孟彥廷，孟渝.重慶交通大學(xué)；.重慶工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院

和

分部積分法在非連續(xù)函數(shù)中的應(yīng)用

孟彥廷1，孟渝2
1.重慶交通大學(xué)；2.重慶工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院

近年來，對于積分區(qū)間上不連續(xù)的函數(shù)應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式求定積分的探討很多。實(shí)際上，對于條件更加嚴(yán)苛的定積分的分部積分法也可以進(jìn)行更深入分析和研究。本文通過對幾種不滿足定積分分部積分法條件的情況進(jìn)行探討和分析，并得出相應(yīng)的結(jié)論，從而擴(kuò)大了該公式的應(yīng)用范圍，并且這些結(jié)論在像傅里葉級數(shù)和變換的運(yùn)算等方面能發(fā)揮實(shí)際的作用。

分部積分法；非連續(xù)；第一類間斷點(diǎn)，其中為任意常數(shù)。證明：根據(jù)可積性理論，g(x)在[a,b]上可積，那么∫axg(t)dt就在[a,b]上連續(xù)（文獻(xiàn)1），但注意到由條件②并非[a,b]上g(x)是連續(xù)函數(shù)，實(shí)際上G(x)在[a,b]上不一定處處可導(dǎo)，為了證明簡便，假設(shè)g(x)在[a,b]上只有唯一一個(gè)第一類間斷點(diǎn)x0，即

由條件②則

定積分的計(jì)算是數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容，而這部分所依賴的唯一理論工具是牛頓-萊布尼茲公式，而該公式的條件要求非常嚴(yán)苛，要求被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)[1]。在現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際應(yīng)用中，這些要求幾乎很難達(dá)到，所以近年來很多文獻(xiàn)[2-5]對積分區(qū)間上非連續(xù)函數(shù)的對牛頓-萊布尼茲公式的應(yīng)用的一些探討和研究，主要總結(jié)一系列非連續(xù)函數(shù)的定積分計(jì)算方法，這些討論總體來說只是對分段連續(xù)函數(shù)對牛頓-萊布尼茲公式的適應(yīng)性的分析，總而擴(kuò)大該公式的應(yīng)用范圍。但是，對于建立在該公式上，并且條件更加嚴(yán)苛的定積分分部積分法公式未作更深入的探討。本文將從這方面入手，分幾種情況進(jìn)行討論，通過分析證明出這個(gè)公式的更廣泛的應(yīng)用形式。

定義：如果函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義，且只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則稱f(x)在[a,b]上分段連續(xù)。

定理一

設(shè)①F(x)在[a,b]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)值，記為f(x)，②g(x)[a,b]上分段連續(xù)，則均存在，不妨記為t1和t2，定義g1(x0)=t1，g2(x0)=t2，這時(shí)g1(x)和g2(x)分別在[a,x0]、[x0,b]上連續(xù)，那么若t1≠t2時(shí)，G(x)在x0點(diǎn)不可導(dǎo)，但在[a,x0]和[x0,b]均可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)都為g(x)。由條件①和②得知，F(xiàn)(x)g(x)、f(x)G(x)均在[a,x0]和[x0,b]上可積。應(yīng)用定積分分部積分法公式，則有

考慮到F(x)與G(x)的連續(xù)性，F(xiàn)(x)G(x)在[a,b]上連續(xù)，則其中Fˉ(x)=∫axf(t)dt+C。

證明：類似定理一，假設(shè)f(x)只有一個(gè)第一類間斷點(diǎn)x0，在[a,x0]和[x0,b]上f(x)分別為f1(x)和f2(x)。由條件

故上述定理得證。

定理二

設(shè)①F(x)在[a,b]上連續(xù)且有分段連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，記為f(x)；②g(x)在[a,b]上連續(xù)且G′(x)=g(x)。均存在，記為t1和t2，定義f1(x0)=t1，f2(x0)=t2，則f1(x)、 f2(x)分別在[a,x0]、[x0,b]上連續(xù)，那么F′(x)在除x0以外的點(diǎn)與-F′(x)相等，由條件①②F(x)g(x)、f(x)G(x)在[a,b]上可積，考慮到

Fˉ(x)的連續(xù)性以及Fˉ′(x)（F(x)）在[a,x0]、[x0,b]上連續(xù)性。故

例1：設(shè)f(x)在[-l,l]上分段連續(xù)，且：

由于f(x)只有第一類間斷點(diǎn)，則F(x)在[-l,l]要么存在有限導(dǎo)數(shù)，要么存在有限的單側(cè)導(dǎo)數(shù)，則

實(shí)際上，以上三個(gè)定理也可以推廣到無限區(qū)間的廣義（反常）積分上去。

例2：求f′(x)的傅里葉變換，設(shè)f(x)在(-∞,+∞)分段連續(xù)，f(x)存在且只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)且

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孟彥廷（1993-），女，重慶人，2013年在“第一屆重慶市大學(xué)生物理創(chuàng)新競賽”中榮獲論文類二等獎，2014年在第六屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中榮獲重慶賽區(qū)一等獎，在2014年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽中榮獲重慶市二等獎。

孟渝（1963-），男，遼寧鐵嶺人，碩士，講師，從事高等數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究。