shì)，若對(duì)?n∈N,|A|(n)=∨{a∈[0,1] : |A[a]|≥n}.

定義4[11]稱逆序映射λ:N→[0,1]是一個(gè)模糊自然數(shù)，若它滿足λ(0)=1,∧n∈Nλ(n)=0.所有的模糊自然數(shù)記為N([0,1]).

(i) 對(duì)?A∈[0,1]E,0≤R(A)≤|A|;

(ii) 若A,B∈[0,1]E和A≤B，則R(A)≤R(B);

(iii) 對(duì)?A,B∈[0,1]E,R(A)+R(B)≥R(A∧B)+R(A∨B);

(iv) 對(duì)?a∈(0,1]和A∈[0,1]E，R(a∧A[a])[a]=R(A)[a].

1 模糊基的模糊族

借助定理3和分層思想，可以將[0,1]-擬陣中的模糊基族推廣如下：

a}.

證明由定理7,8和定理1可得，

根據(jù)定理8和9,可得下面的結(jié)論：

定理10模糊基的模糊族和閉的完備的([0,1],[0,1])-模糊擬陣是一一對(duì)應(yīng)的.

2 模糊秩函數(shù)

如定理5，閉的完備的[0,1]-擬陣可由[0,1]-模糊秩函數(shù)等價(jià)刻畫.本節(jié)將給出閉的完備的模糊擬陣的秩函數(shù)公理.基于定理5和分層思想,可以推廣[0,1]-模糊秩函數(shù)如下：

證明由定理11,12和定理1可得，

根據(jù)定理12和13,可得下面的結(jié)論：

定理14模糊秩函數(shù)和閉的完備的([0,1],[0,1])-模糊擬陣是一一對(duì)應(yīng)的.